Тесты по основам анализа (раздел функциональный анализ)для специальности магистратуры Методика обучения математике

2-семестр Функциональный анализ. Магистратура
Составитель доцент Р.М.Тургунбаев
1. Укажите не верное утверждение.
*Если отображение F имеет слабую производную, то оно имеет и сильную производную и эти производные совпадают.
Если слабая производная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 отображения F существует в некоторой U окрестности точки x0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.
Если отображение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.
Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть сам этот оператор.
2. Укажите не верное утверждение.
*Если F(x) непрерывный оператор, то его производная есть сам этот оператор.
Если слабая производная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 отображения F существует в некоторой U окрестности точки x0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.
Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, и они совпадают.
Если отображение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.
3. Пусть на Гильбертовом пространстве H задан ограниченный оператор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Укажите какие условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы оператор P был проектором 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
*1 и 2
1 и 3
только 1
1 и 4
4. Пусть на Гильбертовом пространстве H задан ограниченный оператор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Укажите какое условие является необходимым для того, чтобы оператор P был проектором:
*13 EMBED Equation.DSMT4 1415
P2=0
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. Укажите не верное утверждение. Если E банахово пространство и T:E(E ограниченный линейный оператор, то
*13 EMBED Equation.DSMT4 1415
sp(T) замкнутое множество
sp(T) компактное множество
sp(T) не пустое множество
6. Найти спектр оператора A: C[0,1](C[0,1], где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
*{0}
{1}
[0,1]
(
7. Найти спектр оператора A: C[0,1](C[0,1], где13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
*[0,1]
{0}
{1}
(
8. Найти спектр оператора A: C[0,1](C[0,1], где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
*{0;1}
{0}
{1}
[0,1]
9. Укажите не верное утверждения для сильной производной.
*Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть постоянное число.
Если F(x)=y0=const, то F’(x)13 EMBED Equation.DSMT4 14150 (нулевой оператор).
Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть сам этот оператор.
Сильная производная единственна.
10. Укажите не верное утверждение.
*Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть число.
Если слабая производная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 отображения F существует в некоторой U окрестности точки x0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.
Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, и они совпадают.
Если отображение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.
11. Если E и F банаховы пространства, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ограниченный линейный оператор, то
A)* 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
B) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
12. Если Т оператор в гильбертовым пространстве H, то сопряженный оператор определяется следующим равенством.
A)* 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
B) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
A)* 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - эрмитовы операторы;
B) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
14. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
A)* 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
B) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - положительный оператор
15. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство верно для инволюции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
A)* 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - положительный оператор
B)13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - Эрмитовы операторы;
16. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
A)* 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
B) если существует 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 единичный оператор;
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - положительный оператор
17. Укажите верное утверждение. Линейный оператор T отображает 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и выражается матрицей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
A) * тогда оператор T* выражается матрицей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
B) тогда оператор T* выражается матрицей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
C) тогда оператор T* выражается матрицей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
D) тогда оператор T* выражается матрицей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
18. Укажите верное утверждение. Линейный оператор T отображает 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и выражается матрицей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. для того чтобы оператор T был эрмитовым необходимо и достаточноб чтобы выполнялось равенство
A) * 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
B) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
19. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 комплексное Гильбертово пространство и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 оператор Фредгольма. Найти сопряженный оператор.
A)* 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
B) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
20. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите производную Фреше функционала F(x)=||x||2.
A) * 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
B) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) не существует
21. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите дифференциал функционала F(x)=||x||.
A)* (y,h)/||y||, y(0, при y=0 не существует
B) (y,h)|, y(0, при y=0 не существует
C) (y,h)/||y||
D) (y,h)
22. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите дифференциал функционала F(x)=||x||2.
