Элективный курс Решение задач с параметрами
Поурочное планирование элективного курса
по математике для 9 классов
«Почему параметры – хитрые хамелеоны?»
выполнила: Кузьмина Н.К. учитель математики
МКОУ «Шумская средняя общеобразовательная школа»
с. Шум Кировского района Ленинградской области
Занятие № 1
Тема занятия: Что такое параметр? Что значит решить уравнение с параметром?
Цели: 1. Познакомить учащихся с понятием «параметр»;
2. Объяснить, зачем нужно уметь решать уравнения и неравенства с параметрами;
3.Сообщить учащимся, какие знания и умения они должны приобрести в ходе изучения данной темы;
4. На конкретных примерах показать, как решаются уравнения с одним параметром и как важно уметь правильно записывать ответ.
Ход занятия:
1. Вступительное слово.
Курс рассчитан на 13 часов. Задания с параметром часто встречаются на выпускных экзаменах в школе на уровень «5» ,а также на вступительных экзаменах в техникумы и ВУЗы, но в школьной программе практически не изучаются. Для усвоения этой темы достаточно базовых знаний по математике.
В конце изучения курса вы будете иметь представление о параметре, знать и владеть основными способами решения уравнений и неравенств с параметрами, уметь решать текстовые задачи с параметрами.
Т.е. изучение данного курса будет хорошей подготовкой к выпускным и вступительным экзаменам.
2. Изучение нового материала.
В уравнениях иногда некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами: такие буквы не называют параметрами.
С понятием параметра вы уже встречались (начиная с 7 класса, но не употребляя этого слова).
№ 1:
При изучении линейных уравнений: ax=в, где х - переменная, а, в - числа, которые могут принимать различные значения.
Корень данного уравнения х = в/а
, если а
· 0, то 1 корень х = в/а
, если а = 0, в
· 0 уравнение имеет общий вид (0х = в), то нет корней
, если а = 0 = в уравнение имеет общий вид (0х = 0), то бесчисленное множество корней.
Ответ:
если а
· 0, то 1 корень х = в/а
если а = 0, в
· 0, то нет корней
Если а = 0 = в , то бесчисленное множество корней.
№ 2:
Квадратные уравнения, которые мы решали в 8 классе тоже с параметрами.
Общий вид. ах2 + вх + с = 0,где х – переменная, а,в,с – числа, которые выполняют роль параметров.
При различных значениях а,в,с уравнение принимает разный вид и имеет различные корни. Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта (D).
D = в2 – 4ас,
Рассмотрим пример из экзаменационного сборника № 95.
При каких значениях параметра с у уравнения х2 + 2х + с = 0 а) нет корней; б) один корень; в) два корня?
Решение:
Если нет корней, то D < 0, т.е. 22 – 4*1*с < 0
4 – 4с < 0
-4с < -4
с > 1
Если 1 корень, то D = 0, т.е. 22 – 4*1*с = 0
4 – 4с = 0
-4с = -4
с = 1
Если 2 корня, то D > 0, т.е.22 – 4*1*с > 0
4 – 4с > 0
-4с > -4
с < 1
Ответ: 1) При с > 1 уравнение не имеет корней;
2) При с = 1 уравнение имеет 1 корень;
3) При с < 1 уравнение имеет 2 корня.
Мы видим, что при различных значениях с количество корней различно (так же, как и сами корни), т. е. значение параметра с меняется, приспосабливается к условию задачи(так же, как хамелеоны приспосабливаются к условиям среды обитания).
Теперь вам понятно, почему курс так назван?
Наша задача: распознать все значения параметров, научиться решать уравнения с одним параметром.
3. Закрепление.
№ 1:
Решить уравнение ах = 3 (х – переменная, а – параметр)
Решение:
Корень уравнения х = 3/а, ( х является неизвестным множителем).
при а
· 0 уравнение имеет 1 корень
при а = 0 нет корней (т.к. на 0 делить нельзя, или при а = 0 уравнение имеет вид 0х = 3)
Ответ: если а
· 0, то х = 3/а
если а = 0, то корней нет.
№ 2:
Решить уравнение (а – 2)*х = а – 2
Решение:
Выразим из уравнения х: х = 13 EMBED Equation.3 1415; х = 1, если а
· 2.
Если а = 2, то уравнение примет вид 0х = 0 (подставляю а = 2 в исходное уравнение). Значит любое значение х превращает уравнение в верное равенство, т.е. уравнение имеет бесчисленное множество корней.
Ответ: если а
· 2, то х = 1
если а = 2, то бесчисленное множество корней.
№ 3:
Решить уравнение (а2 – 9)*х = а + 3
Решение:
х = 13 EMBED Equation.3 1415 Попробуем упростить данную дробь: х = 13 EMBED Equation.3 1415.
Сократим дробь на общий множитель (а + 3), при условии, что (а + 3)
· 0, т.е. а
· -3
Получим х = 13 EMBED Equation.3 1415
Итак, 1) х = 13 EMBED Equation.3 1415, если а
· -3 и а
· 3;
2) если а = -3, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.
3) если а = 3, то уравнение примет вид 0х = 6 (подставляю а = 3 в исходное уравнение), значит нет корней.
Ответ: если а
· ±3, то х = 13 EMBED Equation.3 1415; если а = 3, то нет корней; если а = -3, то бесчисленное множество корней.
Очень важно отметить, что ответ начинают записывать с найденных значений параметра.
4. Запись домашнего задания.
Решить уравнение (а + 5)(а – 3)*х = а2 – 25
Решение домашнего задания:
х = 13 EMBED Equation.3 1415; х = 13 EMBED Equation.3 1415; х = 13 EMBED Equation.3 1415, если а
· 3 и а
· -5.
Если а = 3, то уравнение примет вид 0х = -16, значит нет корней.
Если а = -5, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.
Ответ: если а
· 3 и а
· -5, то х = 13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 3, то нет корней;
если а = -5, то бесчисленное множество корней.
Занятие № 2
Тема занятия: Решение линейных уравнений с параметрами.
Цели: 1. Дать определение линейного уравнения с параметрами;
2. Разобрать способы решения линейных уравнений с параметрами;
3. Научиться правильно записывать ответ.
Ход занятия.
1. Подготовка к изучению нового материала.
№ 1:
Каким (линейным или квадратным) является уравнение 5в(в - 2)х2 + (5в - 2)х – 16 = 0 относительно х при: а) в = 1; б) в = 2; в) в = 0,4; г) в = 0.
Решение: подставим данные значения в исходное уравнение, получим:
а) -5х2 + 3х – 16 = 0 – квадратное;
б) 8х – 16 = 0 – линейное;
в) -3,2 х2 – 16 = 0 – неполное квадратное;
г) -2х – 16 = 0 – линейное.
Мы будем решать сегодня линейные уравнения с параметрами.
На прошлом уроке мы повторяли общий вид линейного уравнения ах = в, где х – переменная, а,в – числа. Вспомним, как решаются линейные уравнения, которые даны не в явном виде. Например: 7х – 8 = 12х + 18.
Переносим слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую (при этом меняя знаки) 7х – 12х = 18 + 8;
Приводим подобные слагаемые -5х = 26;
Находим корень уравнения (х является неизвестным множителем) х = 26/(-5); х = -5,2;
Ответ: -5,2.
2. Изучение нового материала.
