Презентация по информатике на тему Решение логических задач при подготовке к ЕГЭ

Сергеенкова ИМ - 1191Автор: Сергеенкова И.М., учитель информатики.ГБОУ Школа № 1191Г. МоскваРешение логических задачпри подготовке к ЕГЭ
Для логических величин обычно используются три операции:Конъюнкция – логическое умножение (И) –and, &, ∧.Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) –or, |, v.Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬.Что нужно знать для решения задач:4. Импликация - логическое следование А В5. Эквивалентность  - логическое равенство А ВДополнительные логические операции: Логические выражения можно преобразовывать в соответствии с законами алгебры логики:Законы рефлексивностиa ∨ a = aa ∧ a = aЗаконы коммутативностиa ∨ b = b ∨ aa ∧ b = b ∧ aЗаконы ассоциативности(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) Законы дистрибутивностиa ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)Закон отрицания отрицания¬ (¬ a) = aЗаконы де Моргана¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ bЗаконы поглощенияa ∨ (a ∧ b) = aa ∧ (a ∨ b) = a Таблицы истинностиЛогические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности, в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний. Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B). ДизъюнкцияКонъюнкцияИнверсияИмпликацияЭквивалентность Сергеенкова ИМ - 1191Задание 1. Сколько различных решений имеет уравнение (K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) = 1, где K, L, M, N – логические переменные?Решение задачи № 1Высказывание (K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) истинно только в том случае, когда истинны оба высказывания (K v L v M) и (¬L ^ ¬M ^ N).Второе из этих высказываний, (¬L ^ ¬M ^ N), истинно только при L = 0, M = 0, N = 1.При найденных значениях L и M первое высказывание, (K v L v M), истинно, если K = 1.Ответ: уравнение имеет только одно решение. Сергеенкова ИМ - 1191Задание 2. Сколько различных решений имеет уравнение (K ^ L) v (M ^ N) = 1, где K, L, M, N – логические переменные? Сергеенкова ИМ - 1191Решение задачи № 2Высказывание (K ^ L) v (M ^ N) истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний (K ^ L), (M ^ N).Первое из этих высказываний, (K ^ L), истинно при K = 1, L = 1, а поскольку второе высказывание при этом может принимать любое значение, то для M и N следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).Второе из этих высказываний, (M ^ N), истинно при M = 1, N = 1, а поскольку первое высказывание при этом может принимать любое значение, то для K и L следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Последний из этих наборов следует исключить, т.к. он уже учитывался ранее, когда M и N могли принимать любые значения. Ответ: таким образом, уравнение имеет 7 решений. Сергеенкова ИМ - 1191Задание 3. Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение (K -> M) v (L ^ K) v ¬N ложно.Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M, N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K =1, L = 1, M = 0, N = 1. Сергеенкова ИМ - 1191Решение задачи 3.Высказывание (K -> M) v (L ^ K) v ¬N ложно, когда ложны все высказывания K -> M, L ^ K, ¬N.Первое из этих высказываний, K -> M, ложно, если K = 1, M = 0.Второе из этих высказываний, L ^ K, при K = 1 ложно, если L = 0.Третье из этих высказываний, ¬N, ложно, если N = 1.Таким образом, значения переменных, при которых логическое выражение, заданное в условии задачи, ложно: 1001. Ответ: 1001. Задача 4Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?(x1->x2) / (x2->x3) / (x3->x4) / (x4->x5 )  = 1(y1->y2) / (y2->y3) / (y3->y4) / (y4->y5 )  = 1x1/y1 =1В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.