Методическая разработка Арифметические действия в позиционных системах счисления
Министерство образования Тверской области
ГБПОУ «Ржевский колледж»
Преподаватель: Петрова А. Н.
Краткие теоретические сведения и основные правила
Позиционной системой счисления (п.с.с.) называют такую систему счисления, в которой значимость (вес) каждой цифры в числе зависит от ее положения в данном числе.
Основание системы счисления это количество букв и других символов, необходимых для записи числа в данной системе счисления. Например:
Система счисления
Основание
Алфавит
Двоичная (2-ичная)
2
{0, 1}
Троичная
3
{0, 1,2}
Четверичная
4
{0, 1,2,3}
И т. д.
Восьмеричная
(8-ричная)
8
{0, 1,2,3,4,5,6,7}
Десятичная
10
{0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Шестнадцатеричная
(16-ричная)
16
{0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
1010,1110,1210,1310,1410,1510
В компьютерной технике основными п.с.с. являются: двоичная, восьмеричная, десятичная, двоично-десятичная и шестнадцатеричная п.с.с.
Компьютерная грамотность предполагает знание арифметических основ ЭВМ, к которым относятся основы п.с.с., умение оперировать с числами в разных системах счисления и умение производить арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление) над числами в разных системах счисления.
Правило перевода целого десятичного числа в q-ичное:
Чтобы целое десятичное число перевести в q-ичное надо целое десятичное число делить нацело на основание q до тех пор, пока не получится число меньшее q. Например,
1210 ( X2:
12
Правило перевода q-ичного числа в десятичное:
Чтобы q-ичное число перевести в десятичное надо q-ичное число записать в виде многочлена по основанию q и соответствующим степеням:
Для q-ичной дроби справедливо:
Правило перевода целого десятичного числа в двоичное методом разностей.
Применяется, как правило, для больших значений целого десятичного числа, например: 745610 (X2=
20 =
1
21=
2
22=
4
23=
8
24=
16
25=
32
26=
64
27=
128
28=
256
29=
512
210=
1024
211=
2048
212=
4096
213=
8192
214=
16384
215=
32768
И т.д.
Правило продвижения цифр в алфавитах позиционных систем счисления (п.с.с.) «ПРАВИЛО ОБЩЕГО СЧЕТА»
Продвижением цифры в алфавите любой п.с.с. называется замена ее следующей цифрой в алфавите в сторону возрастания. Например, продвижение 0 в десятичной с.с. означает замену его на 1. При этом следует знать, что при продвижении старшей цифры в алфавите любой п.с.с., эта старшая цифра заменяется 0 и продвигается слева стоящая от нее цифра. Например:
В 10-тичной с.с. 9,10, 19,20
В 2-ичной с.с. 0,1,10,11,100,101,110,..
В 3-ичнойс.с. 0,1,2,10,11,12,20,..
В 8-ричной с.с. 0,1,2,.,7,10,11,.,17,20,21,.
В 16-ричной с.с. 0,1,E,F,10,..,1F,20,
Правило n двоичных разрядов
Правило перевода 2-ичного числа в 8-ричное
Алфавит 8-ричной системы {0,1,2,3,4,5,6,7} обуславливает необходимость трех двоичных разрядов для записи цифр от 0 до 7:
10-тичная
8-ричная
2-ичная
0
0
000
1
1
001
2
2
010
3
3
011
4
4
100
5
5
101
6
6
110
7
7
111
Правило перевода 2-ичного числа
Алфавит 16-ричной системы {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B,C,D,F} обуславливает необходимость четырех двоичных разрядов для записи цифр от 0 до 15:
10-тичная
16-ричная
2-ичная
0
0
0000
1
1
0001
2
2
0010
3
3
0011
4
4
0100
5
5
0101
6
6
0110
7
7
0111
8
8
1000
9
9
1001
10
A
1010
11
B
1011
12
C
1100
13
D
1101
14
E
1110
15
F
1111
Правило вычитания q-ичных чисел.
Реализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:
Правило сложения q-ичных чисел.
Правило сложения q-ичных чисел.
Реализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:
Правило деления q-ичных чисел.
Реализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:
12110 :1110 =1110
Правило умножения q-ичных чисел.
Реализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:
II ПРИМЕР РЕАЛИЗАЦИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В СМЕШАННЫХ П.С.С.
Вариант 1
Вычислить в 8-ричной с.с., Проверить в 16-ричной и 10-тичной с.с. 434228 + 634610 - 337416
634610 = 143128 = 18CA16 I8) 434228
1317210 = 315648 = 337416 143128
1819410 = 434228 = 471216
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 1317210
2454010 = 577348 =5FDC16 1136810 = 261508 = 2C6816
Записать числа в 16-ричной, 8-ричной и 10-тичной с.с.
а)111000,101112 ( 111 000, 101 1102 ( 0011 1000, 1011 10002=
=70,568 =38,B816 = 56,7210
б) 101000,110012 ( 101 000,110 0102 ( 0010 1000, 1100 10002 =
=50,628 =28,C816= 40,7810
в) 101011,001012 ( 101 011 ,001 0102( 0010 1011,0010 10002 =53,128 =2B,2816 = =43,1610
Вычислить: FBDB16 * 5FC16 Записать результат в двоичной с.с.
Выполнить проверку в 8-ричной и 10-тичной с.с.
I16) FBDB16
* 5FC16
00BCE44
0EC1D50
4EB4700
5E3329416
=1011110001100110010100101002 =9877570010
6447510 * 153210 = 9877570010
I8) FBDB16 = 1757338 = 6447510 5FC16 = 27748 =153210
1757338
* 27748
000767554
015613750
156137500
373666000
5706312248
= 1011110001100110010100101002 = 9877570010
Вычислить: 100112 * 1102 Записать результат в десятичной с.с
Выполнить проверку в 8-ричной с.с.
100112
* 1102
010011
100110
11100102 = 11410
Перевести в 16-ричную, 8-ричную и 2-ичную с.с.:
а) 0,1510 =0,0012 = 0,18 =
·0,216
0,1510
*2
0 30
*2
0 60
*2
1 20
*2
0 40
*2
0 80
Литература:
Левин А. Самоучитель работы на компьютере. – М.: Нолидж, 2000;
Шауцукова, Информатика 10-11 класс;
Макаренко А.Е., Готовимся к экзамену по информатике. М.: Айрис-пресс, 2002
13PAGE 15
13PAGE 14715
Краткое методическое руководство по дисциплине
«Архитектура ЭВМ и ВС»
(Арифметические основы ЭВМ, 2-ая редакция)
Ржев-2013
3510 ( X16
1210 ( X8
3510 =2316
1210 =11002
0
6
2
0
3
2
1
1
2
1210 =148
12
4
1
8
35
3
2
16
11002 ( X10
11002 = 1*23 +1*22+0*21+0*20 = 8+4 =1210
3 2 1 0
148( X10
148 = 1*81 +4*80 = 8+4 =1210
1 0
2316( X10
2316 = 2*161 +3*160 = 32+3 =3510
1 0
Например:
111,112 (X10 =1*22+1*21 +1*20+1*2-1+1*2-2 =
=4+2+1+0,5+0,25 =7,7510
степени
.3 2 1 0 , -1 -2 -3 .
( , (
11101001000002
=212 + 211 +210 + 28 + 25 =
745610
4096
3360
2048
1312
1024
288
256
32
32
0
1
1
1
1
1
Отсутствующие степени заменяются нулевыми значениями !!!
В n двоичных разрядах можно записать 2n двоичных последовательностей
Три двоичных разряда называются двоичной триадой
Для перевода 2-ичного числа в 8-ричное надо:
а) сгруппировать по двоичным триадам (справа налево) целую часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать незначащие 0);
б) сгруппировать по двоичным триадам (слева направо) дробную часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать значащие 0);
в) под каждой триадой подписать цифры из алфавита 8-ричной системы.
Например: 1101101,11012 ( X8 ==155,648
Группируем:
100
001
101
101
1100
Четыре двоичных разряда называются двоичной тетрадой
Для перевода 2-ичного числа в 8-ричное надо:
а) сгруппировать по двоичным тетрадам (справа налево) целую часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать незначащие 0);
б) сгруппировать по двоичным тетрадам (слева направо) дробную часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать значащие 0);
в) под каждой тетрадой подписать цифры или символы из алфавита 16-ричной системы.