Точно такой же план решения и у линейного уравнения с параметром, только вычислив корень уравнения, мы должны подумать, всегда ли данная дробь имеет смысл, и рассмотреть все возможные значения параметра. В этом и состоит вся сложность.
Например: решить уравнение ах – 6 = х – 1.
Действуем по плану:
Переносим слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую (при этом меняя знаки) ах –х = -1 + 6;
В левой части уравнения мы не можем привести подобные, т.к. не знаем значения а, поэтому вынесем х за скобку, получим х(а – 1) = 5. (Фактически, это то же самое приведение подобных слагаемых, т.к. в предыдущем уравнении 7х – 12х = х(7-12) = -5х по распределительному закону.);
Найдем х как неизвестный множитель: х = 13 EMBED Equation.3 1415; дробь имеет смысл при а
· 1; если а = 1, то уравнение примет вид 0х = 5, значит нет корней.
Ответ: если а
· 1, то х = 13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 1, то нет корней.
3. Закрепление.
№ 1:
Решить уравнение ах - 3а = 2х
ах - 2х = 3а
х(а - 2) = 3а
х=13 EMBED Equation.3 1415; при а
· 2;
если а = 2, то уравнение примет вид 0х = 6, значит нет корней.
Ответ: если а
· 2;то корень х =13 EMBED Equation.3 1415 ;
если а = 2,то нет корней.
№ 2:
Решить уравнение хв2-3в = 4х+12
хв2-4х = 12+3в
х(в2-4 ) = 12+3в
х = 13 EMBED Equation.3 1415
х = 13 EMBED Equation.3 1415; дробь имеет смысл при в
· 2 и в
· -2;
если в = 2, то уравнение примет вид 0х =18, значит нет корней;
если в = -2, то уравнение примет вид 0х = 6. значит нет корней.
Ответ: если в
· 2 и в
·- 2, то корень х = 13 EMBED Equation.3 1415;
если в = 2 и в = -2 , то нет корней.
№ 3:
При каких значениях параметра а уравнения ах = 12 и 3х = а имеют общие корни?
Решение: Найдём корень каждого уравнения.
ах = 12 и 3х = а
х = 13 EMBED Equation.3 1415 х = 13 EMBED Equation.3 1415 ;
Если у уравнений общие корни, то их нужно приравнять, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415; по свойству пропорции имеем а2 = 36. значит а = ±6.
Ответ: при а = ±6 эти уравнения имеют общие (или одинаковые) корни.
№ 4:
Решить уравнение (n2-4)х = n3 - 2n2 – n + 2.
Решение:
Выразим х: х = 13 EMBED Equation.3 1415;
Разложим на множители числитель и знаменатель способом группировки с помощью формулы разности квадратов: х = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415
Если n
· ±2, то х =13 EMBED Equation.3 1415 ;
Если n = 2 , то уравнение примет вид 0х = 0 – бесчисленное множество корней;
Если n = -2, то уравнение примет вид 0х = 12 – нет корней.
Ответ: если n
· ±2, то 1 корень х =13 EMBED Equation.3 1415 ;
если n = 2 , то бесчисленное множество корней;
если n = -2, то нет корней.
4. Запись домашнего задания.
Решить уравнение ах = 4х + 5
Решение: ах – 4х = 5
х(а – 4) = 5
х = 13 EMBED Equation.3 1415 , если а
· 4
если а = 4, то уравнение примет вид 0х = 5, значит нет корней.
Ответ: если а
· 4, то 1 корень х = 13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 4, то нет корней.
Занятие № 3
Тема занятия: Линейные уравнения с параметрами.
Цели: 1.Повторить способ решения линейных уравнений с параметрами и закрепить его;
2.Разобрать более сложные линейные уравнения с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Изучение нового материала (разобрать уравнение с параметрами, где есть условие, что корнями уравнения могут быть только целые числа).
№ 1:
Решить уравнение вх – 1 = 0. При каком значении в Z корнем уравнения является тоже целое число.
Решение:
вх = 1; х = 13 EMBED Equation.3 1415, при в
· 0;
если в = 0, то уравнение примет вид 0х = 1, значит нет корней.
Корень уравнения является целым числом при в = ±113 EMBED Equation.3 1415
Ответ: если в
· 0, то х = 13 EMBED Equation.3 1415;
если в = 0, то нет корней;
если в = ±1, то х – целое.
№ 2:
В уравнении n(х + 5) = n2 + n + 4 известно, что n N. Имеет ли уравнение целые корни и при каком n?
Решение:
nх + 5n = n2 + n + 4;
nх = n2 + n + 4 - 5n;
nх = n2 - 4n + 4;
х = 13 EMBED Equation.3 1415; выделим в этой дроби целую часть, т.е. разделим почленно числитель на знаменатель, получим: х = 13 EMBED Equation.3 1415;
х является целым числом, если дробь 13 EMBED Equation.3 1415 тоже целое, а это будет в том случае, если n = 1,2,4.
Ответ: при n = 1,2,4 уравнение имеет целые корни.
№ 3:
Решить уравнение х – ху + 5у = 7 в целых числах.
Решение:
Т.к. данное уравнение содержит две переменные, то одна из них является параметром. Примем за параметр любую из переменных, например, у. Получим:
х – ху = 7 – 5у;
х(1 – у) = 7 – 5у;
х = 13 EMBED Equation.3 1415; если бы нужно было просто решить уравнение, то ответ был бы следующий: если у
· 1, то корень х = 13 EMBED Equation.3 1415; если у = 1, то нет корней, т.к. уравнение примет вид 0х = 2. Но нам нужно указать все целые значения х, поэтому в дроби 13 EMBED Equation.3 1415 нужно выделить целую часть: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, х = 13 EMBED Equation.3 1415. Дробь 13 EMBED Equation.3 1415 должна быть целой, это произойдет если 1 – у является делителем числа 2. Это будет при у = 0; -1; 2; 3.
если у = 0, то х = 7;
если у = -1, то х = 6;
если у = 2, то х = 3;
если у = 3, то х = 4.
Ответ: целые решения ( 7; 0 ); ( 6; -1 ); ( 3; 2 ); ( 4; 3 ).
3. Закрепление.
Решит № 3, но при условии, что х – параметр.
Решение:
х – ху + 5у = 7;
5у – ху = 7 – х;
у(5 – х) = 7 – х;
у = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=1 + 13 EMBED Equation.3 1415;
Итак, у = 1 + 13 EMBED Equation.3 1415; дробь 13 EMBED Equation.3 1415 должна быть целой, это произойдет если 5 – х является делителем числа 2. Это будет при х = 4; 6; 3; 7.
если х = 4, то у = 3;
если х = 6, то у = -1;
если х = 3, то у = 2;
если х = 7, то у = 0.
Ответ: целые решения ( 4; 3 ); ( 6; -1 ); ( 3; 2 ); ( 7; 0 ). Получились те же самые ответы.
4. Запись домашнего задания.
При каком целом неотрицательном значении n уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 = 1 имеет только целые корни?
Решение:
Умножим на 9 обе части уравнения, чтобы избавиться от дроби, получим:
4n – 6 – 3(x – 2) = 9;
4n – 6 – 3x + 6 = 9;
4n – 3x = 9;
– 3x = 9 – 4n;
x = 13 EMBED Equation.3 1415; x = -3 + 13 EMBED Equation.3 1415; дробь 13 EMBED Equation.3 1415 должна быть целой, это произойдет если n = 0 и если n кратно 3, т.е n = 3k, где k N.
