Конспект урока обобщения и систематизации знаний по теме: «Четырёхугольники» (9класс)

Конспект урока обобщения и систематизации знаний по теме: «Четырёхугольники» (9класс)
Время проведения: 2 часа
Цели урока:
Образовательные цели:
Повторить определения параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции; свойства и признаки параллелограмма и прямоугольника; свойства ромба и квадрата; виды и свойства трапеции.
Закрепить свойства и признаки параллелограмма и прямоугольника, свойства ромба и квадрата; виды и свойства трапеции.
Проверить знания учащихся по теме «Четырехугольники».
Воспитательные и развивающие цели:
Развить устную речь учащихся, логическое мышление, смекалку, память;
Развить навык самостоятельной работы при выполнении различных заданий на уроке;
Продолжить воспитание у учащихся уважительного отношения друг к другу, чувства товарищества, культуры общения, чувства ответственности;
Задачи урока:
Обобщить, систематизировать и расширить знания учащихся по теме «Четырёхугольники».
Проверить знания по теме «Четырёхугольники» и умение применять их на практике.
План урока:
Организационный момент (5 мин);
Обобщение и систематизация теоретических знаний по теме «Четырёхугольники» (25 мин);
Проверка теоретических знаний учащихся по теме «Четырёхугольники» (5 мин);
Решение простейших задач по теме «Четырёхугольники» (20 мин);
Решение задач повышенной сложности по теме «Четырёхугольники» (25 мин);
Подведение итогов урока (5 мин);
Домашнее задание (5 мин).
Тип урока: Обобщение и систематизация знаний по теме «Четырёхугольники».
Ход урока:
Организационный момент.
Учитель: Приветствие! Тема сегодняшнего урока - обобщение и систематизация знаний по теме «Четырёхугольники».
Слайд № 1

Учитель: Как вы думаете, каким будет план урока?
Слайд № 2

Ученик:
Организационный момент;
Обобщение и систематизация теоретических знаний по теме «Четырёхугольники»;
Проверка теоретических знаний учащихся по теме «Четырёхугольники»;
Решение простейших задач по теме «Четырёхугольники»;
Решение задач повышенной сложности по теме «Четырёхугольники»;
Подведение итогов урока;
Домашнее задание.
Учитель: Перейдем ко второму пункту: обобщение и систематизация теоретических знаний по теме «Четырёхугольники».
Обобщение и систематизация теоретических знаний по теме «Четырёхугольники».
Каждому учащемуся раздается карточка №1
Карточка № 15
Четырёхугольник
Две пары Одна пара
параллельных сторон параллельных сторон

Все углы все стороны Боковые стороны Есть прямой
прямые равны равны угол
Все стороны Все углы
равны прямые
Задание №1. Заполните пропуски в карточке № 14.
Учитель: Вспомните, какая фигура называется четырёхугольником?
Ученик: Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.
Учитель: У какого четырёхугольника одна пара параллельных сторон?
Ученик: Трапеция - это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.(Ответ появляется на слайде №3)
Учитель: Как называется трапеция, у которой боковые стороны равны?
Ученик: Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой равны боковые стороны. (Ответ появляется на слайде № 3)
Учитель: Как называется трапеция, у которой есть прямой угол?
Ученик: Прямоугольная трапеция - это трапеция, один из углов которой прямой. (Ответ появляется на слайде № 3)
Учитель: Как называется четырехугольник, у которого есть две пары параллельных сторон?
Ученик: Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых. (Ответ появляется на слайде № 3)
Учитель: Как называется параллелограмм, у которого все углы прямые?
Ученик: Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые. (Ответ появляется на слайде № 3)
Учитель: Как называется параллелограмм, у которого все стороны равны?
Ученик: Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. (Ответ появляется на слайде № 3)
Учитель: У какой фигуры все стороны равны и все углы прямые?
Ученик: Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны. (Ответ появляется на слайде № 3)
Слайд № 3

Задание 2. Заполните карточку № 2.
Карточка № 16
Свойства четырёхугольников.
1 Четырёхугольник.
B
A C

