презентация по математике (профиль) на тему Модуль. Решение уравнений с модулем

Методы решений уравнений и неравенств с модулями10 класспрофиль Метод интерваловх+5−х−3=8 х<−5−5≤х<3х≥3−х+5−−х−3=8-х-5+х-3=80х=16Решений нетх+5−−х−3=8Х+5+х-3=82х=6Х=3х+5−х−3=8Х+5-х+3=80х=0Бесконечно много решений Найдём нули подмодульных выражений: х=-5, х=3Нанесём нули на координатную прямую и увидим , что она разбилась на три промежуткаНайдём знак каждого модуля на каждом из промежутков. Для этого выберем произвольно числа принадлежащие этим промежуткам и подставим из в подмодульное выражение. Знак полученного результата покажет нам , как будет раскрыт модульх<-5, пусть х=-6, тогда -6+6=-1, -6-3=-9 . оба модуля раскроются «по отрицательному типу»-5≤х<3 пусть х=0, тогда 0+5=5, 0-3=-3. Первый модуль откроется «по отрицательному типу», второй «по положительному типу»х≥3. Пусть х=4, тогда 4+5=9, 4-3=1. То есть оба модуля открываются «по положительному типу». Запишем соответствующие уравнения на каждом промежутке. Запомним ,что крайняя точка промежутка входит в промежуток , стоящий справа от неё. Таким образом, решением данного уравнения стал промежуток х≥3. Метод интервалов|х+2 |+|х+3|=хРаспознавание: справа от знака равно переменная, а слева – разность или сумма модулей.Найдём нули подмодульных выражений: х=-2, х=-3. Переменная х не стоит под модулем , и её нуль находить не нужно Для удобства решения перепишем уравнение по ходу увеличения корня. Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, то уравнение примет вид |х+3|+|х+2|=хНанесём нули на координатную прямую и увидим , что она разбилась на три промежуткаНайдём знак каждого модуля на каждом из промежутков. Для этого выберем произвольно числа принадлежащие этим промежуткам и подставим из в подмодульное выражение. Знак полученного результата покажет нам , как будет раскрыт модульх<-3, пусть х=-5, тогда -5+2=-3, -5-3=-8 . оба модуля раскроются «по отрицательному типу»-3≤х<-2 пусть х=-2.5, тогда первый модуль откроется «по отрицательному типу», второй «по положительному типу»х≥-2. Пусть х=4, тогда оба модуля открываются «по положительному типу». х<−3−3≤х<−2х≥−2-(х+3)-(х+2)=х-х-3-х-2=хХ=-5(х+3)-(х+2)=хХ+3-х-2=хх=1корень не принадлежит данному промежутку и поэтому решением не является(х+3)+(х+2)=хХ+3+х+2=хХ=-5корень не принадлежит этому промежутку и поэтому решением не является-(х+3)-(х+2)=х-х-3-х-2=хХ=-5(х+3)-(х+2)=хХ+3-х-2=хх=1корень не принадлежит данному промежутку и поэтому решением не является(х+3)+(х+2)=хХ+3+х+2=хХ=-5корень не принадлежит этому промежутку и поэтому решением не является Метод возведения в квадратх+5=10+х Если уравнение имеет вид  а=в, то его решают способом возведения в квадрат обеих частей. Поскольку       а2=а2,в2=в2, а а=в=>а2=в2=>а2−в2=0=>а−ва+в=0Например:     х+5=10+х(х+5)2−10+х2=0х+5−10−хх+5+10+х=0−52х+15=0х=−7.5   Геометрический метод На основании ОДЗ модуля2−х=2х+1 2х+1≥02−х=2х+1−2−х=2х+1х≥−123х=1х=−3х≥−12х=13х=−3Нанесём результат на координатную прямую. Понятно, что число -3 исключается из числа решений уравнения.  Ясно, что 1 больше нуля, поэтому модуль определён на всей числовой прямой.х−1−2=1−х−1−2=1х−1=3−х−1=−1х−1=3х−1=1х−1=3−х−1=3х−1=1−х−1=1х=4х=−2х=2х=0  х−1−2=1  Итак , справа стоит выражение без модуля , значит, по определению модуля это выражение не может быть отрицательным, тогда х-3≥0,х≥3. В скобке стоит не просто х , а 2х. Тогда полученное неравенство даёт нам возможность узнать какое число стоит под знаком модуля. 2х≥6, тогда 2х-1≥5. То есть под знаком первого модуля стоит положительное число, и . рассуждая по тому же пути, получим , что и под знаком второго модуля стоит число положительное. Тогда 2х−1−1=2х−2. И уравнение решается так:х≥32х−2=х−3−2х−2=х−3х≥3х=−1−3х=−1х≥3х=−1х=13. Понятно, что уравнение корней не имеет. 2х−1−1=х−3  х2−2х−3<3х−3 Справа выражение больше или равно нулю, под знаком модуля стоит переменная х, значит Неравенство выполняется при условии 3х−3≥0х≥0х≥1х≥0=>х≥1. То есть знак модуля в правой стороне можно открыть «по положительному типу». Имеемх≥1х2−2х−3<3х−3−х2−2х−3<3х−3х≥1х2−5х<0х2+х−6>0=>х≥10<х<5х<−3х>2После нанесения на координатную прямую получим ответ 2<х<5  На основании свойств модуляа+в=а+в, если ав>0 а+в>а+в, если ав<0 х3−1+2−х3=1 Проверим равенство   х3−1+2−х3=1=1, значит х3−1+2−х3=х3−1+2−х3. А это возможно, если х3−1∙2−х3≥0Замена х3=у. Получаем у−1∙2−у≥0у∈1;2=>1≤х3≤2=>1≤х≤32 То есть , если равенство выполняется, то его можно заменить произведением.Метод используется когда в подмодульных выражениях переменная стоит в степени Метод заменых+3−4х−1+х+8−6х−1=1 В этом уравнении нет модуля, однако решение его приводит к знаку модуля. Произведём замену   х−1=у. Тогда , х−1=у2, х=у2+1(у2+1)+3−4у+(у2+1)+8−6у=1у2−4у+4+у2−6у+9=1Под знаком каждого корня точный квадрат(у−2)2+(у−3)2=1Далее , опираясь на свойство модуля   а2=а, имеем уравнение у−2+у−3=1. Далее это уравнение решается по методу интервалов