Урок по математике на тему Основные методы решения иррациональных уравнений (1 курс)

Областное государственное автономное профессиональное образовательное учреждение "Белгородский педагогический колледж"















Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений
Дисциплина: математика
1 курс








Автор:
преподаватель математики
Киреева Ольга Владимировна













Белгород 2015
Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений
Цели:
Образовательная – создание условий для усвоения студентами основные методы решения иррациональных уравнений; способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, показать применение теоретического материала при решении иррациональных уравнений (выполнение практической работы по вариантам, выполнение самостоятельной работы).
Развивающая – способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления.
Воспитательная – способствовать развитию интереса к учебному предмету, воспитание культуры интеллектуального труда, чувства коллективизма, самоконтроля, ответственности.
Задачи урока:
1. Продемонстрировать основные методы решения иррациональных уравнений, формировать умение выбирать рациональные пути решения;
2. Освоение всеми студентами алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;
3. Развитие у студентов логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;
4. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между студентами и между студентами и преподавателем, воспитание навыков совместного решения задач.
Тип и вид учебного занятия: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности: комбинированное занятие.
Методы обучения:
информационно- иллюстративный; репродуктивный; проблемный диалог; частично-поисковый; исследовательский; системные обобщения.
Формы организации учебной деятельности:
фронтальная, групповая, самопроверка, взаимопроверка, коллективные способы обучения.
Оборудование урока: мультимедийная установка, карточки с заданием, лист учета знаний.
Продолжительность проведения занятия 90 минут.
Подготовительный этап
За неделю до мероприятия группа делится на подгруппы по 3-4 человека. Преподаватель предварительно выделяет основные направления поиска, студенты выбирают направление в зависимости от собственных возможностей. Студенты собирают и исследуют теоретический материал, подбирают практический материал (примеры с решениями). С помощью преподавателя или одного учащегося (выбранного группой) весь собранный материал оформляется в виде презентации.
В разработку проекта входит:
а) Подбор теоретического материала;
б) Подбор практического материала;
в) Оформление проектов.
План урока:
1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
2. Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала.
5. Подведение итогов и результатов урока.
6. Рефлексия.
7. Задание на дом.
Конспект урока
1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация. Мотивация учебной деятельности
Приветствие, выявление отсутствующих, информирование о теме и целях занятия.
Мотивация учебной деятельности
В условиях экзамена наиболее высокие результаты показывают учащиеся, которые за отведенное время решают большее число задач. Многие задачи могут быть решены несколькими способами. Поэтому очень важно уметь для каждой задачи выбирать наиболее рациональный способ решения. Научиться этому можно только путем решения таких задач и последующего анализа проведенного решения.
2. Актуализация опорных знаний
Проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации.
Проверка домашнего задания
Определение иррационального уравнения
Уравнение, содержащее переменные (неизвестные) под знаком корня или дробной степени, принято называть иррациональным.
Уравнение с одной переменной 13 EMBED Equation.3 1415 называют иррациональным, если хотя бы одна из функций 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 содержит переменную под знаком радикала.
Назовите иррациональные уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415 (да)
13 EMBED Equation.3 1415 (нет)
13 EMBED Equation.3 1415 (да)
13 EMBED Equation.3 1415 (да)
13 EMBED Equation.3 1415 (нет)
Что значит решить иррациональное уравнение?
Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.
При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.
3. Изучение нового материала
Основные методы решения иррациональных уравнений
Выступление 1 подгруппы
Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень
Теорема.
Если возвести обе части уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 (1) в натуральную степень n, то уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 (2) является следствием уравнения (1).
Доказательство.
Если выполняется числовое равенство 13 EMBED Equation.3 1415, то по свойствам степени выполняется равенство 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, равенство 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование 13 EMBED Equation.3 1415.
В этом случае уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно системе 13 EMBED Equation.3 1415. В системе отсутствует требование 13 EMBED Equation.3 1415, обеспечивающее существование корня степени 13 EMBED Equation.3 1415, так как оно было бы излишним в связи с равенством 13 EMBED Equation.3 1415.
Для уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решив квадратное уравнение получим
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1=1 (корень)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2=-2 (посторонний корень)
Ответ: х=2
Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415. При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.
Пример 4.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка показывает, что оба корня подходят.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Выступление 2 подгруппы
Решение уравнений с использованием замены переменной
Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.
Пример 1.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда исходное уравнение примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решим уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 не удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2=2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2=2
Оба корня подходят.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
В следующих примерах используется более сложная замена переменной.
Пример 3.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Замена 13 EMBED Equation.3 1415 приводит уравнение к виду 13 EMBED Equation.3
·1415, корнями которого являются 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Осталось решить совокупность двух уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ. х=0
Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.
Пример 4.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Выполним почленное сложение обеих частей уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
Имеем систему уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х=1
Ответ. х=1
Выступление 3 подгруппы
Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение
Теорема.
Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений 13 EMBED Equation.3 1415.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.
Пример 1.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
При 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение принимает вид:
13 EMBED Equation.3 1415, которое равносильно совокупности двух уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
4. Закрепление изученного материала
Решение уравнений в подгруппах по 4 человека.
Студенты получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.
Задания для работы в группах
Вариант 1
Решите уравнения, используя подсказку:
1. Возведи обе части в квадрат:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Выполни замену:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Разложи на множители:
13 EMBED Equation.3 1415
4. Реши любым способом:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вариант 2
Решите уравнения, используя подсказку:
1. Возведи обе части в квадрат:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Выполни замену:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Разложи на множители:
13 EMBED Equation.3 1415
4. Реши любым способом:
13 EMBED Equation.3 1415
После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по вариантам: 1, 3, 5 группа (1 вариант); 2, 4, 6 группа (2 вариант).
Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки с занесением в оценочную таблицу. Преподаватель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.
Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.
5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия
Сообщения с презентациями, подготовленные студентами, были достаточны, грамотны, освещены типы, методы и особенности решения иррациональных уравнений, проведены теоретические обоснования к ним.
Решения уравнений различными способами, по мнению студентов, помогает восполнить пробелы, найти свой, понятный путь решения задачи, найти свою нишу для самовыражения.
Преподаватель предлагает ученикам высказать свое мнение, продолжив фразы:
- Сегодня на уроке ...
- Я повторил ...
- Теперь я знаю ...
- В результате исследовательской групповой работы я ...
Задание на дом:
Решите уравнения:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415

