Презентация-обобщение материала по теме Основные элементарные функции(9 класс)

Элементарные функции и их графикиВЫПОЛНИЛИ:УШАКОВ АЛЕКСАНДР И ДАНИЛЕНКО ИВАНУЧЕНИКИ ГИМНАЗИИ №29 Г.ТОМСКАРуководитель: Вологжанина Е.И. Линейная функция задается уравнением y=ax+b. График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.Пример Построить график функции y=2x+1. Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль. Если x=0,то y=2×0+1=1.Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.Если x=1 , то y=2×1+1=3.Проще записать это в таблицу. {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}Х 01Y13 Свойства и частные случаи:1) Линейная функция вида y=ax (a≠0) называется прямой пропорциональностью. Например, 𝑦=−𝑥2. График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.2) Уравнение вида y=b задает прямую, параллельную оси Ox , в частности, сама ось задается уравнением (y=0). График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: « y всегда равен –4, при любом значении x ».  Наглядный пример разбора частных случаев: График квадратичной функции 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,  где 𝑎≠0 представляет собой параболу. Рассмотрим случай 𝑦=𝑥2: Свойства функции: Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Какую бы точку на оси ОХ мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: 𝐷𝑓=𝑅 . Область определения любой функции стандартно обозначается через 𝐷𝑓 или 𝐷𝑦.  Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: 𝐸𝑓=[0;+∞) – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через 𝐸𝑓 или 𝐸𝑦 . Свойства функции Функция y=𝑥2 является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси OY. Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика. Аналитически чётность функции выражается условием 𝑓𝑥=𝑓(−𝑥).  Свойства функции Функция y=𝑥2 не ограничена сверху.  Свойства функции Пример Построить график функции 𝑓𝑥=−𝑥2+2𝑥.Сначала найдем вершину параболы. Понятно, что в этой точке значению координаты у соответствует только одна координата х, в отличие от других точек параболы. Поэтому уравнение у=−𝑥2+2𝑥 должно иметь 1 корень. −𝑥2+2𝑥−𝑦=0; D=0 𝐷=4−4𝑦; y=1 𝑥2−2𝑥+1=0 𝑥=1Таким образом, вершина параболы лежит в точке [1;1]Строим параболу по точкам  {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}х102-13-24у100-3-3-8-8 Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак: Для квадратичной функции 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, 𝑎≠0 справедливо следующее: Если 𝑎>0, то ветви параболы направлены вверх. Если 𝑎<0, то ветви параболы направлены вниз.  Кубическая парабола задается функцией у=х3. Свойства функции:𝐷𝑓=𝑅𝐸𝑓=𝑅Функция у=х3 является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием −𝑓𝑥=𝑓(−𝑥).Функция не ограничена свеху и снизу.  График функции{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}х01-12-2у01-18-8 Обратной пропорциональностью называют функцию, заданную формулой y = k/x где k неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а > 0) или у= - х(а < 0).Если считать х независимой переменной, а у — зависимой, то формула y = 𝑘𝑥 определяет у как функцию от х. График функции y = 𝑘𝑥 называют гиперболой.Гипербола имеет две ветви, которые расположены в первой и третьей четвертях, если k > 0, и во втором и четвертом квадрантах, если k < 0.  𝐷𝑓=−∞;0∪0;+∞𝐸𝑓=−∞;0∪0;+∞Функция y = 𝑘𝑥 является нечётной. Принимает положительные значения при х > 0 и отрицательные — при x < 0Убывает на промежутках х < 0 и х > 0.Если k < 0, то функция обладает свойствами 1—3, а свойства 4—5 формулируются так: принимает положительные значения при х < 0 и отрицательные при х > 0Возрастает на промежутках х < 0 и х > 0. Свойства функции: Пример:Построим график функции y = 1𝑥 {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x120.53y10.5213{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x120.53y10.52 График функции y =𝑥 представляет собой ветвь параболыСвойства функции𝐷𝑓=[0;+∞).𝐸𝑓=[0;+∞).  График функции{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}х0149у0123 Спасибо за внимание!