Презентация по мматематике на тему Показательная и логарифмическая функции

Тема: «Практическое применение логарифмической и показательной функций» МОУ «Трехбалтаевская СОШ» Трехбалтаево 2010 Выполнила: ученица 10а класса Крылова Юлия Руководитель: учитель математики Стратилатова Полина В. «Вряд ли мне следует объяснять, что одна из важнейших задач математики – помощь другим наукам. Стало уже общепринятым утверждение, что быстрее всего развиваются науки, фундаментальные результаты которых могут быть сформулированы математически. Используя математические методы, выводят важнейшие следствия, которые иным способом вряд ли можно было бы получить. Одно это, не говоря уже о других аспектах, оправдывает возвышение математики на титул Царицы Наук». Морделл Л. В курсе математики средней и старшей школы мы получаем большой объём математических знаний. Порой многие понятия курса алгебры и математического анализа 10-11 классов носят абстрактный характер, и мы задаёмся вопросом: «А где применяются те знания, которые мы получаем на уроках математики?» Таким образом у меня возникла цель: Исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая и показательная функции. Изучение справочных материалов, Изучение научной, учебной литературы, Интернет услугиБеседа с учителями Шотландец, теолог, математик, изобретатель "оружия смерти", задумавший сконструировать систему зеркал и линз, которая поражала бы цель смертоносным лучом, изобрел логарифмы, о чем сообщалось в публикации 1614 года. Таблицы Непера, расчет которых требовал очень много времени, были позже "встроены" в удобное устройство, чрезвычайно ускоряющее процесс вычисления – логарифмическая линейка. Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль. Уравнение логарифмической спирали в полярной системе координат имеет вид , гдеПереписав уравнение в виде мы увидим, что величина полярного угла пропорциональна логарифму радиус-вектора. Отсюда и происходит название логарифмическая спираль. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или её некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары, закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали. Логарифмическую спираль можно встретить и в архитектуре. Шуховская башня в Москве. В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять ранее, чем через год) принята следующая система начисления денег на сумму, внесённую в банк. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от вида вклада. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги - “проценты”, как их обычно называют. Если же он этого не сделал, то они капитализируются, т. е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Коротко говорят, что при такой системе начисляются “проценты на проценты”. В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах Руководствуясь формулой сложных процентов, имеем уравнение относительно неизвестного n: S = A . Логарифмируя это уравнение по основанию 10 (так как видели, именно с этим основанием удобно работать в случаях с прямыми подсчётами), получим: lg S = lg , lg S = lg A + lg , lg S – lg A = n , откуда n = . Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 5 лет, если он положил на счёт в банк 1500 р. И ни разу не будет брать деньги со счёта, а тем временем сумма будет ежегодно увеличиваться на 10%:10% от этой суммы составляют 0,1*1500 = 150р., и, следовательно, через год на его счёте будет1500 + 150 = 1650 р.10% от новой суммы составляют 0,1*1650 = 165 р., и, следовательно, через два года на его счёте будет1650 + 165 = 1815 р.10% от новой суммы составляют 0,1*1815 = 181,5 р., и, следовательно, через три года на его счёте будет1815 + 181,5 = 1996,5 р. Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, “лобовом” подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 5 лет. Между тем этот подсчёт можно провести значительно более просто. Именно, через год начальная сумма 1500 увеличится на 10%, и поэтому новая сумма составит 110% от начальной, так что начальная сумма увеличится в 1,1 раза. Но в следующем году именно новая, увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%, т. е. снова увеличится в 1,1 раза. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1*1,1 = 1,1 в квадр. раза. Но ещё через год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 в кв.*1,1 = 1,1 в кубе раза.Поскольку 1,1в кубе = 1,331; 1,331*1500 = 1996,5, то через 3 года на счёте окажется 1996,5 р.При таком способе рассуждений совершенно понятно, что через 5 лет на счёте будет1,1в 5 степ. *1500 = 1,61051*1500 =2415,77 р. Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна S, р.p% от S составляют р., и через год на счёте окажется суммаS1 = S + PS/100 = (1+ P/100)*S,т. е. начальная сумма увеличилась в 1 + P/100 раз.