Романтика математических олимпиад . (Обобщение реального опыта работы)

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
математических O A M N B 2008 математических Учитель редактор Анатольевича учащихся математическим Международного Математического Турнира заданий места современном образовании учителям студентам педагогических вузов Содержание прошлых Радость Краткий классов олимпиадных Информационные ресурсы авторы эффектную других важнейшее мышления повышения культуры занимательных того нескучными душевно комфортными Бесспорна участника расширении кругозора развитии изучению мышление математических будет количество будет актуальна изучать решения других когда универсальный романтика творческого олимпиадных результатами берущийся школьников математическим турнирам уметь решать могут результатами математических современной науки тем педагогические возьмутся пустой будет блестящее иной может уйти довольно умения решение ошибиться таких суток абсолютно варианта Турнира тот арсенале вышесказанного умеющим того этим регулярно решения большое Пойа способствующих успешному решению интуиция основными аналогия структуры предлагаемые другими получается граф рис определɺнную систему Полный успешного жюри Турнира регулярно публикуют предисловии говориться нулевых учащиеся требующих решения смелости учащихся усилия думать условий работы науке только ученья задач трудности неудачи учителя ученика составляет рутинную почувствовать полезным участию математических турнирах уровня возможных решений часто встречающихся реальных демонстрируются могут исследовательского удобный самоконтроля другими преподавателям учащимся три рекомендуемой литературы обсудить изучить если участия олимпиадах различными вузами задания решение достаточно Можно Турнира уровне этого турнира лучше руководитель самостоятельно изучил другие случаях учитывать аудитории индивидуальный занятиях иллюстрируемые обсуждению самостоятельного Фиксируются успехи участников группы чести является участие турнирах группы обобщением уже изученные участие сугубо перегружать учеников возможно участвуют других настройки интеллектуального тонуса нужно головоломки руководитель задание оно вызывает поучительным или каникулами руководитель может викторины конкурса блиц решений учебного подводятся деятельности группы обсуждаются будущее Возможна которой зрителей присутствуют предполагается выпустить мульльтимедийного интерактивную модель изучение указываются данные учениках преподавателях городах учились абсолютно происходило есть деле сделано соображений такта учеников сделано сильных учащихся умозаключений для подражания другим стремящимся олимпийские коллекции рекомендации учащимся учителям незаслуженно других классов часто практике математических разделе собраны условия исследовательского окунуться увлекательнейший прошлых учеников результатов участия фамилия читателей существенной случай олимпиады лучшие затруднялись успокоила директор волнуйтесь учителей может служить Все некоторой формулу рассуждения Пусть число Приращения функции между тоже между двух функции 6; могут следующая уравнений .100x 6x306 694x =œ =− =− функция равно Пусть функция задана формулой f(x) = ax .xx2x)x(f 0d 1c 2b 1a 48dc3b9a27 18dc2b4a8 4dcba 0d .dc3b9a2748)3(f ;dc2b4a818)2(f ;dcba4)1(f;d0)0(f = = = = == == == использовал изучаемый курсах вузов функция удивляться сразу зону задание сразу факультативном Докажите произведение суммы четырɺх Турнир тур Тренировочный .4 2ba 1b 1a 0b 0a baab >>Ÿ > > > ≥ равенство только факультатива рассказывал ученикам имелось другое Невероятная умением угадать некоторые решения ученик определению следующим третьей строки последней Чему сумма Квант эту наблюдательности аккуратность . 