Презентация по алгебре на тему Арифметическая и геометрическая прогрессии (9 класс)

Арифметическая прогрессия Содержание Понятие арифметической прогрессии Формула n-ого члена а.п. 2 4 Сумма n первых членов а.п. 1 3 5 Понятие арифметической прогрессии Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом d, называют разностью арифметической прогрессии. an+1 = an + d – рекуррентная формула a6 Понятие арифметической прогрессии + d + d + d + d + d a5 a4 a3 a2 a1 + d Формула n-ого члена арифметической прогрессии an = a1 + (n – 1)d – формула n-ого члена а.п. a2 = a1 + d a1 = a1 a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d и т.д. an = ak + (n – k)d an = a1 + (n – 1)d Формула n-ого члена а.п. Формула n-ого члена арифметической прогрессии an = an-1 + an+1 2 – характеристическое свойство а.п. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an Sn = an + an-1 + an-2 + … + a3 + a2 + a1 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + … … + (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1) 2Sn = (a1 + an)n + Sn = n a1 + an 2 Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии Sn = n a1 + an 2 an = a1 + (n – 1)d Sn = n 2a1 + d(n – 1) 2 Геометрическая прогрессия Понятие геометрической прогрессии Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одного и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом q, называют знаменателем геометрической прогрессии. bn+1 = bn ∙ q – рекуррентная формула b6 Понятие геометрической прогрессии  q  q  q  q  q b5 b4 b3 b2 b1  q Формула n-ого члена геометрической прогрессии bn = b1 ∙ qn – 1 – формула n-ого члена г.п. b2 = b1 ∙ q b1 = b1 b3 = b2 ∙ q = (b1 ∙ q) ∙ q = b1 ∙ q2 b4 = b3 ∙ q = (b1 ∙ q2) ∙ q = b1 ∙ q3 b5 = b4 ∙ q = (b1 ∙ q3) ∙ q = b1 ∙ q4 и т.д. bn = bk ∙ qn – k bn = b1 ∙ qn – 1 Формула n-ого члена г.п. Формула n-ого члена геометриической прогрессии (bn)2 = bn-1 ∙ bn+1 – характеристическое свойство г.п. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии Sn = b1 + b2 + b3 + … + bn-2 + bn-1 + bn Snq = (b1 + b2 + b3 + … + bn-2 + bn-1 + bn)q Snq = b1q + b2q + b3q + … + bn-2q + bn-1q + + bnq = b2 + b3 + … + bn-1 + bn + bnq Получим: Преобразуем: Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии Sn = bn q – b1 q – 1 Sn = b1 + (b2 + b3 + … + bn-2 + bn-1 + bn) С одной стороны Snq = (b2 + b3 + … + bn-2 + bn-1 + bn) + bnq С другой стороны Вычтем из второго равенства первое Snq – Sn = bnq – b1 Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии bn = b1 ∙ qn – 1 Sn = b1 (qn – 1) q – 1 Sn = bn q – b1 q – 1 Формула суммы бесконечно убывающейгеометрической прогрессии где |q| < 1 S = b1 1 – q Пример: Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 12; −4; 4/34 …В данной прогрессии q = − 4 : 12 = − 1/3 < 1 S = = = 9 b1 12 1 – q 1 + 1/3