A) * 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
B) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) не существует
23. Напишите уравнение Эйлера функционала 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A)* y+y’’=0
B)y-y’’=0
C)y’’-y=0
D)2y-y’’=0
24. Напишите уравнение Эйлера функционала 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A)* 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
B) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
25. Найдите экстремаль функционала 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A)* y=x
B) y=-x
C) y=2x
D) не существует
26. Найдите экстремаль функционала 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A)* 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
B) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
27. Укажите верное утверждение. Пусть H комплексное гильбертово пространство, T самосопряженный оператор. Тогда собственные числа оператора Т
A)* вещественные числа.
B) положительные числа.
C) отрицательные числа.
D) комплексные числа.
28. Укажите верное утверждение. В пространстве C[0,1] рассмотрим оператор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда
A)* точечный спектр пустое множество, непрерывный спектр [0,1]
B) точечный спектр [0,1], непрерывный спектр пустое множество
C) точечный спектр пустое множество, непрерывный спектр {0,1}
D) точечный спектр {0,1}, непрерывный спектр пустое множество
29. Укажите не верное утверждение
A)* Всякий проектор в гильбертовом пространстве компактен
B) Непрерывный линейный оператор переводящий банахово пространство Е в некоторое его конечномерное подпространство компактен
C) В конечномерном нормированном пространстве всякий линейный оператор компактен
D) Оператор, сопряженный компактному компактен.
30. Какое утверждение не верно?
A)* В бесконечномерном пространстве Е компактный оператор имеет ограниченый обратный.
B) Если T компактный оператор, В –ограниченный, то операторы TB и BT компактны
C) Если {Tn}-последовательность компактных операторов в банаховом пространстве Е, сходящаяся по норме к некоторому оператору T, то опреатор T компактен.
D) Оператор, сопряженный компактному компактен
31. Укажите не верное утверждение.
A)* Производная непрерывного линейного оператора есть постоянное число.
B) Если F и G диференцируемы в некоторой точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) Agar F дифференцируема в некоторой точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
D) Производная непрерывного линейного оператора есть сам этот оператор.
32. Укажите не верное утверждение.
A)* Если отображение F имеет слабую производную, то оно имеет и сильную, причем сильная и слабая производные совпадают.
B) Если отображение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дифференцируема в некоторой точке x, оно имеет единственную сильную производную
C) Если F(x)=y0=const, то F’(x)13 EMBED Equation.DSMT4 14150
D) Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают
33. Укажите не верное утверждение
A) * В конечномерном пространстве точечный спектр линейного оператора пуст
B) В конечномерном пространстве число собственных чисел линейного оператора не боле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) В конечномерном пространстве непрерывный спектр линейного оператора пуст
D) В конечномерном пространстве спектр линейного оператора состоит только из собственных чисел
34. Пусть E, F банаховы пространства и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия
A)* Множество 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 всюду плотно в F.
B) множество 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 замкнуто
C) множество 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 открыто
D) множество 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 компактно
35. Пусть E, F банаховы пространства и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия: для некоторого C>0 и произвольного 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 выполняется
A)* 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
B) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
36. Пусть E, F банаховы пространства и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия
A)*для некоторого C>0 и произвольного 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 выполняется 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
B) для некоторого C>0 и некоторого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 выполняется 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) для произвольного C>0 и произвольного 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 выполняется 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) для произвольного C>0 и некоторого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 выполняется 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
37. Пусть Е банахово пространство, I-тождественный оператор в Е, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ограниченный оператор. Тогда для того чтобы выполнялось соотношение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A) *достаточно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
B) достаточно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) достаточно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) достаточно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
38. Пусть Е банахово пространство, I-тождественный оператор в Е, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ограниченный оператор. Тогда для того чтобы существовал 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A) *достаточно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
B) достаточно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) достаточно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) достаточно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
39. Найти экстремали функционала.
А) * вариационная задача не имеет смысла
B)13 EMBED Equation.DSMT4 1415
C) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

40. Исследовать на экстремум функционал 470с.11 а
А) * минимум при у=0
B) Минимум при у=1
C) Максимум при у=0
D) Максимум при у=1

Root Entry(Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeXEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native