Статья по математике на тему Геометрия Лобачевского (11 класс)

«Геометрия Лобачевского».


«Многие идеи как бы имеют свою эпоху,
во время которой они открываются
одновременно в различных местах подобно
тому, как фиалки произрастают всюду,
где светит солнце »
Янош Больяи

Изучая историю математики, можно нередко наблюдать, как новые идеи, влекущие за собой резкий сдвиг в дальнейшем развитии науки, возникают одновременно и независимо друг от друга в разных странах, в умах разных учёных.
Также произошло и с созданием аналитической геометрии. Новые идеи в этой области одновременно завладели умами Декарта, Ферма и других учёных.
Идеи, положенные в основу неевклидовой геометрии Лобачевского, также возникли почти одновременно и в разных странах: в России у Лобачевского, в Венгрии у Больяи и в Германии у Гаусса.
Карл Гаусс (1777-1855), придя к мысли о возможности существования наряду с геометрией Евклида иной, неевклидовой геометрической системы, побоялся, что новые идеи не будут поняты, и поэтому, сделав для себя несколько первых шагов, отказался от дальнейшей разработки этих идей и не опубликовал их.
Янош Больяи (1802-1860), выдающийся венгерский математик, пошел дальше Гаусса. Он изложил сущность своих взглядов в 1832 г. в приложении («Аппендикс») к первому тому сочинений своего отца. Но у него не хватило упорства, а может быть, и здоровья, далее развить свои идеи. Возможно, что на Больяи удручающе подействовал отказ Гаусса поддержать его новые взгляды. Во всяком случае, после 1832 г. Больяи не опубликовал ни одной работы по геометрии.
Николай Иванович Лобачевский, более смелый, чем Гаусс, и более упорный, чем Больяи, до конца своей жизни находил силы для борьбы за правоту высказанных им идей.
Сын мелкого чиновника, Николай Иванович Лобачевский родился в Нижнем Новгороде в 1792 году. Через 5 лет умирает его отец. Осиротевшая семья, состоящая из матери и трех сыновей, переезжает в Казань, в город, где потом протекла полная творческих устремлений жизнь Лобачевского. Мать Николая Ивановича устраивает своих детей в Казанскую гимназию на казенный счет.
Поступив в гимназию в 1802 году, Лобачевский уже через 5 лет, пятнадцатилетним юношей, оканчивает её и становится студентом Казанского университета. В 1811 году он производится в магистры, а в 1816 году Лобачевский уже профессор математики.
С 1818 года Лобачевский ведет большую просветительскую работу.
1827-1846 гг. – Лобачевский был ректором Казанского университета.

Крушение всех попыток доказать пятый постулат евклидовой геометрии (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом, только одну) привели Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом. Но если пятый постулат не зависит от других аксиом, то, допуская все другие аксиомы, мы можем принять или не принять евклидов постулат. В первом случае мы получим известную классическую евклидову геометрию, названную Лобачевским «употребительной». Если же вместо евклидовой аксиомы параллельности принять другую, ей не эквивалентную, получим новую, неевклидову геометрию.
Лобачевский сформулировал новую аксиому параллельных: «Через точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а, по крайней мере, две».




13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Аксиома Лобачевского нам кажется на первый взгляд странной, так как противоречит нашим установившимся геометрическим представлениям. Однако при более глубоком анализе вопроса мы должны признать, что в отличие от других аксиом, касающихся фигур ограниченных размеров, аксиома параллельности Евклида относится к неограниченной прямой и никогда не может быть проверена с помощью непосредственного эксперимента, который может быть проведен лишь в ограниченной части пространства. Если, например, взять угол NCL достаточно малым, то отрезки CL и AB не пересекутся даже на расстоянии, выходящем за пределы нашей планеты. И вот как раз в пределах ограниченной части плоскости, как бы эта часть ни была велика, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающих данной прямой. Таким образом, нет никакого основания считать аксиому Лобачевского «хуже» аксиомы Евклида в смысле ее соответствия физической реальности.

Посмотрим, какие логические следствия вытекают из аксиомы Лобачевского.
Если прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 не встречают прямой 13 EMBED Equation.3 1415, то и любая прямая 13 EMBED Equation.3 1415, проходящая через точку 13 EMBED Equation.3 1415 внутри вертикальных углов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, также не встретит прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда первое следствие аксиомы Лобачевского: через точку С вне прямой АВ плоскости АВС проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с прямой АВ.
а) Две прямые АВ и 13 EMBED Equation.3 1415, имеющие общий перпендикуляр 13 EMBED Equation.3 1415, расходятся;
б) Если вращать прямую 13 EMBED Equation.3 1415 около точки С, допустим по часовой стрелке, а прямую АВ около точки 13 EMBED Equation.3 1415 в том же направлении так, чтобы углы, образованные этими прямыми с пересекающей их прямой 13 EMBED Equation.3 1415, оставались равными, то прямые АВ и 13 EMBED Equation.3 1415 остаются расходящимися, то есть две прямые, образующие при пересечении с третьей прямой равные соответственные углы, расходятся.

Все эти положения отражены в рукописи «Геометрия» 1823 года, которая не была напечатана. 11 февраля 1826 года Лобачевский делает на заседании физико-математического факультета доклад об основах геометрии «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных линиях». Но и эта рукопись не была напечатана и впоследствии потеряна.
Только в 1829-1830 гг. Лобачевскому удалось опубликовать обширный мемуар «О началах геометрии», в который утраченная в 1826 году рукопись входила как часть.
День 11 февраля 1826 года, когда с кафедры Казанского университета впервые были провозглашены Лобачевским его новые идеи, можно считать датой рождения неевклидовой геометрии.


Французский математик Лежандр был единственным геометром, оказавшим влияние на Лобачевского. Учение Николая Ивановича «явно несет на себе печать рассуждений Лежандра». Доказательства теорем Лежандра свободны от теории параллельности, а значит, не базируются на пятом постулате Евклида. Но в его рассуждениях была найдена ошибка.
Сформулируем несколько важных теорем Лобачевского.
Теорема 1. Сумма углов треугольника меньше 2d и меняется от треугольника к треугольнику.
Теорема 2. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника меньше 2d и поэтому не существует прямоугольников.
Теорема 3. В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников.
Теорема 4. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого, то такие треугольники равны.
Теорема 5. Чем далее параллельные линии продолжаются в сторону параллельности, тем более они друг к другу приближаются.

Из тех фактов геометрии Лобачевского, с которыми мы познакомились, вполне достаточно, чтобы почувствовать, «плоскость» и «пространство» Лобачевского иные, чем у Евклида.
Геометрия Евклида не будет справедливой на поверхности земного шара, как и факты геометрии Лобачевского будут нелепыми в плоскости и пространстве Евклида.
Приходится удивляться тому, что Лобачевский, не имея перед глазами особой «плоскости» и особого «пространства», мог выяснить свойства фигур, находящихся на этой «плоскости» и в этом «пространстве», показать, что геометрия Евклида есть частный случай новой, более общей геометрии.
Необходимо было построить в пространстве Евклида реальную поверхность, на которой выводы геометрии Лобачевского были бы справедливыми.
Через 10-12 лет после смерти Лобачевского итальянский математик Бельтрами построил такую поверхность. Эта поверхность называется псевдосферой.

Факт реализации геометрии Лобачевского на псевдосфере имел «не только первостепенное математическое, но и философское значение»: законы геометрии Лобачевского осуществляются на поверхностях, лежащих в нашем реальном трехмерном пространстве.
Неевклидова геометрия стала необходимым аппаратом для изучения механики, физики и астрономии.








13PAGE 15


13PAGE 14215