D
Свойства:
2. Трапеция.
B C


A D

Прямоугоная Равнобедренная
B C B C


A D A D
Свойства:
3. Параллелограмм.
B C


A D
Свойства:
4. Прямоугольник.
B C



A D
Свойства:
5. Ромб.
B

A C

D
Свойства
6. Квадрат.
B C


A D
Свойства:
Учитель: Какими свойствами обладает четырёхугольник?
Ученик: Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. (Ответ появляется на слайде № 4)
Учитель: Какими свойствами обладает равнобедренная трапеция?
Ученик: 1) В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. 2) В равнобедренной трапеции диагонали равны. 3) Высоты трапеции равны. 4) У равнобедренной трапеции AM = ND, тогда ∆ AMB= ∆ DNC. (Ответ появляется на слайде № 4)
Слайд № 4

Учитель: Какими свойствами обладает параллелограмм?
Ученик:
1.Противоположные стороны равны.
2.Противоположные углы равны.
3.Сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°.
4.Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
5.Биссектриса одного из углов параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.
6. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (Ответ появляется на слайде № 5)
Слайд № 5

Учитель: Какими свойствами обладает прямоугольник?
Ученик: Диагонали прямоугольника равны. (Ответ появляется на слайде № 6)
Учитель: Какими свойствами обладает ромб?
Ученик: Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам. (Ответ появляется на слайде № 6)
Учитель: Какими свойствами обладает квадрат?
Ученик:
1.Все углы квадрата прямые.
2.Диагонали квадрата равны, делят углы квадрата пополам, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. (Ответ появляется на слайде № 6)
Слайд № 6

Учитель: Теперь перейдем к 3 пункту нашего плана.
Проверка теоретических знаний учащихся по теме «Четырёхугольники».
Для проверки теоретических знаний, учащимся предлагается выполнить самостоятельную работу. На самостоятельную работу отводится 5 минут.
Карточка № 17
Вариант 1 Вариант 2
Какие из утверждений верны?
а) Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.
б) У произвольного четырёхугольника диагонали равны.
в) Диагонали параллелограмма равны.
г) Диагонали ромба перпендикулярны.
д) У прямоугольной трапеции углы при основании равны.
е) У ромба стороны параллельны и не равны. Какие из утверждений верны?
а) Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.
б) У прямоугольника диагонали равны.
в) Противоположные углы параллелограмма не равны.
г) Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.
д) У равнобедренной трапеции углы при основании равны, а диагонали не равны.
е) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.
Слайд № 7

Учитель: Теперь перейдем к 4 пункту плана.
Решение простейших задач по теме «Четырёхугольники».
Задание 3. Решите следующие задачи по готовому чертежу.
Задача №1. (Слайд № 8)
Слайд № 8

Учитель: Что в задаче дано и что требуется найти?
Ученик: В задаче дан параллелограмм ZSYX, также нам известен его периметр, он равен 31см. Так же еще известно, что SY = 8 см. В задаче требуется найти: ZX, ZS, XY.
Учитель: Решаем задачу с места (Ученик комментирует своё решение).
Ученик: Можем, потому что из свойства параллелограмма: противоположные стороны параллелограмма равны, следует, что ZS= YX и SY= XZ=8 см. Тогда P=2ZS+2SY=2ZS+28=2ZS+16=31. Отсюда следует: ZS=7,5
Краткая запись решения:
1. P=ZS+SY+YX+XZ=312. Т.к. ZSYX – параллелограмм, то ZS= YX и SY= XZ=8 см. Тогда P=2∙ZS+2∙SY=2∙ZS+28=2∙ZS+16=312∙ZS=15
ZS=7,5
Ответ: 8 см, 8 см, 7,5 см, 7,5 см.
Задача №2. (Слайд № 9)
Слайд № 9