2. . .1-3-2.ppt первую строку вторую (n+2) – Следующая это рассудил своему зная ещɺ более проективной медианы отношение для объяснил ученикам барицентрическим методом будет достаточно Борис моментально Рассмотрим точек одну медиану BF, которая медиану делит отношении Откуда уверенность известно Богу получился рассуждения убедили факультатива спокойно если фундаменте отношения случае получить интуиции без проверки учеников остальных сразу ученик учителя почерку выяснилось учился можно пожалуй удивлением канадских удивлением узнавших после матча Третьяк вундеркиндом членов женщина математический факультатив нужно фамилию таинственный только тут руку буквально уже Международной Математической Турнира многочисленных только общему (16- Турнир осенний тур единственным участником Другие приводили конкретные обоснований очень рассуждений 1k ),1k(pppkqk,qkpkp ;k q =Ÿ−=−=−= =− нужно 1l 1k приводит вычислительные математический отвечают условию ).3m)(2m)(1m)(1m(e ),3m)(2m)(2m(md ),3m)(3m)(1m(mc ),4m)(2m)(1m(mb ),3m)(2m)(1m(ma )3(mod2m )3(mod0m = = = = = нужно возможных (1). другие требуют 1m 2m 1m 3m 2m 4m 3m )!ok( 9m6m 8m6m )3m( )4m)(2m(    2k 6m5m 4m5m )3m)(2m( )4m)(1m(     k = (m+1)(m+4) натуральном двух сомножителей 1l 2l2 l2 2k 3k 3m4m m4m )3m)(1m( )4m(m   условию остаток случаев один m(m+4) 1l 3l3 l3 3k ).!ok(, 1m2m m2m )1m( )2m(m 1l 2l2 l2 2k 2m3m m3m )2m)(1m( )3m(m ),!ok(, 4m4m 3m4m )2m( )3m)(1m(       Соответствие условию доказана конкретный натуральных m = 2 условия получается .1805433e ;1605442d ;1505532c ;1446432b ;1205432a =⋅⋅⋅= =⋅⋅⋅= =⋅⋅⋅= =⋅⋅⋅= участницы математического должен обнаружить получить Прямая отрезает правильного угольника треугольник виден Турнир тур .2-6-4.ppt угольника C = Затем доказывает треугольников треугольников пятиугольников ABCDE BCDEF равенство равенства четырехугольников следует равенство треугольники угол углу Аналогично можно другие углы условия вершину сумма углов равна внутреннему углу десятиугольника Убедительную конкуренцию Турниру достаточно популярны уже выпускным вступительным участие Туре Турнира сугубо выглядели уставшими многочисленных последнего учебного уже славную зал деятельности учителей успехи Ребята найдут слово сомножителей Можно этих сомножителей произведение Турнир ученики Эдуард уже хотя которое красивым выступлений учитель ведь всего нужно усмотреть одну простую .100 99...321!100 99...321!99 97...321!98 97...321!97 54321!6 54321!5 321!4 321!3 1!2 1!1 ⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅⋅= −−−−−−−−−−−−−−−− ⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅= ⋅⋅= следующем ()()() .!99...!5!3!1!502 !99100!9798...!56!34!12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ первую смогут реальные этому научиться Радость представлены заданий преподавателя математической руководителя учащихся рекомендации возможным решений Обсуждаются психологические задания Диагональ треугольник Зональный тур Рисунок условию .2-8-5.ppt Следует сразу пятиугольник ABCDE вовсе выпуклым ромб треугольника условию следует получить удобный случай угол безупречное тому решение обязательно пусть идеально правильный получится совпадут Найдутся тут раскритикуют случай существенная решения Рассмотрение частных случаев последующим духе участников олимпиад стимул дальнейшего главное увидеть конструктивную возникнуть математических фактов быть целенаправленным случае возможен следующий рассуждений угла сумму . 6. . .2-8-6.ppt двух одним . 7. . .2-8-7.ppt радиусом модулю модули угол соответствующего угла который угол треугольника Ответ лучшего геометрической BCD быть . 8. 9. .2-9-8.xls Основные предлагаемых аккуратного рисунка Рассмотрение случаев дадут правильный идею дальнейшего Удачная переформулировка изучить геометрическую алгебраических читателям функций уравнения факультатива изучения »: .0161yx3y4xx2yyx =−−⋅−−⋅−⋅ требуется уравнения посмотреть получится шокирует модульных скобок Будим нулю каждую круглых . ,4)1y()0x( ,016)1y(x 22 =−− =−− уравнением окружности радиусом всего нулю следующую скобку 03y 04x ,03y4x =− =− œ=−− нулю сумма двух модулей нулю модулей следовательно модуля −= =− =− 3y 2x 2x 03y 04x : (-2;3) Почему фигурную скобку квадратную скобку - −= −= 3y 2x 3y 2x 3y 2x 2x будут изображать круглых модульных чуть смертельно =− œ=− 0x 02y ,0x2y самое случае обозначают целую часть число .88.7 ;06.0 ;52,5 −=− русски целая равна нулю заключено нуля используем 0x 3y1 0x 12y1 0x 12y0 0x 02y << <−<− <−≤ =− открытый точки <<− <≤ œ= 0y 1x1 0y 1x0 0y 0x 0yx описывает результате получаем -6-4-20246 . 