Презентация урока по теме Модуль действительного числа. Уравнения и неравенства , содержащее неизвестное под знаком модуля.

Модуль действительного числа.Уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Цель урока: обобщить знания о модуле действительного числа, изучить свойства модуля. Научиться решать уравнения и неравенства нестандартными способами. Что мы должны научиться делать? 1.Использовать свойства модуля.2.Решать уравнения и неравенства стандартными способами.3.Решать уравнения и неравенства нестандартными способами. Модуль действительного числа и его свойства Модулем положительного числа называется то же самое число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное данному, модуль нуля равен нулю. Модуль числа а обозначается │а│. а, если а > 0 │а│ = -а, если а < 0 0, если а = 0. Геометрический смысл модуля: это расстояние от начала координат до точки, которая изображает данное число на координатной прямой. в а --------•----------•-------•---------> х В О А Теорема: Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, которые являются изображениями этих чисел на координатной прямой. т.е. по рисунку АВ =│а – в │. Пример: найти а) │2 - √3│= 2 - √3, т.к. 2 > √3 б) │√3 - 2│= -(√3 - 2) = 2 - √3, т.к. √3 < 2. Свойства: │а│= │- а│.Если │а│≤ в, то - в ≤ а ≤ в.Если │а│≥ в, то или а ≥ в, или а ≤ - в.Модуль произведения конечного числа множителей равен произведению модулей этих множителей: │ав│ = │а│∙ │в│.Квадрат модуля числа равен квадрату числа: │а│2 = а2.Модуль частного равен частному от деления модуля делимого на модуль делителя: │а/в│ = │а│ / │в│, если в ≠ 0.Модуль суммы конечного числа действительных чисел, не превышает суммы модулей : │а + в│≤ │а│+│в│.Модуль разности конечного числа действительных чисел не меньше модулей уменьшаемого и вычитаемого: │а - в│≥│а│-│в│. А так же│а + в│≥│а│-│в│.√ а2 = │а│. Пример: √4х2 + 12х + 9 = √ (2х + 3)2 = │2х + 3│. Решение уравнений стандартными способами Решение с использованием определения:│х + 3│= 2. Решение: х + 3 = ± 2 х + 3 = 2 х + 3 = -2 х = 2 – 3 х = -2 – 3 х = -1 х = -5. Ответ: -1; -5.Решить уравнения: а) │2х + 1│ = 3; б) │2х - 3│ = 9.Решение уравнения следующих видов:│f(х)│= │g(х)│ а) возвести левую и правую части уравнения в квадрат и решить полученное уравнение; б) f(х)= g(х) Решить эту совокупность. f(х)= - g(х) Пример: │2х - 3│= │2х + 7│ Решение: Применим первый способ, т.е. возведем обе части уравнения в квадрат. Получим следующее уравнение (2х – 3)2 = (2х + 7)2 4х2 – 12х + 9 = 4х2 + 28х + 49 - 12х – 28х = 49 – 9 -40х = 40 х = -1 Ответ:-1.2. │f(х)│= g(х). Решение данного уравнения равносильно совокупности двух систем g(х) ≥ 0 f(х) = g(х). g(х) ≥ 0 f(х) = - g(х). Пример: │х2 – х - 8│= - х. Решение: решим совокупность следующих систем -х ≥ 0 х2 – х - 8= - х -х ≥ 0 х2 – х - 8= х Решим первую систему - х ≥ 0 х ≤ 0 х ≤ 0 х ≤ 0 х2 – х – 8 = - х, х2 – 8 = 0, х2 = 8, х = ± 2√2, х = - 2√2.