Урок математики в 11 классе по теме: Параметры в теме: Показательная и логарифмическая функции.

Урок алгебры и начал анализа в 11 классе.
«Параметры в теме: «Показательная и логарифмическая функция»»
Великая книга природы написана
математическими символами
Галилей
Цели
Совершенствование навыков решения задач с параметрами
Значение параметров в показательных и логарифмических функциях и их связь с жизнью
развитие логического мышления, умение анализировать и применять ранее изученный материал в новой ситуации
Ход урока
Еще в древнем мире было широко распространено ростовщичество – отдача денег взаймы под проценты. Например, в Древнем Вавилоне ростовщики брали по 20% лихвы в год. При этом, если должник не мг возвратить долг на следующий год, ему надо было платить проценты не только с занятого капитала, но и с выросших за год процентов. Поэтому через два года приходилось выплачивать не 40 %, а 44 % лихвы. За 5 лет сумма долга увеличивалась в 1,25 раз, то есть в 2,5 раза, за 10 лет – более, чем в 6 раз. Чтобы упростить расчеты сложных процентов, взимаемых по займа, составили таблицы, и нашли формулу, по которой можно было узнать, какую сумму надо платить через n лет
S =a,
а – взятая сумма денег под проценты годовых (то есть показательная функция, так как n – меняется).
Процессы, которые можно записать с использованием показательной функции, часто встречаются в биологии. Например, при испуге в кровь внезапно выделяется адреналин, который потом разрушается, причем скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, еще оставшемуся в крови. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем также по показательному закону. Примером обратного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненного, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества. Как и при радиоактивном распаде, скорость распада и восстановления измеряется временем, в течение которого распадается (восстанавливается) половина вещества. Для адреналина этот период измеряется долями секунды, для веществ, выводимых почками, - минутами, а для гемоглобина – днями.
Вы, конечно, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. И чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник, то есть температуру чайника через t секунд можно найти по формуле:
Т =(Т0-Т1)+Т1,
где Т1 – температура воздуха,
Т0 – температура чайника в момент t=0, то есть
Т = +Т1,
где Т1 – температура среды,
k – число, зависящее от форму чайника, материала, из которого он сделан, количество воды, которое в нем находится.
Пример. Если лодка с работающим двигателем движется по воде равномерно (то есть сила тяги двигателя уравновешивается силой вязкого трения) и затем в момент времени t=0 двигатель выключается, то закон, по которому измеряется скорость лодки, записывается формулой
v =v0.
Живые существа, обычно растут сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы) закручены по спирали. Очертания, выраженные спиралью, имеют не только раковины; в подсолнухе семечки расположены по дугам так же близким к такой же спирали.
Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, накручивает нити вокруг центра по спирали. По спирали закручены и многие галактики, в частности, галактика, которой принадлежит солнечная система. Уравнение этой спирали
r =a,
где r – расстояние от произвольной точке М на спирали до произвольной точки О,
- угол между лучом ОМ и выбранным лучом ОХ,
a, k – постоянные, отличные от нуля.
С другой стороны , поэтому спираль называется логарифмической.
Музыка и логарифмы также связаны. Современная гамма основана на логарифмах, играя по клавишам рояля, музыкант играет, собственно говоря, по логарифмам. Ступени гаммы отстоят друг от друга на расстояниях, равных логарифмам по основанию 2 от числа соответствующих звуков.
Глав также «считает» логарифмы. Вычитание и логарифмирование лежат в основе восприятия человеческим глазом всех цветов радуги, что еще раз подтверждает слова Галилея: «Великая книга природы написана математическими символами».
По закону логарифмической функции проградуирован наш слух. Многочисленные опыты показали, что величина ощущений пропорциональна логарифму величины раздражения.
Используют логарифмическую зависимость и при защите от радиационных поражений: d =l∙lnm, где d – слой, необходимый для защиты от радиационного поражения, l – начальная толщина защитного слоя, m – число, показывающее во сколько раз увеличилась радиация.
I 1 человек у доски: Для каждого значение параметра решить уравнение:

Решение: 1) n=2, то единственное решение t =.
2) n D=33-4n, тогда при n=единственное решение при n= 2 различных решения:
t= при решений нет.
Класс:
Устно: 1) Для каждого решить уравнение
Решение: , то
, то , т.е x=2
2) Для каждого решить уравнение:

Решение: =0, то решений нет.
0, то единственное решение ,
3) Для каждого решить уравнение

Решение , то
, то x=1
4)Дана функция и ее график. Известно, что корни уравнения (0) принадлежат интервалу (0; ).

Какие условия можете записать?
х1х2
II
1. При каком значении параметра уравнение
а) Имеет единственное решение?
(в классе)
б) долее одного решения?
(дома)
Решение
I способ. Рассмотрим функцию g(x) =2x+2-x – четная функция, то график симметричен относительно оси оу.
у =2х+2-х
2
у = 2-х
у = 2х
1

а) g(x)2, тогда
при =0 уравнение решений не имеет,
если , то 2, то единственное решение при , =2,5
б) 2х+2-х>0, 5>0, а>0, то 2 решения при то есть о<а<2,5
II способ.
Анализ
1) а=0, то решений нет
3) а≠0, то 2х+=; 22х-2х+1=0
2х = t, t>0, t2-
Д =
Д=0, то а =±, где а = - не удовлетворяет условию
При а = - единственное решение t =; t =1
2х =1
Ответ: х=0
2. При каком значении параметра а уравнение 3logх-│logх│+а=0(2)
При а =? Уравнение (2) имеет 2 различных положительных корня?
, то
Ответ: при а €(0;).
3. При каких значениях параметра а уравнение 2lg(х+3)=lg(ax) имеет единственный корень?
Решение:
, тогда
То есть уравнение имеет 1 корень изи(-3;+) при а=?

1)
Д =36-12а+а2-36 =а2-12а =а(а-12)
, х =, то -3, тогда
а=12
2) -3
, то а<0.
Ответ: а=12, а€(-;0).
4. При каких значениях параметра а уравнение аlgx+2+2=0 имеет действительные корни?
Решение.
=t, t0
at2+2t+2=0 (2)
При а=? уравнение (2) имеет неотрицательные корни.
1) а=0, то Д1=1-2а
а) Д=о, то t =, то t =-2 – не удовлетворяет условию задачи при а =
б) Д>0, то возможны случаи
или или ,
так как t1+t2 =
t1t2=, тогда
или или
решений нет решений нет а<0
Ответ: при а €(-;0).
5. При каком значении параметра а неравенство 9х-а3х+30 имеет хотя одно решение?
Решение.
3х=t, t>0, то
t2-at+3-a0 (2)
при а=? уравнение (2) имеет хотя бы одно положительное решение.
f(t) =t2-at=3-a
Найдем Д =а2+4а-12 =(а+6)(а-2)
Если Д<0, то неравенство (2) решения не имеет.
Рассмотрим Д0, тогда
Чтобы неравенство (2) имело хотя бы 1 положительное решение, нужно, чтобы выполнялись условия:
или или f(t)
ttf(t)
tf(t)
t
или или
а=2илиили
а=2или2<а3илиа>3
Получим, а€
Ответ: а€.
Домашнее задание.
1. При каких значениях параметра р уравнение lg(2x)+lg(2-x)=lglgp имеет решения?
Ответ: (1;100)
2. Для каждого а решите уравнение
log(3x-1)=log2(x+a)
Ответ: а>, то х =
а, то решений нет.
3. При каком значении параметра а уравнение log2(4х-а)= x имеет два различных решения, принадлежащие промежутку . Найдите эти решения.