Урок по теме : производная сложной функции
Тема урока: производная сложной функции
Цели: 1) образовательная – сформировать понятие сложной функции, изучить алгоритм вычисления производной сложной функции, показать его применение при вычислении производных.
2) развивающая – продолжить развитие умений логически и аргументировано рассуждать, используя обобщения, анализ, сравнение при изучении производной сложной функции.
3) воспитательная – воспитывать наблюдательность в ходе отыскания математических зависимостей, продолжить формирование самооценки при осуществлении дифференцированного обучения, повышать интерес к математике.
Оборудование: таблица производных, презентация к уроку.
Схема урока:
I. АЗ.
1. Мобилизующее начало (постановка цели работы на уроке).
2. Устная работа с целью актуализации опорных знаний.
3. Проверка домашнего задания с целью мотивации изучения нового материала.
4. Подведение итогов I этапа и постановка задач следующего.
II. ФНЗ и СД.
Эвристическая беседа с целью введения понятия сложной функции.
Устная фронтальная работа с целью закрепления определения сложной функции.
Сообщение учителем алгоритма вычисления производной сложной функции.
Первичное закрепление алгоритма вычисления производной сложной функции фронтально.
Подведение итогов II этапа и постановка задач на следующий.
III. ФУН.
1. Решение задачи с опорой на алгоритм вычисления производной сложной функции фронтально у доски учеником.
2. Дифференцированная работа по решению задач с последующей проверкой фронтально у доски.
3. Подведение итогов урока
4. Выдача домашнего задания.
Ход урока.
I АЗ
1. Выдающий русский математик и кораблестроитель академик Алексей Николаевич Крылов (1863-1945) однажды заметил, человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами. Ему прежде всего нужно ознакомиться со столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть». С одним из таких инструментов мы с вами познакомились – это производная. Сегодня на уроке мы продолжаем изучать тему «Производная» и наша задача рассмотреть новый вопрос «Производная сложной функции», т.е. мы выясним, что такое сложное функция и как вычисляется её производная.
2. Теперь давайте вспомним, как вычисляется производная различных функций. Для этого вы должны выполнить 7 заданий. К каждому заданию предложены варианты ответов, зашифрованные буквами. Правильное решение каждого задания позволяет открыть нужную букву фамилии ученого, который ввел обозначение y', f '(x).
Найти производную функции.
1) y = 5 y' = 0 Л
y' = 5x Н
y' = 1 Б
2) y = -x y' = 1 В
y' = -1 А
y' = x2 И
3) y = 2x+3 y' = 3 У
y' = x И
y' = 2 Г
4) y =13 QUOTE 1415- 12 y' =13 QUOTE 1415 Р
y' = 1 Т
y' = -12 Г
5) y=x4 y' =13 QUOTE 1415 П
y' = 4x3 А
y' = x3 С
6) y=-5x3 y' = -15x2 Н
y'
· = -5x2 О
y' = 5x2 Р
7) y=x-x3 y' = 1-x2 Д
y' = 1-3x2 Ж
y' = x-3x2 А
(Задания на слайдах 2 – 3).
Итак, фамилия ученого Лагранж, а мы тем самым повторили вычисление производных различных функций.
3. Один из учащихся заполняет таблицу: (слайд 4).
f(x)
f(1)
f ' (x)
f ' (1)
1) 4-x
3
-1
-1
2) 2x5
2
10x4
10
3)13 QUOTE 1415
1
4) 13 QUOTE 1415
?
?
5) (4-x)5
35
?
?
Какие есть вопросы? В результате беседы приходим к выводу, что не знаем, как вычислить (13 QUOTE 1415)'; ((4-x)3)'
4. Как называется функция 1), 2), 3), 4).
1) – линейная, 2) степенная, 3) степенная, 4) -?, 5) -?
Сейчас мы выясним, как называются такие функции, как вычисляются их производные.
II. ФНЗ и СД.
1. Для того, чтобы это сделать рассмотрим функцию Z = f(x) =13 QUOTE 1415
- Какова последовательность вычисления значений функции?
а) g = 4-x
б) h = 13 QUOTE 1415
- Как называется зависимость между g и h ?
- Функцией
- Значит g и h могут быть представлены в виде:
g = g(x) = 4-x
h = h(g) =13 QUOTE 1415
- В результате последовательного выполнения функций g и h по заданному значению x будет вычислено значение какой функции?
- f(x)
- Z = f(x) = h(g) = h(g(x))
- Таким образом, f(x) = h(g(x)).
Говорят, что f есть сложная функция, составленная из g и h. Функция
g – внутренняя, h – внешняя.
В нашем примере 4-x внутренняя функция, а
· - внешняя.
g(x) = 4-x
h(g) =13 QUOTE 1415
2. Какие из следующих функций являются сложными? В случае сложной функции назовите внутреннюю и внешнюю (на слайде 8 написаны следующие функции:
а) f(x) = 5x+1; б) f(x) = (3-5x)5; в) f(x) = cos3x.
3. Итак, мы выяснили, что такое сложная функция. Как же считать её производную?
Алгоритм вычисления производной сложной функции f(x) = h(g(x)).
определить внутреннюю функцию g(x).
найти производную внутренней функции g'(x)
определить внешнюю функцию h(g)
найти производную внешней функции h'(g)
найти произведение производной внутренней на производную внешней функции g'(x)
· h'(g)
Каждому дается памятника с алгоритмом.
4. Учитель у доски: f(x) = (3-5x)5
g(x) = 3-5x
g'(x) = -5
h(g) = g5
h'(g)=5g4
f '(x) = g'(x)
· h'(g) = -5
· 5g4 = -5
· 5(3-5x)4 = -25(3-5x)4
5. Итак, мы выяснили, что такое сложная функция и как вычисляется её производная.
III. ФУН.
1. Теперь давайте поучимся находить производные различных сложных функций. Выполняется учащимся с продвинутым уровнем обучения.
Найти производную функции f(x) = 13 QUOTE 1415
1) g(x) = 4-x
2) g'(x) = -1
3) h(g) =13 QUOTE 1415
4) h'(g) =13 QUOTE 1415
5) f '(x) = g'(x)
· h'(g) = -1
· 13 QUOTE 1415 = - 13 QUOTE 1415
2. Найти производную функции:
«3» f(x) = (1 – 2x)4
«4» f(x) = (x2 – 6x + 5)7
«5» f(x) = 13 QUOTE 1415 - (1 – x)3
3. Подведение итогов.
4. Д/З: выучить алгоритм. Найти производную.
«3» - f(x) = (2+4x)9
«4» - f(x) = 13 QUOTE 1415
«5» - f(x) = 13 QUOTE 1415
15