Урок 2. Некоторые свойства числа фи, или Подражая древним грекам. Спецкурс Математика Золотого Сечения

2. Некоторые свойства числа φ, или
Подражая древним грекам
Определение 2. Уравнение φ2 + φ – 1 = 0 называется золотым.
Из него следует:
φ2 =1 – φ, (1)
1 - φ2 = φ, (2)
φ + φ2 = 1, (3)
, (4)
. (5)
Эти свойства имеют геометрические интерпретации.
1) Геометрическая формулировка задачи о золотом сечении отрезка по Евклиду такова: «Данный отрезок рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целым и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке» (рис. 3а и 3б).
а)
б)
Рисунок 3
а)
б)
Рисунок 3

Пусть дан отрезок АВ и на нем точка М, такая, что SAMCD = SBMNK, где АМСD – прямоугольник, в котором АD =АВ, а ВМNК – квадрат.
SAMCD = SBMNK, то есть АМ·АD = ВМ2, или . Так как АВ = АD, то . Точку М на отрезке АВ строим так, как предложено Птолемеем.
Заметим, что если АВ = 1, то ВМ = φ, АМ = 1 – φ, тогда получается, что φ2 =1 – φ.
2) Рассмотрим геометрическую иллюстрацию свойства (2) числа φ: 1 - φ2 = φ.
Пусть дан единичный отрезок XY, разделенный точкой M в золотом отношении. На нем как на стороне построим квадрат, его площадь равна 1 (рис. 4). Разобьем площадь квадрата на площади А, В и С, как показано на рисунке 4. A = φ2, B + C = 1- φ2, A + C = φ. A = B (евклидова задача о золотом сечении, рис. 3б), отсюда следует, что A + C = B + C, то есть φ = 1 – φ2.
Рисунок 4
Рисунок 4

3) φ + φ2 = 1. Геометрическая иллюстрация этого свойства числа φ представлена на рисунке 5. На единичном отрезке АВ строим квадрат АВНК. Точка М делит АВ в золотом отношении. МВ = φ. Квадрат МВСТ имеет площадь φ2. Площадь прямоугольника МВНР равна φ. По задаче Евклида площади квадрата МВСТ и прямоугольника АМРК равны, поэтому SMBHP + SMBCT = SMBHP +SAMPK = SABHK = 1, то есть φ + φ2 = 1.
φ
φ
1
А М В
К Р Н
Т С
Рисунок 5
φ
φ
1
А М В
К Р Н
Т С
Рисунок 5

4) Свойства (4) и (5) числа φ, то есть то, что или , покажем с помощью пропорциональных отрезков (рис.6).
Рисунок 6
Рисунок 6

Пусть ВМ = ВС = 1, АМ = φ и пусть MN ||AC, тогда точка N делит отрезок ВС в золотом отношении. Действительно, , а так как и ВС = 1, то ВN = φ.
Итак, , или , откуда следует, что или
Последнее означает, что отрезки длиной 1 и 1 + φ также находятся в золотом отношении.