Решим вторую систему - х ≥ 0 х ≤ 0 х ≤ 0 х2 – х – 8 = х, х2 – 2х – 8 = 0, х = 4, х = - 2, х = - 2. Ответ: - 2, -2√2. Метод интервалов для уравнений с неизвестным под знаком модуля. Общие положения при решении уравнений этим методом:Область допустимых значений;Находим корни каждой функции;Они делят ОДЗ на интервалы знакопостоянства функций;На каждом интервале раскрываем модуль по определению и решаем полученное уравнение;Проверяем принадлежность полученных корней к интервалам. Рассмотрим применение этого метода на примере. │х│ - 2 │х + 1│+ 3 │х + 2│= 0. Решение: ОДЗ: х Є R Х = 0, Х+ 1 = 0, Х + 2 = 0 Х = -1 Х = -2. -------------------•------•-----•-------------------->Х -2 -1 0Х < -2. (Раскроем модуль. Возьмем например число х = -3 и подставим в уравнение. Если выражение, стоящее под знаком модуля положительно, то знак модуля не меняется, если отрицательно – знак модуля меняется на противоположный.) -х + 2(х + 1) – 3(х + 2) = 0, -х + 2х + 2 – 3х – 6 = 0, -2х – 4 = 0, -2х = 4, х = -2. Данное число не принадлежит рассматриваемому промежутку, а значит не является корнем уравнения.-2 ≤ х ≤ -1. (Подставим х = -1,5.) -х + 2(х + 1) + 3(х + 2) = 0, -х + 2х + 2 + 3х + 6 = 0, 4х + 8 = 0, 4х = -8, х = -2. Данное число принадлежит рассматриваемому промежутку, а значит является корнем уравнения. 3. -1 < х < 0 ( Подставим х = -0,5.) -х – 2(х + 1) + 3(х + 2) = 0, -х – 2х – 2 + 3х + 6 = 0, 0х + 4 = 0, 0х = -4, уравнение решений не имеет.4. х ≥ 0 (Подставим х = 1) х – 2(х + 1) + 3(х + 2) = 0, х – 2х – 2 + 3х + 6 = 0, 2х + 4 = 0, 2х = -4, х = -2. Данное число не принадлежит рассматриваемому промежутку, а значит не является корнем уравнения.5. Вывод: х = -2. Ответ: -2. Пример №2. Решить уравнение : │4 - х│ + │2х - 2│ = 5 – 2х. Решение уравнений нестандартными способами Если │f(х)│= f(х), то достаточно рассмотреть только условие f(х) ≥ 0.Если │f(х)│= - f(х), то рассматривается только условие f(х) ≤ 0.Если │ f(х) │+ │g(х)│ = f(х) - g(х), то f(х) ≥ 0 g(х) ≤ 0.Если │ f(х) │+ │g(х)│ = f(х) + g(х), то f(х) ≥ 0 g(х) ≥ 0.Если │ f(х) │+ │g(х)│ = - f(х) + g(х), то f(х) ≤ 0 g(х) ≥ 0.6. Если │х - а│ + │х - в│ = в – а (в > а), то а ≤ х ≤ в.Если │х - а│ - │х - в│ = в – а (в > а), то х ≥ в. Рассмотрим решение одного уравнения стандартным и нестандартным способами. Пример: │х + 5│ + │х- 8│ = 13. Решение: 1. ОДЗ: хєR. х = -5, х = 8. -------•---------•------->х -5 8 х < -5 (подставим -6) -5 ≤ х ≤ 8 (х = 0) х > 8 (х = 10) -(х+5) – (х-8) = 13, (х+5) – (х-8) = 13, (х+5) + (х-8) = 13, -х – 5 –х +8 = 13, х + 5 – х + 8 = 13, х + 5 + х – 8 = 13, - 2х + 3 = 13, 0х + 13 = 13 , 2х – 3 = 13, - 2х = 10, 0х = 0, 2х = 16, х = - 5. х – любое число. х = 8. число не принадлежит решением является число не принадлежит данному промежутку, весь рассматриваемый данному промежутку, значит не является промежуток -5 ≤ х ≤ 8 . значит не является решением уравнения. решением уравнения Ответ: х є [ -5 ; 8 ]. 