Ответ: уравнение имеет целые корни при n = 0 и n = 3k, где k N.
Занятие № 4
Тема занятия: Линейные неравенства с параметрами.
Цели: 1.Повторить определение линейного неравенства, его свойства и способы решения;
2.Узнать, что значит решить линейное неравенство с параметрами, научиться правильно записывать ответ.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Подготовка к изучению нового материала.
Сначала вспомним, что называется линейным неравенством.
Неравенство вида ах + в > 0; ах + в < 0; ах + в
· 0; ах + в
· 0, где х – переменная, а и в – любые числа, называется линейным. В данном случае а и в играют роль параметров. При решении линейных неравенств используются следующие свойства:
1. К обеим частям неравенства можно прибавлять и вычитать одно и то же любое число. При этом неравенство останется верным;
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то неравенство останется верным;
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом поменять знак неравенства, то неравенство останется верным;
4. Можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак слагаемых на противоположный, при этом получается неравенство равносильное данному.
Разберем на примерах:
№ 1:
3х – 2 < 5х – 5;
3х –5х < -5 + 2;
-2х < -3;
х > -3/(-2);
х > 1,5.
Ответ: ( 1,5; +
· )
№ 2:
7х + 8
· 2х – 1;
7х – 2х
· -1 – 8;
5х
· -9;
х
· -9/5;
х
· -1,8.
Ответ: ( -
·; -1,8 ]
3.Изучение нового материала.
Те же свойства используются при решении линейных неравенств с параметрами.
№ 1:
Решить линейное неравенство с параметром ах < 2.
Решение:
В отличии от уравнений я не могу сразу выразить х, т.к. не знаю какое по знаку а.
1) если а > 0, то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
2) если а < 0, то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
3) если а = 0, то 0х < 2, отсюда следует 0 < 2.
Ответ: если а > 0, то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
если а < 0, то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 0, то х – любое число (бесчисленное множество решений).
№ 2: (самостоятельно)
Решить неравенство с параметром ах > 3.
Решение:
1) если а > 0, то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
2) если а < 0, то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
3) если а = 0, то 0х > 3, 0 > 3 – неверно.
Ответ: если а > 0, то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
если а < 0, то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 0, то нет решений. если а > 0, то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
№ 3:
Решить неравенство с параметром 5х – а > ах – 3 .
Решение:
5х – ах > а – 3;
х(5 – а) > а – 3; решение неравенства зависит от скобки (5 – а).
1) если 5 – а > 0, (т.е. -а > -5; а < 5), то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
2) если 5 – а < 0, (т.е. -а < -5; а > 5), то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
3) если 5 – а = 0, (т.е. а = 5), то 0х > 5 – 3; 0 > 2 – неверно.
Ответ: если а < 5, то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
если а > 5, то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 5, то решений нет.
4. Закрепление.
№ 1:
Решить неравенство с параметром ха – х < а2 – 1 .
Решение:
х(а – 1) < (а – 1) (а + 1)
1) если а – 1 > 0 (т.е а > 1), то х < 13 EMBED Equation.3 1415, значит х < а + 1;
2) если а – 1 < 0 (т.е. а < 1), то х > а + 1;
3) если а – 1 = 0 (т.е. а = 1), то 0х < 0; 0 < 0 – неверно.
Ответ: если а > 1, то х < а + 1;
если а < 1, то х > а + 1;
если а = 1, то нет решений.
№ 2:
Решить неравенство с параметром а(ах – 1) > 3(2ах - 3х + 1).
Решение:
а2х – а > 6ах – 9х + 3;
а2х – 6ах + 9х > а + 3;
х(а2 – 6а + 9) > а + 3;
х(а – 3)2 > а + 3;
(а – 3)2 > 0 при а
· 3, а при а = 3 (а – 3)2 = 0;
при а
· 3 (а – 3)2 > 0, значит х > 13 EMBED Equation.3 1415;
при а = 3 0х > 6; 0 > 6 – неверно.
Ответ: при а
· 3 х > 13 EMBED Equation.3 1415; при а = 3 – нет решений.
5. Запись домашнего задания.
Решить неравенство с параметром рх – 3 < 2х + 5.
Решение:
рх – 2х < 5 + 3;
х(р – 2) < 8;
1) если р – 2 > 0 (т.е. р > 2), то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
2) если р – 2 < 0 (т.е. р < 2), то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
3) если р = 2, то 0х < 8 – бесчисленное множество корней.
Ответ: если р > 2, то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
если р < 2, то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
если р = 2, то бесчисленное множество корней.
Занятие № 5
Тема занятия: Линейные неравенства с параметрами.
Цели: 1.Закрепить способы решения линейного неравенства и уравнения;
2.Проверить, насколько прочно усвоена эта тема.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Решение неравенств и уравнений на повторение.
№ 1:
Решить неравенство и ответить на вопрос: существуют ли такие значения, при которых неравенство ах > 2х + 5 не имеет решений?
Решение:
ах – 2х > 5;
х(а – 2) > 5;
если а – 2 > 0 (т.е. а > 2), то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
если а – 2 < 0 (т.е. а < 2), то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
если а – 2 = 0 (т.е. а = 2), то 0х > 5; 0 > 5 – неверно.
Ответ: при а > 2 х > 13 EMBED Equation.3 1415;
при а < 2 х < 13 EMBED Equation.3 1415;
при а = 2 у неравенства нет решений.
№ 2:
Решить неравенство и ответить на вопрос: существуют ли такие значения, при которых неравенство в(х – в)
· 3х – 9 имеет бесконечное множество решений?
Решение:
вх – в2
· 3х – 9;
вх – 3х
· в2 – 9;
х(в – 3)
· (в – 3)( в + 3);
если в – 3 > 0 (т.е. в > 3), то х
· 13 EMBED Equation.3 1415; х
· в + 3;
если в – 3 < 0 (т.е. в < 3), то х
· в + 3;
если в – 3 = 0 (т.е в = 3), то 0х
· 0 – верно при любом х.
Ответ: при в > 3 х
· в + 3;
при в < 3 х
· в + 3;
при в = 3 неравенство имеет бесконечное множество решений.
№ 3:
При каком значении параметра а корень уравнения 3х(а + 4) = 6а + 35 в 3 раза меньше корня уравнения 2(-х – 1) = 3(2 – х) ?
Решение:
Найдем корень первого уравнения: х = 13 EMBED Equation.3 1415 ;
Найдем корень второго уравнения: -2х – 2 = 6 – 3х;
-2х + 3х = 6 + 2;
х = 8
Дробь 13 EMBED Equation.3 1415 в 3 раза меньше, чем 8, значит можно составить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415= 8 (сократим дробь на 3), получим: 13 EMBED Equation.3 1415= 8.
По свойству пропорции имеем 8(а + 4) = 6а + 35;
8а + 32 = 6а + 35;
8а – 6а = 35 – 32; 2а = 3; а = 1,5.
Ответ: корень уравнения 3х(а + 4) = 6а + 35 в 3 раза меньше корня уравнения 2(-х – 1) = 3(2 – х) при а = 1,5
3.Самостоятельная работа.
№ 1:
Решить уравнение в(в – 1)х = в2 + в – 2
Решение:
х = 13 EMBED Equation.3 1415. Попытаемся сократить данную дробь. Разложим квадратный трехчлен на множители: в2 + в – 2 = 0; в1 = -2; в2 = 1 ( по теореме Виета).
