Презентация по математике: «Применение производной к исследованию функции»

Применение производной к исследованию функции Разработчик:Веремеенко Т.Н1 курсАлгебра и начала анализа «Мало иметь хороший ум, главное -хорошо его применять».Р.Декарт Понятие производной тесно связано со многими понятиями в математике, физике. Рассмотрим, как при помощи производной можно устанавливать возрастание или убывание функции на различных промежутках области ее определения, находить точки максимума или минимума функции, а также определять наибольшее или наименьшее значение функции на конкретном промежутке. Признак возрастания: Если f(х) > 0 в каждой точке интервала, то функция возрастает на этом интервале. Признак убывания: Если f(х) < 0 в каждой точке интервала, то функция убывает на этом интервале. Одна из основных задач исследования функции- это нахождение промежутков её возрастания и убывания. ПРИМЕР 1: Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x3–5x2–32х+9. РЕШЕНИЕ:1) Найдем производную f '(x) = 3x2–10х–32 2) Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: 3x2–10х–32=0 (получили квадратное уравнение)Д=484>0, два корня х1 = – 2, х2 = 16/3 = 5⅓3) Устанавливаем знак производной на каждом интервале.Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков (– ∞; –2] и [5⅓; +∞), убывает на промежутке[–2; 5⅓] + – + 5⅓ –2 х Необходимое условие экстремума: Если точка Хо является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то она равна нулю: f(хо) = 0. Признак максимума: если в точке X0 производная меняет знак с плюса на минус, то Х0 есть точка максимума. Признак минимума: если в точке Х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то Х0 есть точка минимума. Удобно пользоваться упрощенными формулировками Точки максимума и минимума функции f(x) называют точками её экстремума, а значение функции в этих точках – экстремумами функции. ПРИМЕР 2: Исследуем функцию f(x) = x3–3x на экстремум. РЕШЕНИЕ:1) Находим производную f '(x) = 3x2–32) Критические точки: 3x2–3 = 0; x2 –1=0, следовательно х1= 1, х2= –13)производная на интервале (– ∞; –1) имеет знак плюс, на интервале (–1; 1) знак минус, следовательно точка х = –1 – точка максимума. Аналогично выясняем, что х = 1 – точка минимума4) Вычислим значение функции в этих точках:f(–1) = (–1)3–3(–1) = 2f(1) = 13–3·1 =–2Ответ: max f(–1) = 2; min f(1) = –2 + – + 1 –1 х Наибольшее или наименьшее значение функции, непрерывной на промежутке [а; в], находят по следующему плану: Находят критические точки на этом промежутке. Вычисляют значение функции в критических точках и на концах данного промежутка.Из всех полученных значений выбирают наибольшее или наименьшее. ПРИМЕР 3: Найдем наибольшее и наименьшее значение функции:f(x) =6x3–3x2–12x+7 на отрезке [0;2] РЕШЕНИЕ:Находим критические точки заданной функции f′(x) = 18x2–6x–12;18x2–6x–12 = 0/: 63x2–x–2 = 0; х1 = 1; х2 = –2/3  [0;2]2) Вычислим значения функции на концах заданного отрезка и в точке х =1:f(0) = 7; f(1) = 6-3-12+7= -2;f(2) = 48-12-24+7=19из полученных значений выбираем наименьшее и наибольшееОтвет: наименьшее f(1) = -2, наибольшее f(2) = 19 Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений применим к решению разнообразных прикладных задач. ПРИМЕР 4: Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых таким образом, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей. РЕШЕНИЕ:1) Пусть первое число х, тогда второе (24-х).2) Сумму квадратов выразим через функцию: f(x) = х2+(24-х)2 при х  [0; 24]f (x) = х2+576–48х+х2;f(x) = 2х2–48х+576;3) Найдем производную f′(x) = 4х–48 и приравняем к нулю:4х–48 = 0, Х = 12 – критическая точка.4) Найдем значение функции в критической точке и на концах отрезка:f(0) = 576; f(12) = 288;f(24) = 576Следовательно, наименьшее значение функция имеет при х=12.Ответ: 24=12+12 «Считай несчастным тот день и тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»Я.А.Коменский Спасибо за внимание!