Презентация по математике Правильные многогранники

Многогранник называется правильным, если: он выпуклый, все его грани - равные правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одинаковое число граней, все его двухгранные углы равны. Правильные многогранники Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробиться в самые глубины различных наук. Л. Кэрролл Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. 360о сколько правильных многогранников существует? Пусть при одной вершине сходится n – рёбер, тогда плоских углов при вершине будет тоже n.И все они равны между собой.Пусть х – один из плоских углов, тогда сумма плоских углов при вершине – nx.По свойству плоских углов nx< Угол правильного n – угольника равен  Таблица значений  Таблица значений 3 4 5 6 7 3 4 5 6 Начиная с n=7 угол станет меньше 60о , а такого правильного n-угольника не существует. Грани правильного многогранника – правильные треугольники, тогда = 60о 1. 60о * 3 = 180о < 360о , 4 грани - тетраэдр.2. 60о * 4 = 240о < 360о , 8 граней – октаэдр.3. 60о * 5 = 300о < 360о , 20 граней – икосаэдр.60о * 6 = 360о это противоречит теореме о сумме плоских углов многогранного угла, значит больше правильных многогранников, грани которых – правильные треугольники не существует. Грани правильного многогранника –квадраты, тогда = 90о 1. 90о * 3 = 270о < 360о - 6 граней – гексаэдр (куб).2. 90о * 4 = 360о значит больше правильных многогранников, грани которых– квадраты не существует. Грани правильного многогранника – правильные пятиугольники, тогда = 108о 108о * 3 = 324о < 360о - 12граней – додекаэдр.108о * 4 > 360означит больше правильных многогранников, грани которых –правильные пятиугольники не существует. о Начиная с правильного шестиугольника >120о Cледовательно n* >360о (n>3), Поэтому правильных многогранников, грани которых – правильные многоугольники с числом сторон больше 5 ,не существует! Мы доказали, что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, содержится в «Началах» Эвклида. 6 12 12 30 30 4 8 6 20 12 4 6 8 12 20 ТетраэдрКубОктаэдрДодекаэдрИкосаэдр Ребер Вершин Граней Число Правильный многогранник Формула Эйлера Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице 6 12 12 30 30 4 + 4 = 8 6 + 8 = 14 8 + 6 = 14 12 + 20 = 32 20 + 12 = 32 ТетраэдрКубОктаэдрДодекаэдрИкосаэдр Ребер (Р) Граней и вершин (Г + В) Число Правильныймногогранник Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2: Г + В = Р + 2. Эта формула была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Тетраэдр и его свойства Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников.Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. тетраэдр имеет4 грани,4 вершины 6 ребер. Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем тетраэдра: Гексаэдр и его свойства Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет6 граней,8 вершин12 ребер. Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности куба: S = 6aІОбъем куба: V = aі Октаэдр. Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом,октаэдр имеет8 граней,6 вершин12 ребер. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии 9 плоскостей симметрииРадиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем октаэдра: Икосаэдр Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. икосаэдр имеет20 граней,12 вершин30 ребер. Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии 15 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем икосаэдра: Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом,додекаэдр имеет12 граней,20 вершин30 ребер. Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем додекаэдра: Двойственность или сопряженность правильных многогранников. Если центры граней куба соединить отрезками, то получится октаэдрТо есть вписанный в куб октаэдр.Обратно: центры граней октаэдра являются вершинами вписанного куба.Двойственными являются икосаэдр и додекаэдр.Тетраэдр двойственен сам себе. вопросы Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником:А) правильный тетраэдр;Б) правильный гексаэдр;В) правильная призма;Г) правильный додекаэдр;Д) правильный октаэдрОтвет: в Выберите верное утверждение: А) выпуклый многогранник называется правильным, если его грани – равные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер;Б) правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр – это одно и то же;В) из всех правильных многогранников только правильный тетраэдр имеет центр симметрии;Г) не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники;Д) правильный тетраэдр состоит из 8 правильных треугольников.Ответ: Г 3.Найдите длину ребра куба, если длина его диагонали равна 15 см. Ответ: (5 ) 4. Найдите площадь полной поверхности правильного октаэдра, если его ребро равно 6 см.Ответ: 72 5. Какое из следующих утверждений неверно:  А) правильный тетраэдр не имеет центра симметрии;Б) центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба;В) центры граней куба являются вершинами правильного тетраэдра;Г) правильный додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников;Д) сумма плоских углов при каждой вершине куба равна 270. ответ: В Литература. 1. Учебник. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, и др. Геометрия, 10-11 2. Пособие для поступающих в вузы .Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С. и др.. М., «Наука», 1985.3.Информатика: Лабораторный практикум. Создание текстовых документов в текстовом редакторе Microsoft Word 2000/ Авт.-сост. В.Н. Голубцов, А.К.Козырев и др., Саратов: Лицей, 2003.4.Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в вузы под ред. Сканави М.И., Санкт-Петербург, 1994. 5.     Интернет – сайты. 7.     Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М., 1967.8.     Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976.9.     Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М., 1966.10.    Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.11. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.12. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.