в2 + в – 2 = (в + 2)( в – 1);
х = 13 EMBED Equation.3 1415;
1) х = 13 EMBED Equation.3 1415, 1 корень, если в
· 0 и в
· 1;
2) если в = 0, то уравнение примет вид 0х = -2, значит нет корней;
3) если в = 1, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.
Ответ: если в
· 0 и в
· 1, то 1 корень х = 13 EMBED Equation.3 1415;
если в = 0, то нет корней;
если в = 1, то бесчисленное множество корней.
№ 2:
Решить неравенство а(ах – 1) > 3(2ах – 3х + 1).
Решение:
а2х – а > 6ах – 9х + 3;
а2х - 6ах + 9х > 3 + а;
х(а2 – 6а + 9) > 3 + а;
х(а – 3)2 > 3 + а, т.к. (а – 3)2 > 0 при любом а
· 3, то х > 13 EMBED Equation.3 1415 при а
· 3.
если а = 3, то неравенство примет вид 0х > 3 + 3, т.е. 0 > 6 – неверно, значит нет решений.
Ответ: если а
· 3, то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 3, то нет решений.
4.Запись домашнего задания.
Повторить определения, виды и способы решения квадратных уравнений.
Занятие № 6
Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.
Цели: 1.Дать определение квадратного уравнения с параметрами;
2.Разобрать на примерах способы решения квадратных уравнений с параметрами.
Ход занятия.
1.Повторение и подготовка к изучению нового материала.
ах2+вх+с=0- квадратное уравнение, где х- переменная, а, в, с,- числа; если одно из них не указано, то это и есть параметр. Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта Д = в2- 4ас.
2. Изучение нового материала
№ 1:
Решить уравнение х2 – вх + 4 = 0
Решение:
Если D > 0 – 2 корня; D < 0 – нет корней; D = 0 – 1 корень.
D = в2 – 4ас = (-в)2 – 4*1*4 = в2 – 16
1) если D > 0 (т.е в2 – 16 > 0), то х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415, отсюда следует: в < -4 или в > 4;
2) если D = 0 (т.е. в2 – 16 = 0), то 1 корень х = 13 EMBED Equation.3 1415;
3) если D < 0 (т.е. в2 – 16 < 0), то -4 < в < 4 – нет корней.
Ответ: если в < -4 или в > 4, то х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415;
если в = ±4, то х = 13 EMBED Equation.3 1415;
если -4 < в < 4, то нет корней.
3.Закрепление.
№97 (Из экзаменационного сборника)
При каких значениях параметра с уравнение 13 EMBED Equation.3 1415х2 + сх + 11 = 0 имеет два корня? Приведите пример отрицательного значения с, удовлетворяющего этому условию.
Решение:
Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415х2 + сх + 11 = 0 имеет два корня, если D > 0; т. е. D = с2 – 4* 13 EMBED Equation.3 1415*11= с2 – 11;
с2 – 11> 0, т.е 13 EMBED Equation.3 1415(с + 13 EMBED Equation.3 1415) > 0
13 EMBED Equation.3 1415
· 3,4
13 EMBED Equation.3 1415(с + 13 EMBED Equation.3 1415)= 0.если (с + 13 EMBED Equation.3 1415)= 0 или с-13 EMBED Equation.3 1415= 0, т. е. с = ± 13 EMBED Equation.3 1415
При с < -13 EMBED Equation.3 1415или с > 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет два корня, например при с = 4 .
Ответ: при с < -13 EMBED Equation.3 1415или с > 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет два корня, например при с = 4.
№ 98(из экзаменационного сборника)
При каких значениях параметра а уравнение ах2+х+2 = 0 имеет два корня? Из чисел
-13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415;-13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415 выберите те, которые удовлетворяют этому условию.
Решение:
Данное уравнение будет квадратным при условии, что, а
· 0, т. к. если а = 0, то уравнение будет линейным х+2 = 0 и корень будет один.
Квадратное уравнение имеет два корня, если D > 0.
Значит, D = 12 – 4а2 = 1 – 8а
1 – 8а > 0;
-8а > -1;
а < 13 EMBED Equation.3 1415;
Числа, которые меньше 13 EMBED Equation.3 1415 это 13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 >13 EMBED Equation.3 1415, значит, оно не подходит.
Ответ: при а < 0 и 0 < а < 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет два корня.
4.Запись домашнего задания.
№ 96. (из экзаменационного сборника)
При каких значения в уравнение 16х2 + вх + 1 = 0 не имеет корней? Имеет ли уравнение корни при в = 0,03, при в = -20,4?
Решение:
Квадратное уравнение 16х2 + вх + 1 = 0 не имеет корней если D < 0, т.е.:
D = в2 – 4*16*1 = в2 – 64;
в2 – 64 < 0;
(в – 8)( в + 8) < 0;
(в – 8)( в + 8) = 0 если в – 8 = 0 (т.е. в = 8) или в + 8 = 0 (т.е. в = -8);
Значит -8 < в < 8. Число 0,03 удовлетворяет данному условию, т.е. при в = 0,03 уравнение не имеет корней, а число -20,4 < -8, значит при в = -20,4 уравнение имеет корни.
Ответ: при -8 < в < 8 уравнение не имеет корней.
Занятие № 7
Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.
Цели: 1.Повторить способ решения квадратных уравнений.
2.Разобрать более сложные примеры решения квадратных уравнений с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Решение более сложных уравнений.
№ 1:
Решить уравнение (а + 1)х2 – 2х + 1 – а = 0
Решение:
D = в2 – 4ас = (-2)2 – 4(а + 1)(1 – а) = 4 – 4(1 – а2) = 4 – 4 + 4а2 = 4а2;
х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, если а > 0, то 13 EMBED Equation.3 1415= 2а
если а < 0, то 13 EMBED Equation.3 1415= -2а
х1 = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 1; х2 = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, если а
· -1
А если а = -1, то подставляем в исходное уравнение данное значение параметра а и получим: -2х + 1 – (-1) = 0;
-2х + 2 = 0;
-2х = -2;
х = 1.
Ответ: если а
· -1, то х = 1 и х =13 EMBED Equation.3 1415;
если а = -1, то х = 1.
№ 2:
Решить уравнение ах2 + (2а2 – 1)х – 2а = 0.
Решение:
D = (2а2 – 1)2 – 4а(-2а) = 4а4 – 4а2 + 1 + 8а2 = 4а4 + 4а2 + 1 = ((2а2 + 1)2;
х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 2а2 + 1, т.к а2
· 0 при любом а.)
х1 = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415;
х2 = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= -2а; если а
· 0.
А если а = 0, то -1х = 0; х = 0.
Ответ: если а
· 0, то х = 13 EMBED Equation.3 1415 и х = -2а;
если а = 0, то х = 0.
№ 3:
Решить уравнение а2х2 + ах = 0.
Решение:
Это неполное квадратное уравнение.
ах(ах + 1) = 0;
ах = 0 или ах = -1, х = -13 EMBED Equation.3 1415;
1) если а
· 0, то х = 0 или х = -13 EMBED Equation.3 1415;
2) если а = 0, то 0х = 0 – бесчисленное множество корней.
Ответ: если а
· 0, то х = 0 или х = -13 EMBED Equation.3 1415; если а = 0, то х – любое число.
№ 4:
При каких значениях в уравнение вх2 – 6х + в = 0 имеет два корня? Запишите пример такого уравнения.