Учитель: По рисунку, изображенному на слайде, ответьте, что в задаче дано и что требуется найти?
Ученик: В задаче дан ромб ABCD, также нам известно, что ACB =66°. В задаче требуется найти: D.
Учитель: Какие есть предложения по способу решения данной задачи?
Ученик: 1) Рассмотрим ∆ ABC и ∆ ADC.2) Т.к. диагональ ромба делит его на два равных треугольника, следовательно ∆ ABC = ∆ ADC. 3) Из равенства треугольников следует равенство ACB =BAC=66°. 4) Найти C. 5) По свойству: сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°, можем найти D.
Учитель: Есть ли еще один способ решения данной задачи?
Ученик: Да. 1) По свойству ромба: диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам, следует, что ACB =ACD. 2) По свойству: сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°, можем найти D.
Учитель: Вызывает двух учеников к доске.
Ученики: Решают одну и ту же задачу разными способами.
Краткое оформление задачи:
Дано: ромб ABCD
ACB =66°
Найти: D
Решение:
1.способ:
1. Рассмотрим ΔABC и ΔADC.
ΔABC = ΔADC (т.к. диагональ ромба делит его на два равных треугольника)
2. Т.к. ΔABC = ΔADC , то ACB =BAC=66°.
3. C = ACB +BAD = 132°
4. Т.к. сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, то D+C=180° D=180°-132°=48°
Ответ: 48°
2.способ:
1. Т.к. ABCD - ромб, то по свойству ромба: диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам, следовательно ACB =ACD= 66°.
2. C = ACB +BAD = 132°
3. По свойству: сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°, то D=180°-132°=48°
Ответ: 48°.
Задача №3. (Слайд № 10)
Слайд № 10

Учитель: По рисунку, изображенному на слайде, ответьте, что в данной задаче дано и что требуется найти?
Ученик: В задаче дан параллелограмм ABCD, также нам известно, что A: B =2:7. В задаче требуется найти: A, B, C, D.
Учитель: Какие есть предложения по способу решения данной задачи?
Ученик: 1. Ввести коэффициент пропорциональности. 2. Учитывая свойство: сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, составим уравнение и решим его.3. Найдем все углы.
Учитель: Вызывает к доске двух учеников.
Ученики: У доски решают одну и ту же задачу, затем проверяют друг друга.
Краткая запись решения:
1. Т.к. параллелограмм ABCD, то AB= CD, BC= DA, A=C, B=D.
2. Пусть A=2x, тогда B= 7x.
3. Т.к. сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, то A+B= 180°. Следовательно, 2x+7x=180°, x=20°.
4. Если x=20°, то A=2x=40=C, а B= 7x=140°=D.
Ответ: 20°, 20°, 140°, 140°.
Задача №4. (Слайд № 11)
Слайд № 11

Учитель: По рисунку, изображенному на слайде, ответьте, что в данной задаче дано и что требуется найти?
Ученик: В задаче дан ромб ABCD, также нам известно, что в нем проведены диагонали и OBC=30°, AC =6см. В задаче требуется найти P.
Учитель: Какие есть предложения по способу решения данной задачи?
Ученик: 1) Рассмотрим ΔBOC - прямоугольный. 2) По свойству катета, лежащего угла в 30° найдём BC. 3) Найдём периметр.
Учитель: Вызывает к доске ученика.
Ученик: Решает задачу у закрытой доски, а затем сверяет решение с классом.
Краткая запись решения:
1. Т.к. ABCD - ромб, то AB+BC+CD+DA (по определению ромба) и т.к. P=AB+BC+CD+DA=4AB.
2. Рассмотрим ΔBOC - прямоугольный, (диагонали ромба перпендикулярны) 3. OC =3 см.
4. OBC=30° BC=2∙OC=2∙3=6 (см).
4. Тогда P=4AB=46=24 (см).
Ответ: 24 см.
Задача №5. (Слайд № 12)
Слайд № 12