Используемая литература:
П.В. Чулков Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2010. – 172 с.
А.Н. Колмогоров Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10-11 кл. – М., 2009. – 384 с.
«Алгебра и начала анализа» Учебник для 10-11 классов. Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др. 15-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 384 с.
Тест «Основные методы решения иррациональных уравнений»
Вариант 1
1. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 2 2) -6 3) 14 4) корней нет
2. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -3 2) 4 3) 9 4) корней нет
3. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 0;10 2) 0;-9 3) 0 4) корней нет
4. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -3 2) 3 3) 0;3 4) корней нет
5. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 5 2) -3;5 3) -5;3 4) корней нет
6. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 0;-1 2) 0;-1 3) -1 4) корней нет
7. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 8 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) -8
8. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -2 2) -2;-1 3) -1 4) 13 EMBED Equation.3 1415
9. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) -10;13 EMBED Equation.3 1415 2) -10;10 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) -10; 13 EMBED Equation.3 1415
10. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -16;-2;0 2) -16 3) 0;-2 4) -16;-2

Вариант 2
1. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 5 2) 96 3) -6 4) корней нет
2. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 1,5 2) 4 3) 2 4) корней нет
3. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 0 2) 0;9 3) 9 4) корней нет
4. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -3 2) 3 3) 1 4) корней нет
5. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 5 2) -3;5 3) -5;3 4) корней нет
6. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 0;3 2) 0;-3 3) корней нет 4) 3
7. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 15 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) корней нет
8. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 36 2) 24; 36 3) 24 4) 13 EMBED Equation.3 1415
9. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 11; 13 EMBED Equation.3 1415 2) 11;-11 3) -11 4) -11;13 EMBED Equation.3 1415
10. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -7 2) 0 3) -7;0 4) корней нет

Вариант 3
1. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) -5 3) 5 4) корней нет
2. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 9 4) корней нет
3. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 0;-7 2) 0; -13 3) 0 4) корней нет
4. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -3 2) 3 3) -3;3 4) корней нет
5. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 5 2) -3;5 3) -5;3 4) корней нет
6. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 0,2 2) -0,2 3) -0,1 4) корней нет
7. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 19 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) -19
8. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -10 2) -10;-9 3) -9 4) 13 EMBED Equation.3 1415
9. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) -12;13 EMBED Equation.3 1415 2) -12;12 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) -12; 13 EMBED Equation.3 1415
10. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -15;-2;0 2) -15 3) 0;-2 4) -15;-2

Вариант 4
1. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 2 4) корней нет
2. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 0,5 2) 4 3) -2 4) корней нет
3. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 0 2) 0;21 3) 21 4) корней нет
4. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -1 2) 0 3) 1 4) корней нет
5. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 8 2) -3;8 3) -8;3 4) -3
6. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -6 2) 3;-6 3) корней нет 4) 3
7. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 90 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) корней нет
8. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 87 2) 27; 87 3) 27 4) 13 EMBED Equation.3 1415
9. Найдите корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 14; 13 EMBED Equation.3 1415 2) 14;-14; 13 EMBED Equation.3 1415 3) -14 4) -14; 13 EMBED Equation.3 1415
10. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) -13 2) -3 3) -13;-3 4) корней нет

С тестами студенты справились успешно: «5» - 4 человека; «4» - 12 человек; «3» - 8 человек.
Студенты пользовались различными способами.

Практическая работа «Основные методы решения иррациональных уравнений»
Вариант 1
1. Найдите область определения функции:
13 EMBED Equation.3 1415
2. Возведи обе части в степень:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Выполни замену:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4. Разложи на множители:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. Реши любым способом:
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 2
1. Найдите область определения функции:
13 EMBED Equation.3 1415
2. Возведи обе части в степень:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Выполни замену:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4. Разложи на множители:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. Реши любым способом:
13 EMBED Equation.3 1415


С практической работой студенты справились так же успешно: «5» - 5 человек; «4» - 11 человек; «3» - 8 человек.









Разработала: Киреева Ольга Владимировна

13PAGE 15


13PAGE 14115




Заголовок 215