Решение:
1) в
· 0, т.к. при в = 0 уравнение примет вид -6х = 0, х = 0 и не будет являться квадратным;
2) уравнение будет иметь два корня если D > 0:
D = (-6)2 - 4вв = 36 – 4в2;
36 – 4в2 > 0;
36 – 4в2 = 0;
-4в2 = -36;
в2 = 9
в1,2 = ± 3
Ответ: -3 < в < 0 или 0 < в < 3;
Например, в = 2,5, тогда 2,5х2 – 6х + 2,5 = 0;
в = -1, тогда –х2 – 6х – 1 = 0.
3.Запись домашнего задания.
При каких значениях а уравнение ах2 + х – 3 = 0 имеет два корня? Из чисел 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 выберите те, которые удовлетворяют этому условию.
Решение:
1) а
· 0, т.к если а = 0, то уравнение примет вид х – 3 = 0, т.е. будет линейным и будет иметь один корень;
2) уравнение будет иметь два корня если D > 0:
D = 1 – 4а(-3) = 1 + 12а;
1 + 12а > 0;
12а > -1;
а > 13 EMBED Equation.3 1415.
Числа, которые больше 13 EMBED Equation.3 1415 это 13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 < 13 EMBED Equation.3 1415, значит не подходит.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415 < а < 0 и а > 0 уравнение имеет два корня; этому условию удовлетворяют числа 13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Занятие № 8
Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.
Цели: 1.Закрепить способ решения квадратных уравнений.
2.Проверить насколько прочно усвоена тема.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Решение уравнений.
№ 1:
При каких значениях параметра а уравнение х2 + (а – 3)х + а = 0 имеет два положительных корня?
Решение:
1) уравнение имеет два корня, если D > 0:
D = в2 – 4ас = (а – 3)2 – 4а = а2 – 6а +9 – 4а = а2 – 10а + 9;
а2 – 10а + 9 > 0;
2) если корни положительные, то их произведение х1* х2 = а, где а > 0, а сумма х1 + х2 = -(а – 3) = 3 – а; значит а – 3 < 0;
3) решим систему неравенств а2 – 10а + 9 > 0
а > 0
а – 3 < 0
а2 – 10а + 9 = 0;
Dґ = 25 – 9 = 16;
а1,2 = 5 ± 13 EMBED Equation.3 1415= 5 ± 4;
а1 = 9; а2 = 1
Получим а < 1 или а > 9 и 0 < а < 3
Ответ: при 0 < а < 1 уравнение будет иметь два положительных корня.
№ 2:
При каком в корни уравнения х2 – 2(в – 2)х + в = 0 будут равными?
Решение:
Т.к. уравнение квадратное, то корни уравнения будут равными в том случае если D = 0, т.е два одинаковых корня или одно число. Т.к. второй коэффициент равен 2(в – 2) – четное число, то можно решать по второй формуле. Dґ = (в – 2)2 – в = в2 – 4в + 4 – в = в2 – 5в + 4;
в2 – 5в + 4 = 0;
в1 = 4, в2 = 1 ( по теореме Виета)
Ответ: при в1 = 4, в2 = 1 корни уравнения будут равными.
№ 3:
При каком значении параметра а уравнение (а – 2)х2 + 2(а – 2)х + 2 = 0 не имеет действительных корней?
Решение:
Квадратное уравнение не имеет действительных (т.е. рациональных и иррациональных) корней, если D < 0. Т.к. второй коэффициент равен 2(а – 2) – четное число, то можно решать по второй формуле. Dґ = (а – 2)2 - 2(а – 2) = а2 – 4а + 4 – 2а + 4 = а2 – 6а + 8;
а2 – 6а + 8 < 0;
а2 – 6а + 8 = 0;
а1 = 4, а2 = 2 ( по теореме Виета);
Проверим какой вид имеет уравнение при а = 4, получим 2х2 + 4х + 2 = 0; D = 16 – 4*2*2 = = 16 – 16 = 0; значит при а = 4 уравнение имеет один корень.
Проверим какой вид имеет уравнение при а = 2, получим 0х2 + 0х + 2 = 0, т.е 2 = 0 – неверно, значит при а = 2 уравнение тоже не имеет действительных корней.
Ответ: при 2
· а < 4 данное уравнение не имеет действительных корней.
3.Самостоятельная работа.
№ 1:
При каких значениях в уравнение х2 + вх + 9 = 0 имеет корни? Имеет ли уравнение корни при в = -10,5; при в = 0,7?
Решение:
Уравнение имеет два корня если D > 0, т.е. D = в2 – 4*9 = в2 – 36;
в2 – 36 > 0;
(в – 6) (в + 6) > 0;
(в – 6) (в + 6) = 0
в – 6 = 0 (т.е. в = 6) или в + 6 = 0 (т.е. в = -6).
Ответ: при в < -6 или в > 6 уравнение имеет два корня.
№ 2:
При каких значениях в уравнение вх2 – 5х + 13 EMBED Equation.3 1415в = 0 имеет один корень?
Решение:
1) уравнение имеет один корень если в = 0, т.к. тогда уравнение примет вид -5х = 0 – линейное, и будет иметь один корень х = 0;
2) если в
· 0, то квадратное уравнение имеет один корень при D = 0, т.е.
D = 52 – 4в13 EMBED Equation.3 1415 = 25 – в2;
25 – в2 = 0;
в2 = 25;
в = ± 5
Ответ: при в = ± 5 и при в = 0 данное уравнение имеет один корень.
4.Запись домашнего задания.
Повторить определение и способы решения дробно рациональных уравнений.
Занятие № 9
Тема занятия: Дробно рациональные уравнения с параметрами.
Цели: 1.Повторить определение дробно рационального уравнения и способ решения.
2.Разобрать способ решения дробно рациональных уравнений с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.(устно)
2.Подготовка к изучению нового материала.
№ 1:
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415= 0
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415= 0;
13 EMBED Equation.3 1415= 0;
ОДЗ: у
· 5; у
· -5.
у2 + 3у – 10 = 0;
D = 9 – 4*(-10) = 49;
у1 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 2; у2 = 13 EMBED Equation.3 1415 = -5 – посторонний корень, т.к не подходит к ОДЗ.
Ответ: у = 2.
3.Изучение нового материала.
№ 2:
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415= 1 + 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 - 1 - 13 EMBED Equation.3 1415 = 0;
13 EMBED Equation.3 1415= 0;
13 EMBED Equation.3 1415= 0;
ОДЗ: х
· 0; х
· 2.
2х – ах + 2а =0;
2х – ах = -2а;
х(2 – а) = -2а;
х = 13 EMBED Equation.3 1415; если а
· 2; если а = 2, то уравнение имеет вид 0х = -4, т.е нет корней;
Сложность решения дробно рациональных уравнений с параметрами состоит в том, что нужно еще обязательно проверить при каком значении а корень уравнения х принимает значение, не входящее в ОДЗ.
Выясним, при каком а х = 0 и х = 2:
х = 0, т.е 13 EMBED Equation.3 1415= 0, если 2а = 0, то а = 0 (значит а = 0 нужно тоже исключить);
х = 2, т.е 13 EMBED Equation.3 1415= 2, если (а – 2)2 = 2а; 2а – 4 = 2а; -4 = 0 – неверно, значит х не может быть равен 2 ни при каком а.
Ответ: если а
· 2 и а
· 0, то х = 13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 0 и а = 2, то корней нет.
4.Закрепление.
