Конспект урока по математике для 9 класса «Степень с рациональным показателем»

Тема урока: Степень с рациональным показателем
Алгебра, 9 класс

Эпиграф: “Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”. (М.В.Ломоносов)
Цель урока:
обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Степень с рациональным показателем”.
Задачи урока:
проконтролировать уровень усвоения материала, умения применять знания в новой ситуации;
ликвидировать пробелы в знаниях и умениях учащихся;
формировать навыки самоконтроля, создавать условия для саморазвития и самореализации учащихся;
проводить пропедевтическую работу по развитию компетенции;
создать атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе, развивать познавательную активность учащихся; умение систематизировать знания;
воспитывать интерес к предмету, к истории математики;
развивать коммуникативные качества учащихся;
развивать речь, умение чётко выражать свою мысль.
Оборудование: интерактивная доска, оценочные листы, карточки с заданиями, тесты для каждого учащегося.
Методы обучения: наглядный, частично-поисковый, самостоятельная и творческая деятельность учащихся.
Форма обучения: групповая.
Структура урока:
Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Актуализация знаний учащихся (кроссворд).
Практическое задание.
Исторические сведения о развитии понятия степени.
Проверь себя (тест).
Творческая работа (задание повышенной трудности).
Задание на дом.
Подведение итогов урока.
Предварительная подготовка: класс разбит на группы. В каждой группе руководитель-менеджер.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент.
Учитель. Мы закончили изучение темы “Степень с рациональным показателем и её свойства”. Ваша задача на этом уроке, показать, как вы усвоили изученный материал и умеете применять полученные знания при решении конкретных задач. На столе у каждого из вас есть оценочный лист. В него вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. В конце урока выставите средний балл за урок.
II. Проверка домашнего задания (ответы на доске).
III. Актуализация знаний учащихся.
Учитель. Известный французский писатель Анатоль Франс сказал в свое время: “Учиться надо весело.Чтобы поглощать знания надо поглощать их с аппетитом”.
Повторить необходимые теоретические сведения я предлагаю вам в ходе разгадывания кроссворда.


По горизонтали:
1. Действие, с помощью которого вычисляется значение степени (возведение).
2. Произведение, состоящее из одинаковых множителей (степень).
3. Действие показателей степеней при возведении степени в степень (произведение).
4. Действие степеней, при которых показатели степеней вычитаются (деление).
По вертикали:
5. Число всех одинаковых множителей (показатель).
6. Степень с нулевым показателем (единица).
7. Повторяющийся множитель (основание).
8. Значение 105 : ( 23 55 ) (четыре).
9. Показатель степени, который обычно не пишут (единица).
IV. Математическая разминка. Практическое задание.
1.Выполнить действия
13 QUOTE 1415 =
2. Представить в виде степени с основанием x:
13 QUOTE 1415=
3. При каких значениях переменной определено выражение:
а) 13 QUOTE 1415; б)13 QUOTE 1415.
4. Решить уравнения:
а) 13 QUOTE 1415; б) 13 QUOTE 1415; в)13 QUOTE 1415.
5. Определить знак числа:

6. Укажите точки пересечения графика функции
13 QUOTE 1415 с осью OX.
7. Внести множитель под знак корня:
а) 13 QUOTE 1415 , где a
·0, b
·0;
б) -ab13 QUOTE 1415 , где a
·0, b
·0;
в) -ab13 QUOTE 1415 , где a
·0, b
·0.
V. Исторические сведения о развитии понятия степени (сообщения учеников).
Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.
В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д.
Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.
Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоризм пропорций”.
Равенство, а0 =1 (для а не равного 0) применял в своих трудах в начале ХV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид. Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в ХV веке. Известно, что Николай Шюке (1445–1500 гг.), рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями.
Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются в “Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля и у Симона Стевина. Симон Стевин предположил подразумевать под а1/n корень .
Немецкий математик М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а0=1 при и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень.
В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. Но современные обозначения (типа а4, а5) в XVII в ввел Рене Декарт.
Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).
О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил Исаак Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.
Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщение понятий математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробными показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т.е. чтобы сохранились основные свойства первоначального определённого понятия степени.
Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, то есть смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения постоянства).
В несовершенной форме его высказал 1830 г. английский математик Дж.Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г.Ганкель в 1867 г.
VI. Проверь себя. Тест.
1) Найти значение выражения 13 QUOTE 1415 :
A) 28; B) 26; C) 24; D) 14; E) 196.
2) Найти значение выражения 13 QUOTE 1415, при a = 13 QUOTE 1415 :
A) -4; B) -1/4; C) 1/4; D) 4; E) 1.
3) Записать( 13 QUOTE 1415 )-6 в виде степени с основанием x:
A) x ; B) x-42; C) x-11; D) x-12; E) 1.
4) Записать выражение (13 QUOTE 1415 )5 в виде степени с основанием x:
A) x-3; B) x3; C) x13; D) x-40; E) x40.
5) Найти значение выражения |a|-|b|-|c|-|d| при a=3, b=-2, c=-1, d=-5:
A) 5; B) -5; C) -4; D) 4; E) -3.
6) Найти значение выражения 13 QUOTE 1415 при x=13 QUOTE 1415
A) 1/5; B) 5; C) 1; D) 2; E) 1/2.
7) Упростить 13 QUOTE 1415 :
A) 1; B) 3; C) 5; D) 4; E) 2.
8) Вычислить13 QUOTE 1415:
A) 12; B) 27; C) 32; D) 23; E) 16.
9) Вычислить: 13 QUOTE 1415:
A) 4; B) 8; C) 2; D) 16; E) 1/2.
10) Вычислить: 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415:
A) 9; B) 3; C) 18; D) 30; E) 1/3.

VII. Творческая работа.
13 QUOTE 1415 при x = -3,112, y = 1,888
VIII. Задание на дом.
IX. Подведение итогов урока.
Менеджер группы комментирует оценку каждого ученика своей группы.
Рефлексия.
Литература:
А. Абылкасымова, Алгебра 9, Изд. «Просвещение-Казахстан»;
Н.Я. Виленкин, Алгебра 9, Изд. «Просвещение»;
Ю.Н. Макарычев, Алгебра 9, Изд. «Просвещение»;
М.В. Симакин, Математика. Тестовые задания, Изд. «Келешек-2030»

15