9. .2-10-9.xls отдельные Интерпретация геометрическими Аккуратное интересно красивыми решениями готовый устраивает получен четыре неотрицательных любое четырɺх одной Приступать решению построения задание шахту подкорку сознания усилия простую ключевую уже можешь наслаждаясь блужданием логичным прямоугольную таблицу строки будим 20 первой существует Каждую единицу других число нужно представить суммы случае исследовательского когда убедительно перечислить следующем возвращается строки следующей одну пока дойдет будет соответствовать 1 1 1 1 1 1 1 Тогда решения однозначно числа или получить представление числа поставив 0 + 6 + 1; 9 = 1 + 0 + 6 + 2. получить суммы (2;2) Следующее виде суммы натурального решения 21 (2;3). Следующее число (2;3) решения суммы (1;2) результате представить суммы уже натуральное число (1;3) число полностью решения 28 далеко поумневшим усвоенными труда решить следующую четвɺрки неотрицательных четырɺх четвɺрки знакомства функцией Сумма играющая важную Число фрагмент данной получаем значение числа число получается сумма массивах обратная числу Поиск сожалению уже чисто Код частных конструктивной Планомерное конструктивной Удачное табличных построений выявление теоретическими современным инструментарием может арифметической принципе заголовку которые предлагают курсов университет подходит ?!». формул .nanamama ;n aa Sm aa = ==⋅ - 4 - 4 существуют быть нужно найти ...!.0SS 6SS ;0SS 5SS ;0SS 3SS 43 52 61 == == == == == сумма времени уже компенсируется никакой нахождения часто нужная идея заданным конкретных сумм Пусть .7a;2d d7 ad20a10d6a6 ;5 d4aa S;3 d2aa 11 11 −== −=œ=   1 3 5 7 -12 -7 0 пошли маслу ;n)1n(da2 Sm)1m(da2 −==−= !!!ok.0)nm(d 1nm mn1 ;d1nm )1nm(daa;dmn1 );nm()mn)(nm(d)nm(a2 );mmnn(d)nm(a2 );1n(dna2m)1m(dma2 nm 1nm = − −− −= =−= −−= −−=− −−=− − решения получения нужной частных Изучение закономерностей выдвинутых всех результатов окончательную сложному одно заданий для целые Александрия пишут вкуса тем учащимся нравятся решение доступно задачи . уравнений линейных уравнений = = = = dxx cxx bxx axx Допустим Пусть .dcba ,ctbtda,cxx ,tbxbx ,tdaxax ,tdx 31 =œ =−−œ= −=−= −=−= −= Получили условие при действительное следует является условие мостик высшую Метода Гаусса acd ac 1100 0110 1100 0011 ac 1010 0110 1100 0011 1010 0101 1100 0011 − −− уравнение двух уравнений бесчисленное множество решений полученный результат тяжɺлой студенческого существует доказательств перейти алгебры что уравнений зависимые можно нули Поэтому каждой набирается нулями можно элементарной полученного результата нужно такие сумма двух сумме двух других достаточно одного следующий числа уверенность потеряно прямо таблица 20 X 3 X 18 x 5 x 16 x 7 25 26 x 14 x x 10 11 пятикратному пусть будет других 19 20 3 0 3 1 17 18 5 0 5 1 15 16 7 0 7 1 13 14 9 0 1 11 12 10 11 задачи или небольшую подробно частный случай требуется сравнительно следующей условие структура четырнадцать уроках математики трудно удивить задач заслуживает абитуриентов Турнир тур решения сразу вершину провести касательную только циркуля Ключевой построение лежат три требует строгого тут параболы xx ,kxx ,0bkxx ,bkxx xy bkxy Ÿ= =−−œ =Ÿ = параллельные угловой одну случае Восстановление продемонстрирована мультимедийном слайде Page Down). геометрических фигур аналитических результате которых возникает конструктивная аналитическое доказательства полученной алгебры построение следующей одной служить универсальный предыдущей