№ 3:
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415= 0;
13 EMBED Equation.3 1415= 0;
ОДЗ: х
· а; х
· -а;
х2 – 2ах + 2х + а2 – 2а = 0;
х2 + х(2 – 2а) + (а2 – 2а) = 0 – приведенное квадратное уравнение, т.к. первый коэффициент равен 1, второй коэффициент четный 2 – 2а = 2(1 – а), свободный член а2 – 2а. Поэтому можно решать по второй формуле нахождения корней.
Dґ= (1 – а)2 – (а2 – 2а) = 1 – 2а + а2 – а2 + 2а = 1.
х1,2 = а – 1 ± 1; х1 = а – 1 + 1 = а – посторонний корень, т.к не подходит к ОДЗ; х2 = а – 1 – 1 = а – 2.
Выясним при каком а х = ±а:
х = а, т.е а – 2 = а; 0 = 2 – неверно, значит х не может быть равен а ни при каком значении параметра а;
х = -а, т.е. а – 2 = -а; 2а = 2; а = 1 (значит а = 1 нужно исключить).
Ответ: если а
· 1, то х = а – 2;
если а = 1, то нет корней.
5.Запись домашнего задания.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415 = 0;
13 EMBED Equation.3 1415 = 0;
ОДЗ: х
· -2; х2 – 2х + 4
· 0, при любом х, т.к. уравнение х2 – 2х + 4 = 0 не имеет корней.
х2 – 2х + 4 – 2вх + х – 4в + 2 – 6 + 4в = 0;
х2 – х– 2вх = 0;
х2 – х(2в + 1) = 0 – неполное квадратное уравнение, т.к. свободный член равен нулю.
х(х – 2в – 1) = 0;
х = 0 или х – 2в – 1 = 0
х = 2в + 1
Выясним, при каком значении параметра в х = -2, т.е. 2в + 1 = -2; 2в = -3; в = -1,5 (значит в = -1,5 нужно исключить).
Ответ: если в
· -1,5, то уравнение имеет два корня х = 0 и х = 2в + 1;
если в = -1,5 , то уравнение имеет только один корень х = 0.
Занятие № 10
Тема занятия: Решение дробно рациональных уравнений с параметрами.
Цели: 1.Разобрать более сложные дробно рациональные уравнения с параметрами с дополнительным условием.
2. Проверить, насколько прочно усвоен способ решения дробно рациональных уравнений с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Решение с классом.
№ 1.
Найти все целые корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, если а N.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415= 0;
13 EMBED Equation.3 1415 = 0; ОДЗ: х – 3
· 0; ах + 3
· 0
х
· 3; ах
· -3; х
· 13 EMBED Equation.3 1415;
х2 – ах2 – а2х – 6х – ах = 0;
х2(1 – а) – х(а2 + а + 6) = 0 – неполное квадратное уравнение;
х((1 – а)х – а2 – а – 6) = 0; х = 0 или (1 – а)х – а2 – а – 6) = 0;
(1 – а)х = а2 + а + 6;
х = 13 EMBED Equation.3 1415, если а
· 1;
если а = 1, то уравнение примет вид 0х = 8 – неверно.
Выясним, при каком а х = 3 и х =13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415= 3;
3 – 3а = а2 + а + 6;
а2 + а + 6 + 3а – 3 = 0;
а2 + 4а + 3 = 0;
а1 = -3, а2 = -1 – не принадлежат к натуральным числам;
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415;
а3 + а2 + 6а = -3 + 3а;
а3 + а2 + 6а + 3 – 3а = 0;
а3 + а2 + 3а + 3 = 0;
а2(а + 1) + 3(а + 1) = 0;
(а + 1)(а2 + 3) = 0;
а + 1 = 0; а = -1 – не принадлежит к натуральным числам;
а2 + 3 = 0 – нет корней.
Т.е. ни при каком натуральном а корень уравнения не равен 3 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак: х = 13 EMBED Equation.3 1415. Выделим из этой дроби целую часть:
(а2 + а + 6)/(-(а – 1) = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 =
= 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415= -(а + 2) + 13 EMBED Equation.3 1415= -а – 2 - 13 EMBED Equation.3 1415;
Дробь -13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 - целая, если знаменатель 1 – а является делителем числа 8, т.е.:
1 – а = 4, отсюда а = -3 – не принадлежит к натуральным числам;
1 – а = 2, отсюда а = -1 – не принадлежит к натуральным числам;
1 – а = -4, отсюда а = 5, значит х = -9;
1 – а = -2, отсюда а = 3, значит х = -9;
1 – а = 8, отсюда а = -3 – не принадлежит к натуральным числам;
1 – а = -8, отсюда а = 9, значит х = -12;
1 – а = 1, отсюда а = 0 – не принадлежит к натуральным числам;
1 – а = -1, отсюда а = 2, значит х = -12.
Ответ: целые решения уравнения – х = 0; -9; -12.
3.Решение самостоятельно.
№ 2:
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415= 0; ОДЗ: у
· 0; у
· а;
13 EMBED Equation.3 1415= 0;
5у – 3а – 4 = 0;
5у = 3а + 4;
у = 13 EMBED Equation.3 1415;
Выясним, при каком а у = 0: 13 EMBED Equation.3 1415= 0, 3а = 4, а = 13 EMBED Equation.3 1415;
при каком а у = а: 13 EMBED Equation.3 1415= а, 3а + 4 = 5а, 3а – 5а = -4, -2а = -4, а = 2.
Ответ: 1) если а
· 13 EMBED Equation.3 1415 и а
· 2, то уравнение имеет 1 корень у = 13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 13 EMBED Equation.3 1415 и а = 2, то уравнение корней не имеет.
4.Запись домашнего задания.
Исследовать и решить уравнение с параметром 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
ОДЗ: х
· ±2а;
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, получаем:
х(х - 2а) – (2а + х)2 = -16а2;
х2 – 2ах – 4а2 – 4ах – х2 = -16а2;
6ах = 12а2; 6а(х – 2а) = 0.
1) если а
· 0, то х = 2а – не удовлетворяет ОДЗ;
2) если а = 0, то уравнение примет вид 0х = 0 – бесконечное множество корней;
Ответ: 1) при а
· 0 – нет решений;
2) при а = 0, х – любое.
Занятие № 11
Тема занятия: Решение задач с параметрами..
Цели: 1.Разобрать решение текстовых задач с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Подготовка к изучению нового материала.
При решении задач с параметрами приходится учитывать допустимые значения параметра, определяемые смыслом задачи. Например, если вопрос задачи: «Сколько времени турист в пути?», то понятно, что в ответе должны получиться положительные числа; или «Сколько страниц в книге?» - в ответе только натуральные числа.
3.Изучение нового материала.
Задача № 1:
В седьмом, восьмом и девятом классах учится 105 учащихся. В восьмом классе учащихся на n больше, чем в седьмом, а в девятом на 3 меньше, чем в седьмом. Сколько учащихся в каждом классе, если известно, что в каждом классе их не менее 30 человек?
Решение:
в 7 классе – ? (х)
в 8 классе – на n больше (х + n) 105 учащихся.