Например: 1101101,110112( X16 =
Группируем:
1101,1101
8
6
D
D
1 000
0110
=6D,D816
((
12110
09910
2210
1)10+1-9=2
2)10+2-1-9=2
занимаем
((
1218
0678
328
1)8+1-7=2
2)8+2-1-6=3
занимаем
((
1AB16
0BC16
FE16
1)16+11-12=15=F
2)16+10-1-11=14=E
занимаем
9910
7710
17610
1)9+7=16 16>10, поэтому
16-10=61
2)9+7+1=17
17-10=71
3) 0+1 =1
Перенос в старший разряд
Перенос в старший разряд
268
778
1258
1)6+7=13 13>8, поэтому
13-8=51
2)2 +7+1=10
10-8=21
3) 0+1 =1
Перенос в старший разряд
Перенос в старший разряд
BC16
AB16
16716
1)C+B=23 23>16, поэтому
23-16=71
2)B +A+1=22
22-16=61
3) 0+1 =1
Перенос в старший разряд
Перенос в старший разряд
110012 : 1012
11
11
121
11
11
11
0
1101
1101
11001
101
101
101
0
2710
3510
135
81
94510
1)7*5=35 ( 5 3
2)5*2+3=13 ( 3 1
3)0+1
Аналогично:
3*27=81
Для сложения со старшим разрядом
записываем
Для сложения со старшим разрядом
записываем
Выравниваем разряды:
И поразрядно складываем 135
+
810
945
*
+
2F16
3A16
1D6
8D
AA616
1)F*A=15010(X16 =9616
( 6 9
2)2*10+9=2910 (X16 =1D
(D 1
3)0+1
Аналогично:
3*2F=8D
Для сложения со старшим разрядом
записываем
Для сложения со старшим разрядом
записываем
Выравниваем разряды:
И поразрядно складываем 1D5
+
8D0
AA616
1)4-4=0 2) 8+3-6=5
0
8
B
8
3
6
5
7
0
2
6
C
8
8
2
5
8
2
B
2
2
1
3
5
00BCE4416
0EC1D5016
F7EB9416
4EB470016
5E3329416=5706312248
=9877570010
1) C*B = 12*11=132 ( 8416 =48 2)C*D=12*13 +8=164 =A4 (4A
3) C*B+10=142=8E16 (E8 4)C*F= 12*15+8=BC
1)F*B=15*11=165=A516(5A 2)F*D+10=205=CD(DC
3)F*B+12=17716=B1(1B 4)F*F+11=236=EC16
1)5*B=55=3716(73 2)5*D+3=68=4416(44
3) 5*B+4=59=3B16(B3 4)5*F+3=78=4E16
0007675548
0156137508
0166035248
1561375008
1747432248
3736660008
5706312248
1)4*3=12=148(41 2) 4*3+1=13 =158 (51 3)4*7+1=29(358->53
4)4*5+3=23= 278->72 5)4*7+2=30=368->63 6)4*1+3=78
1)7*3=21=258 ->52 2) 7*3+2=23=278 ->72 3)7*7+2=51= 638->36
4)7*5+6=41= 518->15 5)7*7+5=54= 668->66 6)7*1+6=13=158
1)7*3=21=258 ->52 2) 7*3+2=23=278 ->72 3)7*7+2=51= 638->36
4)7*5+6=41= 518->15 5)7*7+5=54= 668->66 6)7*1+6=13=158
1)2*3=68 2)2*3=68 3) 2*7=14=168 ->61
4)2*5+1=11=138->31 5) 2*7+1=15=178 ->71 6)2*1+1=3
100112 = 238 1102 =68
238
* 68
1628
=11100102 =26+25+24+21=64+32+16+2=11410
1) 6*3 =1810 = 228 -> 22
2) 6*2+2 = 1410 =618
3) 0+1=1
б) 0,1710 = 0,001012 =0,128 =2816
0,1710
*2
0 34
*2
0 68
*2
1 36
*2
0 72
*2
1 44
B) 0,3410 = 0,010102 =0,248 =0,516
0,34
*2
0 68
*2
1 36
*2
0 72
*2
1 44
*2
0 88
15