Методические рекомендации Тригонометрические функции произвольного действительного числа. Решение простейших тригонометрических уравнений
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 7
городского округа город Шарья Костромской области
Муниципальный методический конкурс
образовательных учреждений Костромской области
Номинация «Методические рекомендации»
Тема «Тригонометрические функции произвольного действительного числа.
Решение простейших уравнений вида sinx=a, cosx=a при a ϵ0;∓1;∓12;∓22;∓32»Соколова Наталья Юрьевна,
учитель математики,
МБОУ СОШ №7, высшая
Шарья, 2015
Методические рекомендации по теме «Тригонометрические функции произвольного действительного числа. Решение простейших уравнений вида sinx=a, cosx=a при a ϵ0;∓1;∓12;∓22;∓32 »
Концептуальная основа
Один из объемных разделов алгебры и начала анализа посвящен тригонометрии. В первой части учащиеся знакомятся с функциональными аспектами (периодичность, формулы приведения, графики, простейшие уравнения), а во второй – с алгебраическими (тригонометрические тождества и преобразование, основные тригонометрические уравнения). На учеников обрушивается лавина нового и непонятного, в результате многие считают тригонометрию недосягаемой наукой. На итоговой аттестации в 11 классе в контрольно-измерительных материалах тем не менее включены задания по изучаемому разделу: простейшие тригонометрические уравнения, тригонометрические преобразование и вычисления, решение уравнений с выбором корней.
Таким образом, в ходе моей работы я пришла к выводу, что успех изучения тригонометрии зависит от простейших базовых знаний. Не следует «гнать» материал, не усвоив предыдущий. Мой девиз «Ни шагу назад». В результате кардинально меняется количество часов по темам, запланированных ранее. Большое внимание уделяю работе с тригонометрической окружностью – она первый помощник во многих вопросах тригонометрии. С первых уроках уже включаю решение простейших тригонометрических уравнений, доказывая, что умение работать с окружностью облегчает выполнение задания.
Тема «Тригонометрические функции произвольного действительного числа» выбрана потому, что она быстро «проскакивает», и учащиеся не успевают осознать значимости данного материала. На вопросы «Какой знак имеет sin5» или «Расположите в порядке возрастания числа sin3; sin(-2) и cos3» большая часть класса задают встречный вопрос – «Пять градусов?». Получив ответ «Нет, просто число 5», ученики не могут дать правильного ответа. Ученики видят только углы (00,300, 450 и т.д.), но не видят действительные числа на тригонометрической окружности. Рассматриваемый вопрос – важнейший элемент тригонометрии.
Вторая тема «Решение простейших уравнений вида sinx=a, cosx=a при a ϵ0;∓1;∓12;∓22;∓32» позволяет подготовить учащихся к решению тригонометрических уравнений более сложного характера. В учебниках сразу рассматривают простейшие тригонометрические функции общего вида sinx=a, cosx=a и на учеников обрушивается лавина новых, достаточно сложных обозначений и понятий (arcsina, arccosa, arctga) и сложные формы сокращенной записи ответов, включающих (-1)п и ±.. Учащиеся начинают путаться и считают тригонометрию непреодолимо сложной. Если же «раздробить» процесс изучения решений простейших уравнений, рассматривая такие а, синусы и косинусы которых ученики давно знают, т.е. обходиться некоторое время без аркфункций, то изучение тригонометрии становится значительно эффективным. Таким образом, вводя постепенно тригонометрические формулы и упражняясь в их применении доказательстве тождеств, можно решать уравнения вида
(2 sin x +1)(cos3x-2)=0
4 sin2 x -5sin x+1=0
Цели методических рекомендации
1. Показать, как устанавливается однозначное соответствие между произвольными числами и точками тригонометрической окружности. Научить, как объединять в одну запись две различные точки относительно оси ОХ или относительно оси ОY.
2. Развивать навыки изображения чисел заданных аналитической формулой на тригонометрической окружности, а также решения обратной задачи – по заданным на окружности точкам написать аналитические формулы соответствующих чисел
3. Укреплять и воспитывать у ученика веру в собственные интеллектуальные силы, позволяющие овладеть теми знаниями, которые казались непреодолимо сложными.