2. │х + 5│ + │х- 8│ = 13. Решение: ОДЗ: хєR. а = -5, в = 8, значит в – а = 8 + 5 = 13, т.о. -5 ≤ х ≤ 8. Ответ: х є [ -5 ; 8 ]. Решить самостоятельно: │х + 3│ - │х- 2│= 5. Решение неравенств Рассмотрим несколько случаев решения неравенств: Если │f(х)│> а, то а) а > 0 f(х) > а б) а ≤ 0 Решением будет ОДЗ f(х) f(х) < -а 2. Если │f(х)│< а, то а) а > 0: -а < f(х) < а б) а ≤ 0, решений нет. 3. Если │f(х)│> f(х), то f(х) < 0 , │f(х)│≥ f(х), то решением являются все значения из ОДЗ. 4. Если │f(х)│≤ f(х), то f(х) ≥ 0; │f(х)│< f(х), то решения нет. 5. Если │ f(х)│> g(х), то f(х) > g(х) f(х) < - g(х). 6. Если │f(х)│< g(х), то f(х) < g(х) f(х) > - g(х). 7. Знак разности модулей двух выражений, совпадает со знаком разности квадратов этих выражений. Например, в записи это будет так : │х3 + х - 1│ - │х3 – х + 1│заменим выражением (х3 + х – 1)2 – (х3 – х + 1)2. 8. А если вы забыли все способы решения неравенств, то его можно решить, применив метод интервалов. Примеры: 1). │х3 + х - 1│> х3 – х + 1 (решим, применив способ №3.) х3 + х – 1 > х3 – х + 1 2х > 2 х > 1 х > 1 х3 + х – 1 < - х3 + х – 1 , 2х3 < 0, х3 < 0, х < 0. Решением этой совокупности является хє ( -∞; 0) U ( 1; +∞). Ответ: ( -∞; 0) U ( 1; +∞).2). Найти наибольшее целое решение неравенства: │х – 5│ < 4.(Такого типа неравенства чаще всего встречаются в 1-й части тестовой тетради на ВНО)Решим неравенство, использовав свойство №2. - 4 < х – 5 < 4, 1 < х < 9, т.о. х є ( 1; 9) и наибольшее целое решение х = 8. Решение неравенства методом интервалов: │х - 1│ + │х - 2│≥ х + 3. Решение: ОДЗ: хєR. х = 1, х = 2 ---------------•-----------•-----------------> х 1 2 а) х < 1 ////////////////////////////// -(х – 1) – (х – 2) ≥ х + 3, ------------•----------◦------------> х -х + 1 – х + 2 ≥ х + 3, /////////////0 1 - 3х ≥ 0, х ≤ 0 значит хє ( -∞; 0 ]. б) 1 ≤ х ≤ 2 (х – 1) – (х – 2) ≥ х + 3, х – 1 – х + 2 ≥ х + 3, ///////// -х ≥ 2, ------------•--------•-----•----------> х х ≤ -2. //////////////-2 1 2 решения нет. в) х > 2 (х – 1) + (х – 2) ≥ х + 3, ////////////////////////////////// х – 1 + х – 2 ≥ х + 3, ------------◦--------------•-------------> х х ≥ 6. 2 6/////////////// значит хє [6; + ∞). Т.о. хє ( -∞; 0 ] U [6; + ∞). Ответ: ( -∞; 0 ] U [6; + ∞). Решить уравнения и неравенства. а) │х + 1│ + │х - 2│ = 3; Домашнее задание: б) │х - 1│ + │х - 2│ = │х - 3│ + 4; Глава 6,§ 1. в) │х - 1│ + │х - 3│ = 2х – 4; № 2 (2,3,7), № 3 (1,8). г) │2х - 1│ - │х - 4│ > 4; д)│3х - 5│ > 9х + 1.