Конспект урока по геометрии в 10 классе по теме: Угол между скрещивающимися прямыми в тетраэдре

Конспект урока по теме:
«Угол между скрещивающимися прямыми в тетраэдре» в 10 классе.
Работа по слайдам.
Слайд №2.
Шуточная разминка:
Три друга Иванов, Петров, Сидоров решали задачи на нахождение косинуса угла между скрещивающимися прямыми. Объясните, почему ответы двух друзей не понравились учителю?
Слайд №3.
Петров на контрольной работе заглянул к соседу отличнику в тетрадь и обнаружил, что условия их задач отличаются длиной куба в 2 раза. Недолго думая, Петров умножил ответ соседа на 2 и сдал работу. Объясните, почему Петров неправ.
Слайд №4.
На очередной самостоятельной работе предприимчивый Петров, сопоставив условия задач двух вариантов, предъявил замечание учителю, что во втором варианте не хватает длины BS, за что был поднят на смех. Почему?
Слайд №5.
Ученик находил векторным способом угол между прямыми в правильной четырехугольной пирамиде. Посмотрев на знаменатель, учитель сразу заметил ошибку. А вы заметили ошибку?
Надеюсь на сегодняшнем уроке вы не будете допускать досадных ошибок.
Какие способы нахождения углов между скрещивающимися прямыми вам известны?
- параллельный перенос прямых до пересечения друг с другом;
- координатно-векторный способ;
-векторный способ.
Вопрос: в каких геометрических телах удобно применять координатно-векторный способ?
Девиз нашего урока: «Лучше решить одну задачу тремя способами, чем три задачи одним способом».
Задача №1.
D
В правильном тетраэдре ABCD найти косинус угла между прямыми BN и DM, где точка М – середина DM, а точка N – середина DC.
N
В плоскости MDC сделаем параллельный перенос прямой MD в NK.
Точка К – середина МС по теореме Фалеса. Значит угол BNK- искомый.
К
M
B
C
C
A
NK- средняя линия треугольника MDC.М
К
С
В
А
DM=3, KN=32, BN=DM=3, КВ=1+34=72.
По теореме косинусов из треугольника BNK cos∠К=-74+3+342*32=23.
Ответ: 23.
Задача №2.
Решим эту задачу «универсальным» векторным способом.
D
c a=b=c=2 a2=b2=c2=4
N
a*b=2, c*b=2, a*c=2 . BN=12b+12c, MD=c-12a.
A
aаC
B
bМесто для формулы.aа cosα=12c*b-14a*b+12c2-14a*c3*3=1-12+2-123=23.
Ответ: 23.
Осталось решить задачу координатно-векторным способом. Где бы пришлось выбирать начало координат?
Давайте вспомним определение тетраэдра…
Свойство скрещивающихся прямых: через любые две скрещивающиеся прямые можно провести единственную пару параллельных плоскостей.
Значит для любого тетраэдра можно построить единственный параллелепипед (ребра тетраэдра – это диагонали параллелепипеда).
А еще мы получаем еще одно определение тетраэдра: «Тетраэдр – это три пары скрещивающихся прямых».
Задача №3.
B
Решим задачу координатно-векторным способом.
C
zx Координаты точек: М(1;0;1), D(0;2;0), N(1;2;1), В(0;0;2).
N
М
MD=-1;2;-1 , BN=1;2;-1 ,MD=6
BN=6 cosα=-1+4+16=23
yD
A
Ответ: 23.
Подведение итогов урока: что вы узнали нового о тетраэдре?
! Тетраэдр можно вписать в параллелепипед.
Домашнее задание:
В правильной треугольной пирамиде ABCS найти косинус угла между прямыми АМ и ВK, где точка М – середина SB, а точка N – середина SK (АВ=6, АS=8).