4. Подготовить учащихся к восприятию общего решения тригонометрических уравнений вида sinx=a, cosx=a, tgx=a на базе решения аналогичных уравнений с конкретными и известными значениями а.
Четкая структура изложения материала позволит подвести к главным вопросам. В результате в уме ученика сложится определенная последовательность: от простого к сложному; знаю – узнал, знаю – применил.
Содержательная часть
Тема «Тригонометрические функции произвольного действительного числа.
Данные рекомендации содержат последовательное изучение темы. Основы тригонометрии были заложены с 8 класса. Рекомендуется проследить введение понятий тригонометрических функций.
1. Понятие тригонометрических функций
8 класс Прямоугольный треугольник, рассматривая только синусы и косинусы острых углов, а углы измеряются в градусах. 434904587923α с
00α с
524863344241с
с
67197162730900412327841798b00b-39581456635а
а
152964233538
Sinα =acCosα =bc,
где α – острый угол прямоугольного треугольника в градусах, а – противоположный катет, b – прилежащий катет, с- гипотенуза.
Основное тригонометрическое тождество - простое следствие теоремы Пифагора. sin2α +cos2α =?
ас2+ bс2= а2с2 + b2с2=а2+b2с2=с2с2=1sin2α +cos2α= 1
10 класс Определение тригонометрических функций тупых углов - частный случай прямоугольного треугольника. Рассматриваем половину окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащая выше оси ОХ.
7131051905Y
Y
139446042545Pα
00Pα
96364858420
31940522860001061085292111
001
1381901170392941846125377132566880222
139446134925а
00а
113375716926400111089767593α
00α
760730121778О
00О
1960741785061066800110419b00b9531351565632047946111054Х
Х
Sinα= a1 cosα=b1Sinα=a cosα=b
Точка Рα имеет координаты(b;а), но точка Рα лежит на рассматриваемой половине окружности, а градусная мера угла РαОХ= α градусов, то косинусом такого угла называется абсцисса точки Рα, а синусом угла – его ордината.
Значит, синусом и косинусом угла будем называть координаты точки
Рα(cosα;sinα)
Теперь можно рассмотреть тригонометрические функции тупых углов
1234863123190Y
00Y
1201491214066
196779121214Pα(cosα;sinα)
00Pα(cosα;sinα)
45021579080001031240101600sinα
00sinα
1338727135255α0α78380110802100806238108021772513130598007160685157600
98209447389007725133901800
3647016773372248924765cosαcosα 2082024128058Х
00Х
2. Рассмотреть единичную окружность с центром в начале координат (тригонометрическая окружность). Изображают углы в диапазоне от 00 до 3600. Также синусом и косинусом угла α называют абсциссу и ординату такой точки Pα,что угол РαОХ= α, но в более широком диапазоне.
13563602604135001865948144970531483301945005-------
00-------
31584891573530+
00+
center18973802882265149733019392901916430190309514401801362075188785527200571126279Pβ(cosβ;sinβ)
00Pβ(cosβ;sinβ)
center1363345center14312900020426531607114cosβcosβ14871702310765sinα
00sinα
12869331605139cosαcosα13131091860337001911138228931700270114918716270026979742154273P-β(cosβ;sinβ)
00P-β(cosβ;sinβ)
5680422661849Pα(cosα;sinα))
00Pα(cosα;sinα))
center2187222121150925150941910080436598Y
00Y
38187481972593Х
00Х
8255018603399857321013672186626547180500
1760220170180sinβ
00sinβ
Ввести два направления откладывания углов: против часов стрелки о оси ОХ – положительный угол (положительное направление), по часовой стрелке от оси ОХ – отрицательный угол (отрицательное направление).
Из этого следует, что sin (-β)= -sinβ
cos(-β)=cosβ
3.Важный момент в тригонометрии – новая мера угла – радианная мера.
Радианная мера угла – число, равное отношению длины дуги, на которую опирается центральный угол, к радиусу этой окружности.
Вспоминаем формулы: l =πR1800 • α, где l- длина дуги, R – радиус, α- градусная мера угла.
Составить таблицу соответствия.