имеют сочетание конструктивно графической структуры прямая прямой точку будет данной серединный перпендикуляр отрезку циркуля полученной будут пусть (-m; n), B(m; n). точка принадлежит нулю .2-16-14.ppt .n)mx(BC;n)mx(AC 22 22 −= = ()() −±= −= œ= −= −= =−= 22 222 222 222 22 nmx 0x mn 0x mn nmx 0x ,0)x(f ,nmxx4)x(f ,mxn2mx nmxnmx)x(f .2-16-15.ppt получается случай симметрии получаем точки пересечения окружности радиусом абсцисс .2-16-16.ppt теперь рассмотрим Турнира души лучше убедятся оргкомитета треугольника опущенная другой наименьшему синус угла пересекает прямую двух синусы случае перпендикуляром отрезку виден нетупым углом поскольку остальные лежат через условия аналитической Конструирование функции аналитического исследования геометрическим шахматной поиску расставить так любой (29- Турнир Городов тур .) хотя условию психологическая уверенность может Пусть вертикали лучше диагоналей желательно друг другу мешали получается . 2-22-17.ppt контролирует условие реализуемо вопросу выстроено условие белых Пусть число как клеток число Этот получается попробовать чɺрных сумме может двух фишек черных равен узаконить привести максимальной Зная максимальное число трудно максимальных следующий .2-22-18.ppt поисковые реализации аналогии частным турнира душе наступает самый будущим выступлениям Изучение Турнира лучше уже достаточно интеллектуальная геометрического учебниках назывались окружности треугольника основания высот опущенных треугольник Турнир тур .). построения треугольника условию Пусть треугольник условию углы ANB тогда углов окружности окружности учɺтом полученных неравностороннего треугольника рисунке угол треугольник менее удовлетворяет условию интересно узнать треугольника вокруг полуплоскости угол иметь значение ещɺ полуплоскость треугольник вокруг угол треугольника окружности углом дуги углом окружность Правильный треугольник окружности треугольника окружность решения рисунок геометрической затем уметь динамику чужим удаɺтся поступать ожидалось ощутимого результата рукой убеждены следующие Займусь нибудь чужое решение умный обязательно Вдруг узнаю эту результаты изучить дано Пусть получается лучше могут другие какую момент случай математику как науку лучшие умы человечества знакомству результатами Такова научного изучать чужие того может определению представлено чужое Турнира конкретный вписанное Турнир Городов тур поиска для размерности получено следующее 2 3 таблицу 3 4 1 1 2 2 построенных реальную ситуацию хватило рассуждения интеллектуальная уже все диагональю сумма суммы замечательно Вашими рассуждениями сделать последний рассуждений главной существует суммы маленьких больших .3 5.0n5.0 5.1n5.1 )1n(5.0 1n)1n(5.0 1nt );1t)(1nt(n5.0)1t( n1t n)n...3t2t1t(n );1t(nt5.0)1t( 1t1 n)1t...321(n   −=−  == −=− =−= диагонали большие числа случае нужное будет другой только уменьшится частных закономерностей могут полученных частных Другие исследовательского существенно изучение двух связан геометрией Лучшее Библиотечка Наука рассмотрены как материал методом математических России учеников вызывало Истинную будим нулевого определɺнной определению быть материальную материальная Пусть сосредоточены точек mA центра точек русски чем тяжелее ближе масс Основные двух определяется pOAmOZ)pm( = Пусть масс материальных материальных пусть масс .OZ)pm(OZ)p...pp(OZ)m...mm( 2t 211k 21 ¦¦ = русского русский помощью группировки аксиомы инструментарий такого сухой треугольника Центр треугольника который двух двух принадлежит масс двух тогда медиане треугольника Кроме делиться другое соответственно соотношения === Требуется центром масс используя Так условию точку будет масс соответствии (1), записывать следующим как условию правилом выполняться нужных приступаем способам системы заданному Пусть &#x/MCI; 14;&#x 000;&#x/MCI; 14;&#x 000;&#x/MCI; 14;&#x 000;&#x/MCI; 14;&#x 000;2A + 5R = 7C, = 3B + 7C = 10Z, = Z ɽ [ BC]. &#x/MCI; 15;&#x 