Презентация по теме Система Maple. Геометрия на плоскости. Возможности пакета geometry для решения геометрических задач

Система Maple. Геометрия на плоскости. Возможности пакета geometry для решения геометрических задач Система Maple. Геометрия на плоскости. Возможности пакета geometry для решения геометрических задач 1 2 3 4 Общая информация о пакете geometry Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними Информационные ресурсы Общая информация о пакете geometry Для решения задач планиметрии используется геометрический пакет geometry;Перед обращением к его командам сам пакет должен быть загружен при помощи команды with(geometry);Для геометрического пакета geometry характерен следующий способ определения объектов: первый параметр команды задаёт имя объекта и далее следует собственно информация об объекте; Для просмотра полей структуры, описывающей геометрический объект, используют команду detail(obj); Общая информация о пакете geometry Для графического вывода геометрического объекта используется команда draw(obj);При выводе на одном рисунке нескольких геометрических объектов можно указывать параметры графического вывода (например, цвет) каждого объекта;Результатом команды являются структуры двумерной или трехмерной графики, и поэтому при обращении к команде draw используются параметры, аналогичные графическим; Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов По умолчанию _х и _y используются как глобальные переменные для координат точек, а также в качестве переменных в уравнениях прямых и окружностей;Геометрические объекты определяются обычным образом: точка задается своими координатами (команда point(name,x1,y1)), прямая – двумя точками или уравнением (команда line), окружность (команда circle) – тремя точками, уравнением, заданием центра и радиуса, диаметром;При возможности определенного ответа результатом является булевская константа (true или false); в некоторых случаях выводятся координаты объекта (например, точки), при которых будет выполнено проверяемое условие; AreCollinear(p1,p2,p3) – проверка условия принадлежности трёх точек p1,p2,p3 одной прямой;point(name,a,b) – задание точки с координатами a и bПример 1. Лежат ли точки на одной прямой? а) А(0,0); В(1,1); С(2,2); б) А(-1,0); В(2,1); С(4,12); Решение:Ответ: а) лежат на одной прямой; б) не лежат на одной прямой Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов AreConcurrent(name1,name2,name3) - проверка условия пересечения трёх прямых в одной точке; (где name1,name2,name3 – название линий)Пример 2. Определить, пересекаются ли в одной точке прямые, заданные уравнениями: Решение:Ответ: прямые пересекаются в одной точке. Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов AreConcyclic(p1,p2,p3,p4) - проверка существования окружности, которой принадлежат заданные четыре точки p1,p2,p3,p4Пример 3. Заданы пять точек своими координатами: p1(0,0); p2(3,0); p3(3,3); p4(0,3); p5(2,8). Проверить, существует ли окружность, которой принадлежат заданные четыре точки: а) р1, р2, р3, р4; б) р1, р2, р3, р5.Решение: Ответ: а) такая окружность существует; б) такой окружности нет. Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов AreOrthogonal(name1,name2); - проверка условия ортогональности двух геометрических объектов;AreParallel(line1,line2); - проверка условия параллельности двух прямых line1,line2; Intersection(line1,line,…) – нахождение координаты точки пересечения прямых; Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов Пример 4. Проверить, являются ли ортогональными окружности, а) с1 и с2; б) с2 и с3, заданные соответствующими уравнениями: Решение:Ответ: а) не являются ортогональными; б) ортогональны Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов Пример 5. Проверить условие параллельности прямых а) АВ и АF; б)АВ и CD, если A(0,1), B(1,0), F(1,1), CD: x+y=2.Решение:Ответ: а) АВ не параллельна АF; б) AB параллельна CD. Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов ArePerpendicular(line1,line2) – проверка условия перпендикулярности двух прямых line1 и line2Пример 6. Пусть три прямы заданы соответствующими уравнениями: l1: y=x, l2: y=-x, l3: x=2. Выяснить, являются ли перпендикулярными прямые: а) l1 и l2; б) l1 и l3.Решение:Ответ: а) l1 перпендикулярна l2; б) l1 не перпендикулярна l3. Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов AreSimilar(T1,T2); - проверка условия подобия двух треугольников T1 и T2 triangle(name,[p1,p2,p3]) – задание треугольника тремя точками p1,p2,p3, тремя прямыми или тремя сторонамиПример 7. Пусть заданы точки своими координатами: А(0,0); В(1,3); С(1,0); Н(0,6); F(2,0). Подобен ли треугольник АВС треугольнику АНF?Решение: Ответ: треугольник АВС подобен треугольнику AHF. Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов AreTangent(NAME_line,NAME_circle) – проверка, является ли прямая line касательной окружности circle Пример 8. Пусть прямая задана уравнением , и даны две окружности, также заданные соответствующими уравнениями: Выяснить, к какой окружности прямая является касательной. Решение: Ответ: Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов IsEquilateral(name) – проверка треугольника name на равносторонность Пример 9. Пусть вершины треугольника ABC заданы своими координатами: А(0,0); В(2,0); С(1,2). Проверить, является ли треугольник АВС равносторонним. Решение:Ответ: треугольник АВС не является равносторонним. Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов IsRightTriangle(name) – проверка, является ли треугольник name прямоугольнымПример 10. Пусть вершины треугольника АВС заданы своими координатами: А(0,0); В(2,0); С(0,2). Выяснить, является ли треугольник АВС прямоугольным.Решение:Ответ: треугольник АВС прямоугольный. Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов IsOnCircle(pt,circle) – проверка условия принадлежности точки pt окружности circle IsOnLine(pt,line) - проверка условия принадлежности точки pt прямой lineПример 11. Принадлежит ли точка А(-1,0) окружности, заданной уравнением ? Решение:Ответ: точка А(-1,0) принадлежит окружности. Команды проверки условий для двумерных геометрических объектов Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними area(name) – вычисление площади заданного объекта name(треугольника, круга или квадрата)Пример 12. Найти площадь треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(0,0); В(2,0); С(1,3).Решение: Ответ: 3 center (name, circle) - позволяет определить центр окружности, результат присваивается переменной name; coordinates(pt) - вывод координат точки pt Пример 13. Найти координаты центра окружности, заданной уравнением: Решение:Ответ: (3,1). Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними centroid(name,tri) – команда, позволяющая вычислить центр тяжести треугольника.Пример 14. Вычислить координаты центра тяжести треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(0,0); В(2,0); С(1,3).Решение:Ответ: (1,1). Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними Circumcircle(name,tri) – вычисление описанной вокруг треугольника tri окружности; diagonal(Sq) – вычисление длины диагонали квадрата Sq;diameter([pt1,pt2,…]) вычисление диаметра круга, содержащего заданные точки; incircle(name,tri) – вычисление вписанной в треугольник tri окружности; line(p1,p2) – определение прямой, заданной двумя точками или уравнением; Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними Пример 15. Вычислить и изобразить графически описанную окружность вокруг треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(0,0); В(2,0); С(1,3). Решение: Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними Пример 16. Найти длину диагонали квадрата ABCF, заданного координатами своих вершин: A(0,0); B(1,0); C(1,1); F(0,1).Решение:Ответ: Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними Пример 17. Вычислить диаметр круга, содержащего точки А(0,0); В(2,0); С(1,3); F(1,6); M(2^(1/2),3) Решение: Ответ: Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними distance(pt,line) – нахождение расстояния между точкой pt и прямой line. В качестве второго параметра может фигурировать точка, тогда вычисляется расстояние между двумя точками.Пример 18. Найти расстояние между точками А и В, заданными своими координатами: А(а,b); В(с,d).Решение:Ответ: Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними ellipse(name,uravnenie) – определение эллипса одним из следующих способов: по пяти точкам, по центру и двум полуосям или при помощи уравнения.Пример 19. Найти координаты центра эллипса, заданного уравнением: Решение:Ответ: (1,-2). Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними FindAngle(l1,l2) – вычисление угла между двумя прямыми l1 и l2 или двумя окружностямиПример 20. Найдите угол между двумя прямыми, заданными соответствующими уравнениями: х+у=1 и х-у=1Решение:Ответ: Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними Hyperbola – определение гиперболы, задаваемой набором точек или другими характеристиками;Пример 21: Найти координаты центра гиперболы, заданной уравнением Решение:Ответ: (0,0). Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними Пример 22: Вычислить и изобразить графически вписанную окружность в треугольник АВС, заданного координатами своих вершин: А(0,0); В(2,0); С(1,3). Решение: Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними intersection(pt,obj1.obg2) – вычисление точки пересечения двух прямых или двух окружностей;Пример 23: Найти координаты точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями: х=0 и х+у=1.Решение:Ответ: (0,1). Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними median(name,A,tri) – определение медианы треугольника tri, проведенной из вершины AПример 24: Найти уравнение медианы, проведенной из вершины А, треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(0,0); В(2,0); С(1,3).Решение:Ответ: -3/2*х+3/2*у=0. Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними midpoint(name,pt1,pt2) – вычисление средней точки на отрезке, заданном двумя точками pt1 и pt2Пример 25: Найти координаты середины отрезка АВ, если А(0,0); В(2,0).Решение:Ответ: (1,0). Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними parabola(name,…) – задание параболы набором точек или другими характеристиками; focus(obj) – определение фокуса объекта obj;Пример 26: Задайте параболу с помощью уравнения . Найдите координаты фокуса параболы. Решение:Ответ: (-5,3). Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними ParallelLine(name,pt,line) – вычисление прямой, проходящей через точку pt и параллельной прямой lineПример 27: Найдите уравнение прямой, проходящей через точку Р(2,3) и параллельной прямой х+у=1.Решение:Ответ: -5+х+у=0 Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними PerpenBisector(name,pt1,pt2) – вычисление прямой, проходящей через середину отрезка, заданного двумя точками pt1 и pt2, и ортогональной ему;Пример 28: Найти уравнение прямой, проходящей через середину отрезка, заданного двумя точками А(0,0); В(2,0), и ортогональной ему.Решение:Ответ: -2+2х=0. Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними PerpendicularLine(name,pt,line) – вычисление прямой, проходящей через точку pt и перпендикулярной прямой lineПример 29: Найти уравнение прямой, проходящей через точку Р(2,3) и перпендикулярной прямой, заданной уравнением х+у=1.Решение:Ответ: 1+х-у=0. Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними radius(circle) – вычисление радиуса окружности circleПример 30: Найти радиус окружности, заданной уравнением Решение:Ответ: 3 Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними sides(obj) – вычисление периметра треугольника или квадрата square(name,[pt1,pt2,pt3,pt4]) – задание квадрата четырьмя точкамиПример 31. Вычислить периметр квадрата АВЕС, заданного координатами своих вершин: А(0,0); В(3,0); Е(3,3); С(0,3).Решение:Ответ: Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними TangentLine(name,pt,circle) – вычисление двух прямых, проходящих через точку pt и касательных к окружности circle; результат присваивается переменной nameПример 32. Найти уравнения прямых, проходящих через точку А(1,1) и являющихся касательными к окружности Решение:Ответ: a-1=0; 1-b=0 Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними Tangentpc(name,pt,circle) – вычисление касательной к окружности circle, проходящей через точку ptПример 33: Найти уравнение касательной к окружности проходящей через точку А(1,0).Решение:Ответ: х-1=0. Команды определения двумерных геометрических объектов и действий с ними Информационные ресурсы 1) Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс. СПб.: Питер, 2001.-624 с.2) Иллюстрированный самоучитель по Maple: http://www.knigka.info/2007/10/30/illjustrirovannyjj_samouchitel_po_maple.html3) Электронный учебник по Maple 7: http://math-guru.ru/