Решение.  Решение задачи 4Первое уравнение означает, что если x[i]=1, то для всех k>=i выполнено x[k]  = 1 . Поэтому первое уравнение имеет 6 решений (1-я цифра в наборе – значение x1, 2-я цифра в наборе – значение x2 и т.д.):00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111Второе уравнение имеет 6 аналогичных решений (1-я цифра в наборе – значение y1, 2-я цифра в наборе – значение y2 и т.д.):00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111Решение системы – пара таких наборов. Ввиду третьего уравнения, один наборов в паре должен быть набором 11111. Таких пар – 11: {11111, 11111}, 5 пар вида {11111, R} и 5 пар вида {R, 11111}, здесь R – один из наборов 00000, 00001, 00011, 00111, 01111.Ответ: 11 Замечание к задаче 4. На первый раз выпишем все решения явно:{11111, 00000}; {11111, 00001};  {11111, 00011};  {11111, 00111};  {11111, 01111};{11111, 11111}{00000, 11111};  {00001, 11111};  {00011, 11111};  {00111, 11111}; {01111, 11111};{11111, 11111}Написано 12 пар, но решений — 11.  Выделенная жирным пара  {11111, 11111} написана 2 раза!  Пример 5. Упростить выражения   так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.   Решение: Задание 6Для ка­ко­го из ука­зан­ных зна­че­ний X ис­тин­но вы­ска­зы­ва­ние¬ ((X>2) → (X>3))? 1) 12) 23) 34) 4Решение:Вы­ска­зы­ва­ние ис­тин­но, если вы­ра­же­ние в скоб­ках ложно. Им­пли­ка­ция ложна тогда и толь­ко тогда, когда по­сыл­ка ис­тин­на, а след­ствие ложно. По­сыл­ка ис­тин­на в ва­ри­ан­тах 3 и 4, од­на­ко ва­ри­ант 4 не под­хо­дит, так как в таком слу­чае след­ствие ис­тин­но. Сле­до­ва­тель­но ответ 3. Задание 7Для ка­ко­го из на­зва­ний жи­вот­ных ложно вы­ска­зы­ва­ние: (За­кан­чи­ва­ет­ся на со­глас­ную букву) Λ (B слове 6 букв) → (Чет­вер­тая буква со­глас­ная)? 1) Стра­ус2) Лео­пард3) Вер­блюд4) Кен­гу­руРешение:В первую оче­редь вы­пол­ня­ет­ся ло­ги­че­ское "И".Им­пли­ка­ция ложна толь­ко тогда, когда по­сыл­ка ис­ти­на, а след­ствие ложно. По­сыл­ка {(За­кан­чи­ва­ет­ся на со­глас­ную букву) Λ (B слове 6 букв)} ис­ти­на для ва­ри­ан­та один, а след­ствие {(Чет­вер­тая буква со­глас­ная)} для него ложно. Сле­до­ва­тель­но, ответ 1. Задание 8Какое ло­ги­че­ское вы­ра­же­ние рав­но­силь­но вы­ра­же­нию ¬ (А \/ ¬B)? 1) A \/ B2) A /\ B3) ¬A \/ ¬B4) ¬A /\ BРешение:¬ (А \/ ¬B) = ¬ A /\ ¬ (¬B) = ¬ A /\ B. Пра­виль­ный ответ 4. Задание 9На чис­ло­вой пря­мой даны два от­рез­ка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Вы­бе­ри­те такой от­ре­зок A, что фор­му­ла ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q)тож­де­ствен­но ис­тин­на, то есть при­ни­ма­ет зна­че­ние 1 при любом зна­че­нии пе­ре­мен­ной х. 1) [0, 3]2) [3, 11]3) [11, 15]4) [15, 17] Решение задачи 9Вве­дем обо­зна­че­ния:(x ∈ А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.При­ме­нив пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции, по­лу­ча­ем:¬A∨P∨Q.Ло­ги­че­ское ИЛИ ис­тин­но, если ис­тин­но хотя бы одно утвер­жде­ние. Вы­ра­же­ние P ∨ Q ис­тин­но на от­рез­ке [2; 14]. По­сколь­ку все вы­ра­же­ние долж­но быть ис­тин­но для лю­бо­го x, вы­ра­же­ние ¬A долж­но быть ис­тин­но на мно­же­стве (−∞; 2) ∪ (14; ∞). Таким об­ра­зом, вы­ра­же­ние A долж­но быть ис­тин­но толь­ко внут­ри от­рез­ка [2;14].Из всех от­рез­ков толь­ко от­ре­зок [3; 11] пол­но­стью лежит внут­ри от­рез­ка [2; 14].Ответ: 2 Источники информации:http://2krota.ru/uploads/posts/2011-12/ZnaeteliVifakt-0020.jpghttp://www.inf1.info/image/logic-computer/logichttp://2012.ege-go.ru/zadania/grb/b15/b15-answ/#B15.1http://infolike.narod.ru/logic.htmlhttp://www.ido.rudn.ru/nfpk/inf/inf7.htmlhttp://inf.reshuege.ru/test?theme=233