Урок 4. Золотая прогрессия. Другие свойства числа фи. Спецкурс Математика Золотого Сечения

4. Золотая прогрессия. Другие свойства числа φ
Последовательность длин золотых отрезков 1; φ; φ2; φ3; φ4;… – убывающая геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен φ.
Каковы е свойства?
Мы уже знаем, что φ2 = 1 – φ (свойство 1). Найдем φ3, φ4, φ5.
φ3 = φ2·φ = (1 – φ)φ = φ – φ2;
φ4 = φ2·φ2 = (1 – φ)φ2 = φ2 – φ3;
φ5 = φ2·φ3 = (1 – φ)φ3 = φ3 – φ4; …
Отсюда следует, что каждый член прогрессии 1; φ; φ2; φ3; φ4;…, начиная с третьего, равен разности двух предыдущих, а потому каждый член, начиная с первого, равен сумме двух последующих.
Геометрическую прогрессию 1; φ; φ2; φ3; φ4;… можно продлить влево, добавляя поочередно члены, предшествующие данным. Итак, получаем бесконечную вправо и влево геометрическую прогрессию:

Убедимся, что рассмотренные выше свойства верны и для новых членов прогрессии.
Мы уже знаем, что (свойство 5). Рассмотрим выражения



Отсюда следует, что
Ясно, что добавление новых членов не изменяет свойств прогрессии.
Выразим члены прогрессии через φ.
φ2 = 1 - φ;
φ3 = φ – φ2 = φ – (1 – φ) = 2φ – 1;
φ4 = φ2 – φ3 = (1 – φ) – (2φ – 1) = 2 - 3φ;
φ5 = φ3 – φ4 = (2φ – 1) – (2 - 3φ) = 5φ - 3;
φ6 = φ4 – φ5 = (2 - 3φ) – (5φ – 3) = 5 - 8φ;
φ7 = φ5 – φ6 = (5φ – 3) – (5 - 8φ) = 13φ – 8; …



Очевидно, что и так далее.
Определение 3. Бесконечная вправо и влево геометрическая прогрессия называется золотой.
Свойства золотой прогрессии.
1. Каждый член золотой прогрессии равен разности двух предыдущих и одновременно равен сумме двух последующих:

2. Любую целую степень числа φ всегда можно представить линейным двучленом относительно φ.
3. Сущность золотой прогрессии не меняется от умножения (или деления) ее членов на любое число (за исключением нуля).
№ 5. Упростить выражение:
а) φ2 + φ3;
б) φ(1 + φ);
в)
г) 1 + φ2;
д) φ2 – φ3 + φ4;
е)
ж)
з)
и)
Решение.
а) φ2 + φ3 = φ2 + (φ – φ2) = φ;
б) φ(1 + φ) = φ + φ2 = 1;
в)
г) 1 + φ2 = 1 + (1 – φ) = 2 - φ;
д) φ2 – φ3 + φ4 = (φ2 – φ3) + φ4 = φ4 + φ4 = 2φ4 = 2(2 - 3φ) = 4 - 6φ;
е)
ж)
з)
и)