Учитель: По рисунку, изображенному на слайде, ответьте, что в данной задаче дано и что требуется найти?
Ученик: В задаче дана трапеция NMLK, также нам известно, что в нем N=72°, L=153°. В задаче требуется найти K, M.
Учитель: Решаем данную задачу самостоятельно.
Ученик: Сверяют решение с доской (слайд 13).
Краткая запись решение:
1.Т.к. NMLK – трапеция, то сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, следовательно, N+K= 180°, K=108°; L+M=180°, M=27°.
Ответ: 108°,27°.
Учитель: Теперь перейдем к 4 пункту плана.
Решение задач повышенной сложности по теме «Четырёхугольники»
Учитель: Перейдем к решению более сложных заданий.
Задача 1. (Слайд 13)
Слайд № 13

Учитель: Прочитайте задачу. О чем идет речь в задаче?
Ученик: О параллелограмме.
Учитель: Что в задаче известно про параллелограмм?
Ученик: Биссектриса одного из углов делит параллелограмм на две части, разность периметров которых равна 10 см и что его стороны относятся как 4: 9.
Учитель: Что в задаче требуется найти?
Учитель: Сделайте чертеж, несите данные.
Ученик: Периметр параллелограмма.
Учитель: Какие есть предложения по способу решения данной задачи?
Ученик: 1) Ввести коэффициент пропорциональности. 2) Используя разность РBCDE - РАВЕ = 10 см, составить уравнение и решить его. 3) Найти стороны параллелограмма. 4) Найти периметр параллелограмма.
Учитель: Вызывает к доске ученика.
Ученик: Решает задачу у закрытой доски, с последующим объяснением всем учащимся.
Краткая запись задачи:
B C Дано: ABCD - параллелограмм
ВЕ - биссектриса, РBCDE - РАВЕ = 10 см
A E D АВ : ВС = 4 : 9
Рис.13 Найти: РАBCD.
Решение:
1. Т.к. ВЕ - биссектриса, то ΔABE - равнобедренный с основание BE.
2. Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда АВ = 4х, ВС = 9х, ЕD=5х.
3. Т.к. РBCDE = ВС + CD + DE + ВЕ, а РАВЕ = АВ + ВЕ + АЕ, то
РBCDE – РАВЕ = (ВС + CD + DE + ВЕ) – (АВ + ВЕ + АЕ) = ВС + CD + DE + ВЕ – АВ – ВЕ – АЕ = ВС+ DE – АЕ = 10 (см).
4.Составим и решим уравнение:
9х + 5х – 4х =10
10х = 10
х = 1
Значит, АВ = 4 см, ВС = 9 см
5. РBCDE = ВС + CD + DE + ВЕ , РАВЕ = АВ + ВЕ + АЕ, РBCDE – РАВЕ = (ВС + CD + DE + ВЕ) – (АВ + ВЕ + АЕ) = ВС + CD + DE + ВЕ – АВ – ВЕ – АЕ = ВС+ DE – АЕ.
6. РАBCD =2 ∙.( АВ + ВС) = 26 (см).
Ответ: 26 см.
Задача 2. (Слайд 14)
Слайд № 14

Учитель: Прочитайте задачу. О чем идет речь в задаче?
Ученик: О трапеции.
Учитель: Что в задаче известно про трапецию?
Ученик: Два противоположных угла трапеции относятся как 1 : 2, а два других - как 4 : 5
Учитель: Что в задаче требуется найти?
Ученик: Все углы трапеции.
Учитель: Какие есть предложения по способу решения данной задачи?
Ученик: 1) Ввести коэффициент пропорциональности xи y. 2) Выразить через них все углы. 3) Используя свойства: сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, составим систему уравнений. 4)Решим систему. 5) Найдем все углы..
Учитель: Вызывает к доске ученика.
Ученик: Один ученик объясняет подробное решение, а другой оформляет его у доски.
Краткая запись задачи:
K L Дано: KLMN – трапеция
M : К =1 : 2, N : L = 4 : 5
N M Найти: M, К, N, L
Рис. 14
Решение:
1. KLMN - трапеция К + N = M + L = 1800 (по свойству).
2. Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда M = х, К=2х. Пусть у - коэффициент пропорциональности, тогда N = 4у, L=5у. По условию задачи К + N = M + L = 1800.
3. Составим и решим систему уравнений:
x+5y=1802x+4y=180 -2x-10y=-3602x+4y=180 -6y=-180x+5y=180 y=30x=30Значит, M = 300, К=600, N = 1200, L=1500.
Ответ: M = 300, К=600, N = 1200, L=1500.
Задача 3. (Слайд 15)
Слайд № 15