угол Радианная мера угла (число)
3600 πR1800 • 3600/R,= 2π радиан
2700 3π2 радиан
1800 π радиан
900 π2 радиан
00 0 радиан
300 π6 радиан
450 π4 радиан
600 π3 радиан
Предостережение! Является ошибкой утверждение, что 1800 равно π радиан.
Правильно сказать! Угол, измеряемый 180 градусам, равен углу, измеряемому числом π радиан.
Запомнить! Радиан – это мера угла, выражаемое числом.
356961694810016764020828004. Составит два макета числовой окружности.
Обратить внимание учащихся на коэффициенты чисел вида π4 на первом макете
Показать движение на втором макете: маленькие шаги π6, большие шаги π3, два маленьких шага по π6– это один большой π3.
Важно! Отработать умение строить “макетные” точки и определять числа которым соответствуют заданные точки.
Показывать, какие числа соответствуют выделенным точкам, как в положительном направлении, так и в отрицательном. Например, одна и та же точка на единичной окружности может разные «имена» (11π6 и -π6)
Ни шагу вперед! Если не отработаны местоположения главных точек.
5. Обратить внимание на то, что чисел много, но обозначаться они будут через главные их «имена».
Если любое число а тригонометрической окружности соответствует числу α, то точка а соответствует и числу вида α+2πn,где n- некоторое целое число, α-макетная точка .
Вывод: а= α+2πn.
Например: 19π4= 3π4+2π∙2Снова отработать «макетные» точки, но уже применяя данную формулу. Учащиеся должны осознавать, что одна и та же точка имеет множество «имен», общая запись которых выглядит так: 3π4+2πn, nϵZ или π6+2πк, кϵZ.
6. Научить использовать для вычисления синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов не таблицу, а снова тригонометрическую окружность.
Обратить внимание! Предложите выучить к одному из уроков всю таблицу, обязательно проверьте – результат не утешительный. Вы поставили перед учащимися проблему: как запомнить все эти значения? Выход - тригонометрическая окружность.
-451485000Важно! Научить пользоваться окружностью. Не ленитесь изображать ее на каждом уроке.
Следует отработать вычисления тригонометрических функций, используя окружность. Объяснить, для чего нужно – окружность всегда можно восстановить по памяти.
Ни шагу вперед! Отработать до автоматизма. Можно использовать любые карточки или дидактический материал. Полезно соединить с предыдущей темой. Например. Обозначьте на числовой окружности точки t, удовлетворяющие уравнению cos t = 32. Данные задания способствуют к дальнейшему освоению простейших уравнений.
Обратить внимание! На различное обозначение точек окружности – а, t, Pα, Pt и другие.
7. Поставьте проблему:
Пример: Какая точка на окружности соответствует числу не знакомым «макетным» - числа 4 или 5, или -8.
Выход есть: научить рассуждать.
π≈3,14;
2π≈6,28;
π2≈1,57;π3≈1,047;π4≈0,785;π6≈0,52Решение.
4≈3,14+0,86 – точка находится в III четверти, чуть дальше π4.-8≈-6,28-1,57-0,15- точка находится III четверти, не доходя до - 2π3Пример.
Найти знак sin28 и cos28.
Решение. Определить, в какой четверти находится точка тригонометрической окружности, поставленная числу 28.
28≈4∙6,28+1,57+1,31 – точка тригонометрической окружности, поставленная в соответствие числу 28, находится во II четверти, чуть дальше 5π6 .
Поэтому sin28>0; cos28<0. Изобразить на окружности.
Важно! Учащихся должны осознать, что если научиться использовать тригонометрическую окружность, то изучение тригонометрических функций не вызывает затруднений.
Тема «Решение простейших тригонометрических уравнений
sinx=a, cosx=a при a ϵ0;∓1;∓12;∓22;∓32».
Учащиеся уже достаточно хорошо работают с единичной окружностью, знают «макетные» точки и их значения.
Пример 1. Найдите все такие действительные числа х, для которых
cos x = 22.
Решение. Чаще всего, не долго думая, на этот вопрос отвечают так х= 450.