в 9 классе – на 3 меньше (х – 3)
Составим уравнение: х + х + n + х – 3 = 105;
3х = 105 + 3 – n ;
3х = 108 – n;
х = 13 EMBED Equation.3 1415;
х = 36 – 13 EMBED Equation.3 1415 - учащихся в 7 классе;
36 – 13 EMBED Equation.3 1415 + n = 36 – 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 36 + 13 EMBED Equation.3 1415 - учащихся в 8 классе;
36 – 13 EMBED Equation.3 1415 – 3 = 33 – 13 EMBED Equation.3 1415 - учащихся в 9 классе;
Меньше всего учащихся в 7 или 9 классе, значит:
36 – 13 EMBED Equation.3 1415
· 30; и 33 – 13 EMBED Equation.3 1415
· 30;
- 13 EMBED Equation.3 1415
· 30 – 36; - 13 EMBED Equation.3 1415
· -3;
- 13 EMBED Equation.3 1415
· -6; n
· 9.
n
· 18.
Т.к. количество учащихся является натуральным числом, то n кратно 3, т.е. n = 3 ;6; 9.
если n = 3, то в 7 классе 36 – 13 EMBED Equation.3 1415 = 35 учащихся;
в 8 классе 36 + 2 = 38 учащихся;
в 9 классе 33 – 1 = 32 учащихся;
если n = 6, то в 7 классе 36 – 13 EMBED Equation.3 1415 = 34 учащихся;
в 8 классе 36 + 4 = 40 учащихся;
в 9 классе 33 – 2 = 31 учащихся;
если n = 9, то в 7 классе 36 – 13 EMBED Equation.3 1415 = 33 учащихся;
в 8 классе 36 + 6 = 42 учащихся;
в 9 классе 33 – 3 = 30 учащихся;
Ответ: в 7, 8, 9 классах соответственно 35, 38, 32 ученика, или 34, 40, 31 ученик, или 33, 42, 30 учеников.
4.Закрепление. ( у доски)
Задача № 2:
На нашей улице 24 дома, которые имеют 12, 16, 17 этажей. Известно, что 17-ти этажных домов в два раза больше, чем 16-ти этажных, а 12-ти этажных домов на n меньше, чем 16-ти этажных. Сколько домов каждого вида?
17-ти этаж. в 2 раза больше (2х)
16-ти этаж. (х) 24 дома
12-ти этаж. на n меньше (х – n)
Составим уравнение: 2х + х + х – n = 24;
4х = 24 +n;
х = 13 EMBED Equation.3 1415;
х = 6 + 13 EMBED Equation.3 1415 - 16-ти этажных домов;
(6 + 13 EMBED Equation.3 1415)*2 = 12 + 13 EMBED Equation.3 1415 - 17-ти этажных домов;
6 + 13 EMBED Equation.3 1415 - n = 6 + 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 = 6 – 13 EMBED Equation.3 1415 - 12-ти этажных домов;
Т.к. n является натуральным числом, то n кратно 4, т.е. n = 4, 8, 12,
По смыслу задачи количество домов должно быть больше 0, т.е 6 – 13 EMBED Equation.3 1415 > 0; -13 EMBED Equation.3 1415 > -6; 3n < 24; n < 8, отсюда следует n = 4.
если n = 4, то 6 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 7 – 16-ти этажных домов;
12 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 14 – 17-ти этажных домов;
6 – 13 EMBED Equation.3 1415 = 3 – 12-ти этажных дома.
Ответ: 7 домов в 16 этажей; 14 домов в 17 этажей; 3 дома в 12 этажей.
5.Запись домашнего задания.
Задача:
Сумму денег в а рублей выплатили пятирублевыми и десятирублевыми монетами, причем тех и других выдали поровну. Сколько было выдано пятирублевых монет?
Решение:
5-ти рублевые монеты х штук (5х)
а рублей
10-ти рублевые монеты х штук (10х)
Составим уравнение: 10х + 5х = а;
15х = а;
х = 13 EMBED Equation.3 1415 штук 5-ти рублевых и столько же 10-ти рублевых монет.
Т.к. х является натуральным числом, то а кратно 15,т.е. а = 15; 30; 45; 60;
если а = 15, то х = 1;
если а = 30, то х = 2;
и. т. д.
Ответ: х = 13 EMBED Equation.3 1415 , где а { 15; 30; 45; 60;}, т.е а = 15n, где n N.
Занятие № 12
Тема занятия: Решение задач с параметрами.
Цели: 1.Закрепить способ решения текстовых задач с параметрами.
2. Разобрать задачи на движение с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Подготовка к изучению нового материала.
Решить задачу:
Расстояние от посёлка до города 72 км. Первую половину пути велосипедист ехал со скоростью 18 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 12 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста.
Решение: Ошибочно думать, что средняя скорость равна среднему арифметическому чисел 18 и 12; vср. = s/t (причём, s-весь путь, а t-всё время, за которое этот путь пройден).
Время на первой половине пути t1=36/18=2 часа, время на второй половине пути t2=36/12=3часа. Всё время 3+2=5 часов, значит vср. =72/5=14,4 км/ч. (А среднее арифметическое чисел 18 и 12 равно (18+12)/2=15)
Ответ: 14,4 км/ч.
3.Изучение нового материала.
При решении некоторых задач бывает целесообразно обозначать неизвестные величины буквами, которые выполняют роль параметра, а в процессе решения эти буквы исключаются.
Задача № 1:
Половину пути поезд шел с некоторой постоянной скоростью, а другую половину пути со скоростью на 30 км/ч большей. Найти скорость на первой половине пути, если известно, что средняя скорость пути была 72 км/ч.
Решение:
Пусть х км/ч первоначальная скорость на первой половине пути, тогда х + 30 км/ч будет скорость на второй половине пути.
Пусть S – весь путь; переменная S играет роль параметра.
Составим таблицу:
S
V(скорость)
t (время)
I половина
пути
13 EMBED Equation.3 1415
х
13 EMBED Equation.3 1415
II половина
пути
13 EMBED Equation.3 1415
х + 30
13 EMBED Equation.3 1415
V ср. = 13 EMBED Equation.3 1415 = 72;
V ср. = S : 13 EMBED Equation.3 1415 = 72;
S : 13 EMBED Equation.3 1415 = 72;
13 EMBED Equation.3 1415 = 72; 13 EMBED Equation.3 1415 = 72;
13 EMBED Equation.3 1415 = 72; 13 EMBED Equation.3 1415 = 72;
13 EMBED Equation.3 1415 - 72 = 0; 13 EMBED Equation.3 1415 = 0 (ОДЗ: х
· -15);
х2 + 30х – 72х – 1080 = 0; х2 – 42х – 1080 = 0;
D' = 441 + 1080 = 1521;
х1,2 = 21 ± 39; х1 = 60, х2 = -18 – не подходит к условию задачи. Отсюда следует х = 60 км/ч.
Ответ: скорость на первой половине пути равна 60 км/ч.
( Ещё легче было бы решить данную задачу, если бы весь путь обозначить за 2S)
4. Закрепление
Решить задачу:
Первую треть пути автомобиль ехал с некоторой постоянной скоростью, а остальной путь - со скоростью, на 20 км/ч меньше первоначальной. Какой была первоначальная скорость автомобиля, если его средняя скорость на всём пути была 45 км/ч?
Решение:
Пусть х км/ч первоначальная скорость на первой трети пути, тогда (х – 20) км/ч скорость на остальном пути, т. е. на 2/3 части пути. Пусть 3S – весь путь; переменная S играет роль параметра, тогда треть пути S, а 2/3 части пути будет 2S.
