Урок по алгебре для 10 класса на тему Степень с рациональным показателем
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Поводимовская средняя общеобразовательная школа»
Дубенского муниципального района Республики Мордовия
НЕСТАНДАРТНЫЙ УРОК
ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
В 10 КЛАССЕ
Подготовила: учитель математики
Бровцева А.В.
2011 год.
Цели урока:
Научить выполнять простейшие преобразования выражений, содержащие степени с дробным показателем;
Закрепить свойства степени с рациональным показателем в ходе выполнения упражнений;
Формировать навыки самоконтроля учащихся;
Создать атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе, развивать познавательную активность учащихся;
Воспитывать интерес к предмету, к истории математики.
Оборудование:
карточки с ответами для устного счёта;
карточки с заданиями, дешифраторами для каждого учащегося;
мультимедиа;
презентация Microsoft Excel.
Результативность:
Оттачивается навык применения свойств степени с рациональным показателем при вычислении выражений;
Развиваются вычислительные навыки, повышается вычислительная культура;
Через связь заданий урока с историческими фактами повышается интерес к их выполнению;
Выявляется степень освоенности материала.
Ход урока
I. Организационный момент.Учитель. Мы заканчиваем изучение темы “Степень с рациональным показателем и её свойства”. Ваша задача на этом уроке, показать, как вы усвоили изученный материал и как вы умеете применять полученные знания при решении конкретных задач.
Актуализация знаний учащихся.
Учитель. Для начала вспомним свойства степеней с рациональным показателем на конкретных примерах.
Задание: представить в виде степени с рациональным показателем.
а) x25∙x12 г) a∙a0,52 ж) y12∙1yб) x0,5: x13 д) (4x3)2 з) (1a2,5 ) -2
в) (y57)1,4 е) x19∙3x2 и) 3y4.
III. Закрепление изученного материала.
Учитель. Один великий русский ученый в свое время сказал: "Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь". Кому принадлежат эти слова, мы узнаем, когда выполним следующие задания.
912 –
6413 –
40,5 –
2255 –
500,04 –
63260,5-2 –
0,712∙7012 –
1615∙6415 –
25-12 –
4 7 2 –3 3 100 0,2 10
о с м а л е в нЛОМОНОСОВ
Михаил Васильевич Ломоносов своим высказыванием указал на важность степеней для науки и человечества.
Учитель. Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов.
Задание. Упростив и вычислив следующие выражения, используя дешифратор, вы узнаете имя ученого, который положил начало буквенных записей степени.
22-35∙85 –
83+522+5 ∙ 41+5 –181-0,75+127-43 –
1097 : 1027-565 ∙545 –
116-0,75+810 0000,25-7193215 –
2723--2-2+338-13 –
253∙5-13-553∙2-13310 –
но е да с т и ф8712108 -12 4 36,5 43 -21 32 –15
ДИОФАНТ
Учитель. Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.
В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком Δ с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д.
Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.
Учитель. Выполнив это задание, вы узнаете фамилию немецкого математика, который ввел термин – “показатель степени”.
Для выполнения следующего задания, вспомним формулы сокращенного умножения:
a2-b2=a+b(a-b)
a3+b3=a+b(a2-ab+b2)
a3-b3=a-b(a2+ab+b2)
Задание.
Вынести общий множитель за скобки:
x13+x23 –
x34-x23 –
Пользуясь тождеством a2-b2=a+ba-b, разложить на множители:
a12-b12 –
a13-b13 –Разложить на множители, используя тождество a3+b3=a+b(a2-ab+b2) или a3-b3=a-b(a2+ab+b2):
a-b –
a32+b32 –
a-ba14-b14 –
л и шм
a12+b12*a-a12b12+ba14-b14a14+b14x13 1+x13a14+b14*a23+a13b13+b23ьфе т
a14+b14a16-b16a16+b16 a13-b13*a23+a13b13+b23x812x112-1ШТИФЕЛЬ
Учитель. Немецкий математик М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а0=1 при a≠1 и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень. Штифель оставил заметный след в развитии алгебры. В его главном труде Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) он дал содержательную теорию отрицательных чисел, возведения в степень, различных прогрессий и других последовательностей. Штифель впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени» (лат. exponens), причём подробно анализировал и целые, и дробные показатели. Опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов и составил их таблицы до 18-й степени. Штифель переработал (фактически написал заново) книгу алгебраиста (коссиста) Кристофа Рудольфа, и использованные там современные обозначения арифметических операций с этого момента укоренились в математике (1553).
В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней.
Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).
Но современные обозначения (типа а4, а5) в XVII в ввел Рене Декарт.
Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).
О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил Исаак Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.
Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщение понятий математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробными показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т.е. чтобы сохранились основные свойства первоначального определённого понятия степени.Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, то есть смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения постоянства). В несовершенной форме его высказал 1830 г. английский математик Дж.Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г.Ганкель в 1867 г.
Подведение итогов.
Учитель. Сегодня на уроке мы закрепили понятие степени с рациональным показателем и ее свойства, а также применили эти свойства при решении различных упражнений. На протяжении всего урока мы знакомились с историческими фактами, свидетельствующими о развитии степени.
Домашнее задание.
§4, п.1, № 71–73 (четн), 84, 86 (2)