Важно! В задаче нужно найти действительные числа, а не градусы, во-вторых, нужно найти все такие числа.
right34353500Обратимся за помощью к тригонометрической окружности, вспомнив, что углу в 450 соответствует число π4.Изображая 22 на оси ОХ, нужно обратить внимание, что такой косинус имеет число – π4.Ответ можно записать в виде совокупности, но он не будет верным в полном объеме. Х=π4х=- π4. Следует вспомнить формулу: а= α+2πn. Тогда
окончательный ответ выглядит так х=π4+2π n, где nϵZх=- π4+2πk,где kϵZ.
Важно! Обратите внимание на записи nϵZ и kϵZ. Для каждого корня свои значения целых чисел.
Пример 2. Найдие все действительные числа, удовлетворющие уравнению sin x = 12.
408813028702000Решение. Вновь обратимся к триногоматрической окружности. На вертикалььной оси (иногда ее называю осью синусов) отметим точку 12 и через неё проведем горизонтальную прямою до пересечения с окружностьью в двух точках Pπ6 и P5π6. Соответственно, числа π6 и 5π6 будут решениями исходго уравнения. Чобы получить все решения уравнения, снова вспоминаем формулу общих решений и записать совокупность двух бесконечных множеств.
х=π6+2π n, где nϵZх= 5π6+2πk,где kϵZВажно! Замена двух бесконечных числовых множеств более короткой записью осуществляйте только тогда, когда отработайте данные решения.
Для косинуса: точки симметричны относительно горизонтальной оси (оси косинусов), то задаваемое ими множество можно записать в виде
х=∓α+2πn, где nϵZНапример,
х=π4+2π n, где nϵZх=- π4+2πk,где kϵZ х= ∓π4+2πn, где nϵZ.Для синусов: две точки тригонометрической окружности Pα и Pπ-α симметричные относительно вертикальной оси (ось синусов), поставлены в соответствие бесконечному множеству чисел, задаваемому формулой.
х=(-1)n ∙α +πn, где nϵZ.
Например,
х=π6+2π n, где nϵZх= 5π6+2πk,где kϵZх == (-1)n ∙π6 +πn, где nϵZ.
Объяснить, что при n четном получим все решения верхней строки, при n нечетном получим все числа нижней строки.
Пример3. Решите уравнение 4 sin2 x -5sin x+1=0 и найдите корни, принадлежащие отрезку-π2;3π2.
Решение. Уравнение соответствует заданию части С1 ЕГЭ. Покажите три способа отбора корней – с помощь тригонометрической окружности;
с помощь числовой прямой;
решением двойного неравенства.
Вывод – решение двойного неравенства даст сразу целочисленные значения параметра n. Останется только подставить вместо n конкретные числа в общие решения. Важно! Выбор способа отбора корней останется за учащимися.
Обратите внимание! При решении простейших тригонометрических уравнений мы обошлись без сложных понятий арксинусов и арккосинусов.
Пример 4. Отрабатывайте простейшие уравнения на готовых чертежах.
-38989031686500Решение. Заполните нижний ряд таблицы номерами формул, в верхнем ряду – номера рисунков.
Заключение
Таким образом, данные рекомендации в дальнейшем облегчают работу введения новых понятий, например, арксинус. Умение работать с окружностью позволяет найти значения любых тригонометрических функций любого действительного числа или любых градусных мер угла.
Важно! Следите за качеством усвоения каждой темы и тогда тригонометрия не будет непреодолимой наукой.
На первых уроках ежедневно проводите работу с тригонометрической окружностью.
Включайте с первых уроков тригонометрические уравнения С1.
Не торопите к переходу к записи общего решения тригонометрических уравнений.
При решении уравнений - чертить новую окружность для определения решений.
Помните! Только через деятельность усваивается материал – рассуждат должен ученик, а учитель только сопровождает и направляет.
Список литературы
1. Алгебра и начала математического анализа 10 класс (профильный уровень): методическое пособие для учителя / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 2-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2010.- 239с.
2. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 8-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2011.- 424с.
3. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс(базовый уровень). Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений ./ Л.А. Александрова; под ред. А. Г. Мордковича.- 7-е изд., - М.: Мнемозина, 2012. 127с.
4.Интернет-ресурс- картинки тригонометрической окружности.
5. http://festival.1september.ru/articles/586714/