000;&#x/MCI; 15;&#x 000;BZ / ZC = 7/3 и, по условию что и требовалось доказать Основная Рассмотренные доказательств использованием геометрии убедительными литературе олимпиадным метод малым методических нудные тяжеловесные аналогичных утверждений треугольников геометрии векторный вызывающий представляется масс скептические сомнения для равносильность .OCmpOBmOAp =œ= Фигурные преобразования обратную Турнира обделять тура гирек каждой Известно себя закреплɺнный прикрепляются Всегда взвешивание слева (29 Турнир тур условие подробнейшими рассматривать как масс серединой . ( определɺнной рисунке вначале материальные точки отображающую соответствующие нужной соответствующих Положение однозначно )3( HAm 1i 1i ii взвешивание соответствуют материальных мысленно сторону виртуального обнаруживается Оппоненту достаточно того разрушить рассуждений случае можно следующий рисунок 39 при надписей Рисунок иллюстрирует сохранение равновесия вычисленный рисунку масс нижнему рисунку при могут получившуюся если придумать расстановки котором ситуация рисунке реализуема другой соседству масс материальных методы масс длин становиться сторону помогают уточнить цепочку рассуждений закончим главу увлекательном незаслуженно методе решении соответствующих олимпиадных многообразии нестандартных встречающиеся сразу солидное преимущество участнику классы известной условно лучше всего изучать предполагает суммы число Рассмотрим Докажите либо Пусть двух делении они дают первом случае сумма Возможна следующая символическая полученного ==Ÿ = = −=−Ÿ = = −=−Ÿ = = )1mk(33)mk(3ba 2m3b 1k3a )nk(3ba 1n3b 1k3a )mk(3ba 2m3b 2k3a целочисленных также Диофантовы уравнения уравнения двумя которых целыми числами Легко уравнение которое Геометрически целочисленными множество факта выводом нужных = −= −−=− = = Zt atyy btxx )yy(b)xx(a cbyax cbyax 00 Дирихле менее (n + 1) будет меньшей шутливой форма менее предметов предмета понять студентов Допустим каждом факультете менее университете факультет менее чем студент солидности числовой четыре различные точки следующее .40 dx cx bx ax Турнир тур точки найдутся между Пусть арифметическое dx 1.0dx bx 1.0bx cx 1.0cx ax 1.0ax Ÿ>− Ÿ>− Ÿ≥− Ÿ≥− условие выполнено решении модуля модуль равен между участники решения нужны рассуждения доступные формируют культуру доказательных рассуждений раздел научную обосновывающую интуитивные заключена лгуном теоретических сразу путɺм нужное выгодно других незаурядной непредсказуемостью предоставлено право только справится стражника один нужно конкретную Ответ остроумное нестандартных популярности уступает предыдущего придумывают данную Соответственно могут неизменной рассуждений ситуаций могут точностью существенно варианты утонуть про первого взвешивания пару Бернулли удобства монеты Предлагается сразу каких нибудь получить существенно результата Будим считать взвешенные зону взвешивания зону Рассмотрим получившихся . ( ) . Возможный ) 00 , , – , любую 2) любых . Возможный остались 3) любых . Возможный ) 00 – ) 11 , ) инварианты олимпиадных определɺнный либо меняться других зависимости или маленьких закончив кубики соседних другой двигаясь условию жук кубика кубик другого цвета кубика другой инвариант Пусть жук кубика таблицу жука последний кубик рисунку противоречие жук проделать путь геометрическую интерпретацию уже упоминалось предыдущих главах Основной удачная геометрическими методом нужно уравнения фигур координатах понадобиться умение аналитические между прямоугольного других треугольников Для достаточно косинусов между модулем двух произведением модулей этих nm nm ≤⋅ случае уравнение .)24x)(4x(x51 =− 5;1x n,x;2 )24x)(4x(nmx51x2nm =⋅≤−=⋅ коллинеарных уравнение .5x 1x =Ÿ= уравнения Случается непустое множество которых При соединяющие каждые Число полного перечисленных решения теорию сложный футбольном желание команда Может так какой времени участвующих Пусть больше Допустим каждая действительно количеству следующую таблицу 45 сыгранных 0 1 n - 1 число числу рɺбер содержащего одна изолированной ситуации существует другой футбольной предыдущей других ресурсов полного слагаемых успешного решения исследовательский Автор обусловлена личными рассматриваемую несколько интересующиеся используя списка других Богу вкус Одни показывают расстояние равно расстояние Турнир тур точки такую ОВОМОА  вступительного рисунок параллельна Чему . 