Урок в 11 классе по алгебре Возрастание и убывание функции

Методическая разработка урока
по алгебре и началам анализа
по теме «Возрастание и убывание функции»
11 класс
Учитель: Сычевская Л.А.
Цели урока:
Образовательные:
- повторить определение возрастающей, убывающей функции,
-рассмотреть применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций.
2. Развивающие:
–развитие применения модульного обучения при самостоятельном изучении материала
-развитие аналитических способностей
3. Воспитательные:
-воспитание правильной оценки собственной самостоятельной деятельности
-воспитание умения работать индивидуально и в группе, умение слушать, умение отстаивать собственное мнение.
Оборудование:
Интерактивная доска
Ход урока:
Оргмомент
Актуализация знаний
На каждом столе лежит лист с вопросами: необходимо ответить «да» или «нет». Эти же вопросы на экране: 5 минут
Вопросы да нет
1 Функция y=2x возрастает на (-∞;∞) + 2 Функция y = 2x возрастает на (-∞; 0) +
3 Функция y = x2 убывает на 1;6)+
4 Функция y = sinx возрастает на (0; π2) + 5 Функция y = log12x возрастает на всей области определения +
Обсуждение ответов.
Самостоятельная работа
Учащиеся комментируют решение, проговаривают формулы дифференцирования, а учитель записывает решение на доске.
Найти производную функции:
y=x4-3x2+7x-4y=4xy=cos⁡(-3x)y=e2x∙lnxy=(x-2)3y=sinxe3x. Найти y'0=?Свойства элементарных функций позволяют нам безошибочно определить промежутки возрастания и убывания. Совсем не так просто с функциями, которые не изучались, с функциями общего вида. Как же можно определить промежутки монотонности для любой функции? На этот вопрос мы постараемся ответить на этом уроке.
На рисунке 1 изображен график функции y=fx на интервале (-5; 7). (рис. 1.)

Вопросы:
Вспомните определение возрастающей или убывающей функции на заданном промежутке.
Назовите промежутки возрастания функции. Сколько их?
Назовите промежутки убывания функции. Сколько их?
Отработка навыков применения теоремы о достаточных условиях возрастания и убывания функции по графику.
На рисунке 2 изображен график производной функции, y=f'xна интервале (-8; 5).
Вопросы (спроецированы на доске):
Что нужно знать, чтобы ответить по этому графику на вопросы, аналогичные предыдущим?
Сформулируйте теорему о достаточных условиях возрастания и убывания функции.
Как вы понимаете слова достаточные условия на интуитивно-бытовом уровне? Например, для покупки карандаша стоимостью три рубля пяти рублей достаточно, а двух рублей недостаточно.
Кто из математиков сформулировал теорему о достаточных условиях возрастания и убывания функции? Ответ готовили дома: Великий математик Г. Лейбниц (1646-1716). В классе висит его портрет, обратить внимание детей на это. Более подробный материал можно найти на сайте uchitel.ru.
Вспомните еще раз теорему о достаточных условиях возрастания и убывания функции. На рисунке 2 с помощью проектора появится штриховка при ответе на вопросы.
Вопросы для работы с графиком 2:
Сколько промежутков возрастания?
Назовите и покажите их.
Назовите длину большего промежутка возрастания.
Назовите длину меньшего промежутка убывания.
При каком значении x на отрезке [-3; -1] функция принимает наименьшее значение?
При каком значении x на отрезке [-6; -5] функция принимает наибольшее значение?
Теперь вернемся к графику 1. Назовите точки, в которых f’(x)>0, f'(x)<0. Какую теорему нужно использовать при ответе на данный вопрос?
Теорема1.
«Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f/(x) >0 для всех х (a;b), то функция возрастает на интервале (a;b)».
Теорема2.
«Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f/(x) < 0 для всех х (a;b), то функция убывает на интервале (a;b)».
5) Первый тог этапа. Делается вывод, что первой цели мы достигли и выполняется 5 задач на готовых чертежах (в том числе пример №3, ранее казавшийся невыполнимым). (Слайды 14-18):
№1. Непрерывная функция y=f(x) задана на [-10;11]. На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков возрастания функции.
№2. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-10;6). На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков убывания функции.
№3. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-6;8). На рисунке изображён график её производной. Укажите длину промежутка убывания этой функции.
№4. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-4;10). На рисунке изображён график её производной. Опишите последовательно типы монотонностей функции.


По графику функции y=f ´(x) ответьте на вопросы:
Сколько промежутков возрастания у этой функции?
Найдите длину промежутка убывания этой функции.

Алгоритм.
Указать область определения функции.
Найти производную функции y=f(x).
Определить промежутки, в которых f/(x) )>0 и f / (x)<0.
Сделать выводы о монотонности функции.
5) Второй итог этапа: Делается вывод, что достигнута и вторая цель
6. Первичное закрепление во внешней речи (на доске 3 человека и в распечатках)
Решение примера по алгоритму с проговариванием шагов алгоритма (Слайд 20):
Найти промежутки возрастания и убывания функций: а) f(х) = х4 - 2х2;
б) f(х) = 3+;  в) f(х) =
а) Решение:
D(f) = R
f/(x) = 4х3 - 4х,
f/(x)>0, если 4х3 - 4х >0, х3 - х >0, х(х-1)(х+1)>0
f/(x): - + - +
f(х): -1 0 1 х
Функция убывает на промежутках (-∞;-1)] и [(0; 1)]
Функция возрастает на промежутках [(-1; 0)] и [(1; + ∞)]
Исследовательская работа по теме:
«Зависимость монотонности функции от знака её производной»
Указания к работе:
Найдите производную функции f(x) = 6х – 2х3 . (График функции задан.)
В этой же системе координат постройте график её производной.
Рассмотрев графики, заполните таблицы 1 и 2 для функции и её производной.
Таблица 1. Промежутки знакопостоянства (в нижней строке используйте знаки + и - )
х f/(x) = Таблица 2. Промежутки монотонности (в нижней строке используйте знаки и )
х f(x) = 6х – 2х3 Сформулируйте гипотезу о связи знака производной функции с монотонностью функции.
На промежутках, где f/(x) > 0 функция _________________________
На промежутках, где f/(x) < 0 функция_________________________