Составим таблицу:
S(путь)
V(скорость)
t (время)
I треть
пути
S
х
13 EMBED Equation.3 1415
остальной
путь
2S
х -20
13 EMBED Equation.3 1415
V ср. = 45 км/ч, а также V ср. = 3S/(13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415).
Составим уравнение:
3S/(13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415)=45;13 EMBED Equation.3 1415= 45;13 EMBED Equation.3 1415= 45;13 EMBED Equation.3 1415= 45;
13 EMBED Equation.3 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415 = 0; 3х2 – 60х – 135х + 900 =0; 3х2 – 195х + 900 =0;
х2 – 65х + 300 =0; х1 = 60 км/ч – первоначальная скорость автомобиля;
х2 = 5 – не подходит к условию задачи.
Ответ: первоначальная скорость автомобиля равна 60 км/ч.
5.Запись домашнего задания
Решите задачу:
Отец старше сына в n раз, а его дочь моложе брата в 2 раза. Сколько лет отцу, сыну и дочери, если отец старше дочери на 28 лет?
Решение:
Отец ? в n раз больше (2хn), больше на 28 лет
Сын ? (2х)
Дочь ? (х) меньше в 2 раза
Решение:
Пусть х лет будет дочери, тогда сыну 2х лет, а отцу 2хn лет.
Составим уравнение:
2хn-х = 28
х(2n-1) = 28
х=13 EMBED Equation.3 1415( лет ) дочери;
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 (лет) сыну;
13 EMBED Equation.3 1415 (лет) отцу;
если n = 1,5, то 13 EMBED Equation.3 1415= 14 лет дочери; 28 лет сыну; 42 года отцу – не реально!
если n = 2,5, то 13 EMBED Equation.3 1415= 7 лет дочери; 14 лет сыну; 35 лет отцу;
если n = 4, то 13 EMBED Equation.3 1415= 4 года дочери; 8 лет сыну; 32 года отцу;
если n = 14,5, то 1 год дочери; 2 года сыну; 29 лет отцу.
Ответ: дочери 7 лет, сыну 14 лет, отцу 35 лет;
дочери 4 года, сыну 8 лет, отцу 32 года;
дочери 1 год, сыну 2 года, отцу 29 лет.
Занятие № 13
Тема занятия: Зачетная работа.
Вариант – 1. Вариант – 2.
№ 1.
Решить линейное уравнение с параметром:
а2(х – 5) = 25(х – а);
а2х – 5а2 = 25х – 25а;
а2х – 25х = 5а2 – 25а;
х(а2 – 25) = 5а(а – 5);
х = 13 EMBED Equation.3 1415;
х = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415;
если а
· 5; а
· -5;
если а = 5, то 0х = 0 – бесконечное множество корней;
если а = -5, то 0х = -250 – нет корней.
Ответ: если а
· ±5, то 1 корень х =13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 5, то х – любое;
если а = -5, то нет решений.
№ 2.
Квадратное уравнение с параметром.
При каких значениях параметра m уравнение имеет 2 корня?
5х2 + mх + 5 = 0;
Уравнение имеет 2 корня, если D > 0.
D = m2 – 4*5*5 = m2 – 100;
m2 – 100 > 0;
(m – 10)(m + 10) > 0;
Ответ: (-
·; -10) U ( 10; +
·)
№3
Решить неравенство с параметром.
b2x + 6bх > b -3 – 9х;
b2x + 6bх- 9х > b - 3;
х(b2 + 6b + 9) > b – 3;
х(b + 3)2 > b – 3;
при любом b
· -3 выражение (b + 3)2 > 0,
значит х > 13 EMBED Equation.3 1415;
если b = -3, то получим неравенство 0 > -6 – неверно, значит нет решений;
Ответ: если b
· -3, то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
если b = -3, то нет решений.
.
а2х = а(х + 2) – 2;
а2х = ах + 2а – 2;
(а2 – а)х = 2а – 2;
х = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415;
если а
· 0, а
· 1;
если а = 0, то 0х = -2 – нет решений;
если а = 1, то 0х = 0 – бесконечное множество решений;
Ответ: если а
· 0, а
· 1, то 1 корень х =13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 0, то нет корней;
если а = 1, то х – любое.
При каких значениях t уравнение не имеет корней?
6х2 + tх + 6 = 0;
Уравнение не имеет корней, если D < 0.
D = t 2- 4*6*6 = t 2-144;
t 2-144 < 0;
(t – 12)(t + 12) < 0;
Ответ: (-12;12)
а – 4х > -2 – ах;
ах – 4х > -2 – а;
х(а – 4) > -2 – а;
если а – 4 > 0,т.е. а > 4, то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
если а – 4 < 0,т.е. а < 4, то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 4, то 0 > -6 – верно при любом х бесчисленное множество решений.
Ответ: если а < 4, то х < 13 EMBED Equation.3 1415;
если а > 4, то х > 13 EMBED Equation.3 1415;
если а = 4, то бесчисленное множество решений.
№ 4.
Решить задачу:
В автобусе ехал 51 пассажир. Причем женщин было в b раз больше, чем мужчин, а детей на b меньше, чем мужчин. Сколько женщин, мужчин и детей ехало в автобусе?
Решение:
женщин в b раз больше (bх)
мужчин (х) 51 пасс.
детей на b меньше (х – b)
Пусть в автобусе было х мужчин.
bх + х + х – b = 51;
2х + bх = 51 + b;
х(2 + b) = 51 + b;
х = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415+ 1 (мужчин);
х N, значит 49 кратно 2 + b; 49 делится на 1; на 7; на 49, если 2 + b = 1, то b = -1 – не подходит;
если 2 + b = 49, то b = 47, х = 2, bх = 94 – это больше 51, значит не подходит;
т.е. 2 + b = 7, b = 5,
х = 13 EMBED Equation.3 1415+ 1 = 8 (мужчин);
8*5 = 40 (женщин);
8 – 5 = 3 (ребенка).
Ответ: в автобусе ехало 40 женщин, 8 мужчин и 3 ребенка.
На элективные курсы по математике ходят 30 учащихся из 9-х классов. Известно, что из 9-в учащихся в 2 раза больше, чем из 9-а, из 9-б курсы посещают на b учеников меньше, чем из 9-в. Сколько учеников из каждого класса посещают данные курсы?
Решение:
9-а (х)
9-б на b меньше (2х – b) 30 чел.
9-в в 2 раза больше 2х
Пусть в 9-а х учеников посещают курсы.
х + 2х – b + 2х = 30;
5х – b = 30;
5х = 30 + b;
х = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 (учеников) в 9-а классе;
х N, значит b кратно 5, т.е b = 5; 10; 15; 20
если b = 5, то х = 6 + 1 = 7 (ч-к)– в 9-а;
7 * 2 = 14 (ч-к)– в 9-в;
14 – 5 = 9 (ч-к)– в 9-б;
если b = 10, то 8 (ч-к) – в 9-а; 16 (ч-к) – в 9-в; 6 (ч-к). – в 9-б;
если b = 15, то 9 (ч-к) – в 9-а; 18 (ч-к) – в 9-в; 3 (ч-к) – в 9-б;
если b = 20, то 10 (ч-к) – в 9-а; 20 (ч-к) – в 9-в; а в 9-б никто не ходит, значит b = 20 не подходит.
Ответ: на элективные курсы из 9-а, 9-б, 9-в классов ходят соответственно 7, 9, 14 человек; или 8, 6, 16 человек; или 9, 3, 18 человек.
13PAGE 15
13PAGE 14215
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native