6.Число фи в тригонометрии. Спецкурс Математика Золотого Сечения

6. Число φ в тригонометрии
№ 6. Найти: а) cos 72°; б) sin 54°.
Решение.
а) cos 72° = sin 18°. Найдем sin 18° из другого верного равенства: cos 54° = sin 36°.
54° = 3 ·18°, 36° = 2 ·18°.
Пусть 18° = х, тогда:
cos 3x = sin 2x,
cos 3x = cos x(1 – 4 sin2x),
sin 2x = 2 sin x cos x,
cos x(1 – 4 sin2x) = 2 cos x sin x;
пусть sin x = t, тогда
4t2 + 2t – 1 = 0,
(2t)2 + (2t) – 1 = 0 – золотое уравнение относительно 2t,
2t =.
t1 = t2 = , т.е. sin 18° =
Отсюда следует, что cos 72° =
б) sin 54° = cos 36° =.
Ответ: a) cos 72° =; б) .
№ 7. Найти острый угол α, для которого tg α = cos α.
Решение.
tg α = cos α,

sin α = cos2 α,
sin α = 1 – sin2α,
sin2α + sin α – 1 = 0.
Мы получили золотое уравнение относительно sin α, значит,
Ответ:.
№ 8. Найти среднее арифметическое (в градусах) корней уравнения , принадлежащих отрезку [-90°; 180°].
Решение. Перепишем уравнение в виде .
Известно, что = cos 72°, тогда cos 2x = cos 72°, отсюда x = 36° + 180°n, n .
Отрезку [-90°; 180°] принадлежат следующие корни данного уравнения: -36°, 36° и 144°. Их среднее арифметическое равно 48°.
Ответ: 48°.
№ 9. Дан треугольник, две стороны которого равны 1 и 2, а угол между ними 18°. Верно ли, что площадь этого треугольника меньше ?
Решение. SΔ = · 1 · 2 · sin 18° = sin 18°, а так как sin 18° = cos 72° = , то SΔ = . При этом = . Отсюда следует, что SΔ < .
Ответ: верно.