Учитель: На слайде 15 дано условие задачи №3. Так же на слайде дан план решения данной задачи. Решите данную задачу самостоятельно. К доске вызывает ученика.
Ученик: Работает у доски с подробным объяснением задачи.
Краткая запись задачи:
E F Дано:
B C ABCD - параллелограмм
K L ВR, СТ, AF, DE - биссектрисы,
N M K, L, M, N - точки пересечения биссектрис
A T R D Доказать: KLMN - прямоугольник.
Рис. 15
Доказательство:
1. ABCD - параллелограмм, следовательно ВС || АD, СD || АВ (по определению), А =С, В= D (по свойству), тогда углы, образованные биссектрисами равны.
2. ВFA= BАF - накрест лежащие при ВС || АD и секущей AF (по свойству углов при параллельных прямых и секущей), тогда ВFA= BCT - соответственные при AF, CT и секущей BC, следовательно AF || CT (по признаку параллельности прямых).
3. CED= EDА - накрест лежащие при AВ || CD и секущей DE (по свойству углов при параллельных прямых и секущей), следовательно CED = CBR - соответственные при BR, ED и секущей BC, следовательно BR || ED (по признаку параллельности прямых).
4. BR || ED, AF || CT KLMN - параллелограмм (по определению)
5. С+ D = 180º90º= ( С+ D):2= С : 2+ D: 2 = MCD+ MDC = CMD CMD = KML = 90º (как вертикальные углы).
6. KLMN - параллелограмм LKN= KML = 90°(по свойству углов) KNM= KLM= 180º - 90º = 90º KLMN - прямоугольник (по определению)
Учитель: Теперь перейдем к 6 пункту плана.
Подведение итогов урока
Учитель: Повторим, что же мы сегодня вспомнили на уроке. (Слайд № 16)
Слайд № 16

Учитель: Какую тему мы сегодня повторили?
Ученик: Четырёхугольники.
Учитель: Какая фигура называется четырёхугольником?
Ученик: Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.
Учитель: Назовите свойства четырёхугольника?
Ученик: Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.
Слайд № 17

Учитель: Какая фигура называется параллелограммом?
Ученик: Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.
Учитель: Назовите свойства параллелограмма.
Ученик:
1. Противоположные стороны равны.
2. Противоположные углы равны.
3. Сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°.
4. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
5. Биссектриса одного из углов параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.
6. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
Слайд № 18

Учитель: Какая фигура называется прямоугольником?
Ученик: Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Учитель: Назовите свойства прямоугольника.
Ученик: Диагонали прямоугольника равны.
Учитель: Какая фигура называется ромбам?
Ученик: Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Учитель: Назовите свойства ромба.
Ученик: Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.
Слайд № 19

Учитель: Какая фигура называется квадратом?
Ученик: Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Учитель: Назовите свойства квадрата.
Ученик:
1. Все углы квадрата прямые.
2. Диагонали квадрата равны, делят углы квадрата пополам, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Слайд № 20

Учитель: Какая фигура называется трапецией?
Ученик: Трапеция - это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Учитель: Какая трапеция называется равнобедренной?
Ученик: Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой равны боковые стороны.
Учитель: Какая трапеция называется прямоугольной?
Ученик: Прямоугольная трапеция - это трапеция, один из углов которой прямой.
Учитель: Назовите свойства равнобедренной трапеции.
Ученик:
1) В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
2) В равнобедренной трапеции диагонали равны.
Учитель: Теперь перейдем к завершающему пункту - 7.
Домашнее задание
Учитель: Повторить виды, определения и свойства четырёхугольника. Решить следующие задачи:
Слайд № 21

Слайд № 22