За следующий год сумма S увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет суммаS2 = (1 + P/100)*S1 = (1 + P/100) (1 + P/100)* S = (1 + P/100) в кв. * S Другими словами справедливо равенство Sn = (1 + P/100)в ст.n * S. Это равенство называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов. Следующие примеры, которые мы рассмотрим, имеют непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии и многочисленным смежным наукам. Практическое применение логарифмов в этих науках связано с их возможностью описывать процессы, при которых изменение одной величины в некоторое количество раз ведёт к изменению зависимой величины на некоторое количество раз. Или наоборот, одна величина меняется на, а другая изменяется в. Таким законам подчиняются, например, процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т.п. Все эти процессы получили название процессов органического роста, поскольку математическая модель, их описывающая, имеет одну и ту же структуру. «Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники,ни того, как учёные изучают природные и социальные явления». Колмогоров А.Н. Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчёты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд. Покажем, как в таких расчётах применяются показательная функция и логарифмы. Какова была численность населения города 10 лет тому назад, если в настоящее время в городе проживает 300 тыс. человек, а ежегодный прирост населения составляет 3,5%? Решение: Численность населения изменяется по формуле: В= Во*(1 + P/100)в ст.n. В нашей задаче B = 300 тыс. человек, p = 3,5 %, x = 10 лет, Во- численность населения 10 лет тому назад. Тогда 300=Во* (1+ 3.5/100)в 10ст.; 300= Во * 1.035в 10 ст. тысяч человек. Во = 300/ 1.035в 10 ст. = 212.7 тысяч человек. Ответ: численность населения 10 лет назад равна 212,7 тыс. человек «В нашу современную жизнь вторгается математика с её особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога». Гнеденко Б.В. Решение: Вычислим массу дрожжей в процессе дрожжевания: кг. Ответ: m = 5.16 кг Задача: Примером быстрого размножения бактерий является процесс изготовления дрожжей, при котором по мере их роста производится соответствующая добавка перерабатываемой сахаристой массы. Увеличение массы дрожжей выражается показательной функцией : где mo - первоначальная масса дрожжей, t – время дрожжевания в часах, m – масса дрожжей в процессе дрожжевания. Вычислим m, если mo =10 кг и t = 9 ч. «И естествоиспытателем нельзя быть, не получивши начальных знаний в географии, математике и т.п.» Менделеев Д.И. Наши исследования задач по химии школьного и расширенного курса изучения позволили нам выделить ряд типов задач, при решении которых используются логарифмы:- равновесные процессы- гидролиз растворов солей- скорость химической реакции изучает раздел кинетика- расчёт рН На сколько градусов надо повысить температуру для ускорения химической реакции в 59000 раз, если скорость реакции растёт в геометрической прогрессии со знаменателем, равным 3 при повышении температуры на каждые 10°? Ответ: надо повысить температуру на 100° для ускорения химической реакции. Решение: 3 в ст. x=59000; lg 3 в ст. x = lg 59000; x lg 3 = lg 59000; «Математические методы становятся не только методами, которые используются в механике, физике, но общими методами для всей науки в целом» Соболев С.Л. Ответ: m 0,7 г. Задача: Чему равна масса йода-131 к концу четвёртых суток с начала наблюдения, если в начальный момент его масса составляла 1г?Решение: mo = 1г; Т = 8 сут.; t = 4 сут.; m - ? «Милорд, я предпринял это долгое путешествие только для того, чтобы видеть Вашу особу и узнать, с помощью какого инструмента разума и изобретательности Вы пришли впервые к мысли об этом превосходном пособии для астрономов, а именно – о логарифмах; но, милорд, после того, как Вы нашли их, я удивляюсь, почему никто не нашёл их раньше, настолько лёгкими они кажутся после того, как о них узнаёшь». Бриггс Г. Приведём один пример использования логарифмов в астрономии. Увеличение диаметра объектива телескопа позволяет видеть всё большее количество звёзд, не различимых простым глазом. При этом предельная «звёздная величина» k звёзд, видимых через телескоп, вычисляется по приближённой формуле k = 7,5 + 5lgD , где D – диаметр объектива телескопа в сантиметрах. Например, при D = 8 см k = 7,5 + 5lg8=12. Значит, через телескоп можно увидеть звёзды до 12-й величины. Вычислите k, если D = 16 см. Подставим данное значение диаметра в формулу. Получим: k = 7,5 + 5lg16 =13,5.Ответ: k = 13.5 В заключении работы могу сказать, что мы не исчерпали всех примеров применения логарифмов, так как сделать это очень сложно. Логарифмы находят самое широкое применение при обработке результатов тестирования в психологии и социологии, в составлении прогнозов погоды и даже в музыке (представляя собой ступени темперированной 12-ти звуковой гаммы частот звуковых колебаний), а также других областях науки и техники. Главное я достигла поставленной цели и поняла, как широко применяются знания логарифмов и показательной функции. 1. В.К. Совайленко, О.В. Лебедева«Алгебра и элементарные функции 10 класс».Ростов–на–Дону «Феникс» , 1998 год2. Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова«Процентные вычисления 10 – 11 классы»«Дрофа», Москва 2003 год3. П.И. Самсонов «Математика»:«Полный курс логарифмов. Естественнонаучный профиль».«Школьная пресса», Москва 2005 год4. М.М. Лиман «Школьникам о математике и математиках»«Просвещение», Москва 1981 год