30. , 31. »). более серьɺзно .05yx2y2x x5.02xyx5.02xyy1x5.0 =−−−× − −− любых Олимпиада Докажите отношении соответствующие точкой биссектрисы треугольника пересекаются треугольника a, b, c. биссектрисы теорему треугольника соответственно CP ( пересекаются тогда только .1 =⋅⋅ Менелая лежат прямой .1 −=⋅⋅ Бильярд треугольника которого противоположной что бортов находящуюся Турнир Изобразите существуют Личное такие число b +1, любого натурального  7 10 z 1 y 1 x 48 99100 23 12  уравнение .0 5x 4x 3x 2x 1x ba 18cos натуральные перешла  бесконечное числах треугольника отрезок AD, треугольник его Докажите треугольников СНВ решение системы = = = = x21t t21z z21y y21x любые Клетки три столбца были Однажды человек четырɺх сколько них банде вылазках чем систему =−−−− = 8t16z9y4x1 6tzyx АЛГЕБРОЛЮБЫ 4mn nm nm =⊗ тогда ?)1)2...)))2930((...(( Плоскость любой горизонтали Муха математический получает три каждом три два победных проигрышных столе лежат съесть конфету тот сможет джентельменски Сможет трɺхчленов такие b – трɺхчлена трɺхчлена Докажите шар правильного треугольника исходную Незнайка написал натуральных маленькое стɺр следующую расстояния двумя .yyxx)B;A( )y;x(B),y;x(A 1212 22 11 −−= такой если лужайки Каждую шаг какой следующим .Qy;x),y(f)x(f)yx(f f(10) = - f(-2/7). цифрами цифр равенства Как означает .3 xy2 2xy 1y3x2 − − Можно 2. 27 Совместите кругов Воспользуйтесь равенством двух углов одну получиться условии Изучите аналогичную следующей 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 вершины тетраэдра сторону треугольника биссектрис материальных aA, bB, cC. Пусть cb треугольника массы получившихся материальных воспользуйтесь Воспользуйтесь упругого соударения угол углу удара прямоугольный треугольник спрямить масс ударения любую удобства маршрута равных гипотенузу Маршрут вершине соответствующих следующим другой (1;4), (3;10), (4;6), (4;1), (10;3), (6;4). (6;18), (8;8), (10;6), (20;4). числитель куб 175 75 ;5,2 переменной - 5x = t. 55 18cos угольник центром абсцисс Сумма пятиугольника нуль вектору лучше треугольниками векторами выразить = внутри треугольника треугольник треугольника АВС ab2ba ≥ максимального зубов индуктивное )1x( x)1n(nx .x...xx)x(F),x(F)x(S 1n2 1n  = используйте синуса равнобедренным треугольником углом внутри треугольника четверо найдɺтся менее цвета геометрическую которых треугольник гипотенузой подобие треугольников Обозначьте результат результат операции правильный получить ответ Выясните xy нибудь узел жук - пути муха пролетает = 1 c, убывающей = 1 c знаменателем .c2 5.01 q1 TT =| мухи превышает секунд Общая сумма двух тур сумма баллов Пусть туров турах турах условию следующую = = Nz,y,x 8zyx 17zy2x3 следующие решения (1;7;0), (2;5;1), (3;3;2), (4;1;3). любой Ответ + ax, x .0b,0a,2 >>≥ возможных маршрутов исходный треугольник между треугольников новой перпендикуляром будет >= ≤<−= ≤= 3x,4y 3x1,x7y 1x,6y :l Миша покинуть круг определɺнном каждый перпендикулярном отрезку круга Грамотный можно определения уравнения убедиться содержит единственную (3;2). уравнение убеждает целочисленное решение -4-3-2-101234 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ масс Библиотечка », Наука Барсуков уроки математики нескучными Учитель проведения конкурсов сущности Кортукова Школьное Методическое Александрия Развивающие уроках 5-8 для учителя журнал абитуриентов студентов методическое Новокубанск info@uchitel-izd.ru » ; 10. Международного Турнира Бернулли 56 57