Урок по математике по теме: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций. Решение задач на работу (9 класс)

Урок по теме :«Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций» (9 класс).
Решение задач на работу.
Цель урока: показать способ решения задач с помощью составления систем уравнений; способствовать развитию навыков и умений при решении систем уравнений; развивать навыки само и взаимоконтроля.
Учебник: 1.А.Г.Мордкович, Н.П.Николаев «Алгебра-9». Учебник. Изд. Мнемозина, М. 2009. 2.Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский, В.П.Семенов «Алгебра-9». Задачник. Изд. Мнемозина, М. 2009.
Ход урока.
Повторение ранее изученного.
На примере задачи 8 класса вспоминаем понятия: работа, производительность
Задача.
Токарь должен был обработать 120 деталей к определенному сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать в час на 20 деталей больше и поэтому закончил работу на 1 ч раньше срока. Сколько деталей он должен был обрабатывать по плану?
Ответ: 40 деталей.
Решение задач на совместную работу с помощью системы уравнений.
Объяснение учителя.
Задача №1.
Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объема земляных работ?
I.Составление математической модели
Примем объем всей работы за 1. Пусть первый экскаватор один работает x ч, второй в одиночку выполнит всю работу за y ч, тогда y-x=4 ; 1x часть работы, выполненная первым экскаватором за 1 ч, 1y производительность второго за 1 ч; 415 производительность обоих экскаваторов за 1 ч. Составим систему уравнений:
y-x=41x+1y=415 ;
II.Работа с составленной моделью
y=4+x15x+15y=4xy15(4+x)+ 15x=4x(4+x)
60+15x+15x=16x+4x24x2-14x-60=0
x=6x=-2,5III.Ответ на вопрос задачи.x=-2,5 не удовлетворяет условию задачи
Если x=6, то y=4+6=10.
Ответ: 6 ч, 10 ч.
Задача №2.(№14.39)
Один учащийся решает у доски, остальные в тетрадях.
Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 8 ч. Один из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 12 ч быстрее, чем другой рабочий, если последний будет работать один. За сколько часов, работая отдельно, каждый из них может выполнить работу?
I.Составление математической модели
Примем объем работы за 1. x ч работает первый рабочий, y ч в одиночку выполнит все задание второй рабочий.
Получим систему уравнений:
y-x=121x+1y=18II.Работа с составленной моделью
y=12+x8x+8y=xy8(12+x)+ 8x=x(12+x)
96+8x+8x=12x+x2x2-4x-96=0
x=12x=-8III.Ответ на вопрос задачи.x=-8 не удовлетворяет условию задачи
Если x=12, то y=12+12=24.
Ответ: 12 ч, 24 ч.
Задача №3.(№14.34)
Решение задачи объясняет учитель, привлекая к обсуждению учащихся.
При одновременном действии двух труб бассейн наполняется водой за 40 ч. Если бы 23 бассейна наполнила первая труба, а потом остальную часть вторая труба, то потребовалось бы 78 ч. Сколько времени требуется для наполнения бассейна каждой трубой в отдельности?
I.Составление математической модели
Примем объем работы за 1. Пусть x ч наполняет бассейн первая труба, а y ч – вторая труба.
Получим систему уравнений:
1x+1y∙40=123x+13y=78II.Работа с составленной моделью
y=234-2x1x+1234-2x=140
x2-137x+4680=0
x=65x=72III.Ответ на вопрос задачи.x=65 удовлетворяет условию задачи, тогда y=104x=72 удовлетворяет условию задачи, тогда y=90Ответ: 65 ч и 104 ч или 72 ч и 90 ч.
Задача №3.(№14.36)
Решение задачи объясняет учитель, привлекая к обсуждению учащихся.
Совхоз располагает тракторами четырех марок: А, Б, В и Г. Бригада из четырех тракторов (двух тракторов марки Б и по одному марок В и Г) производит вспашку поля за два дня. Бригада из двух тракторов марки А и одного трактора марки В тратит на эту работу три дня, а три трактора марок А, Б, В – четыре дня. За какое время выполнит работу бригада, составленная из четырех тракторов разных марок?
I.Составление математической модели
Примем объем работы за 1. Пусть за x дн. вспашет поле трактор марки А, за y дн. – марки Б, за z дн. – марки В и за v дн. – марки Г.
Получим систему уравнений:
2y+1z+1v=12(1)2x+1z=13(2)1x+1y+1z=14(3)
Из (2) получим:
1 z=13-2xПодставим в (3):
1x+1y+13-2x=14 1y-1x=-1121y=1x-112Подставим в (1) и получим:
1v=13v=3Тогда можно ответить на вопрос задачи
11x+1y+1z+1v=114 +13=1712=157 Ответ: 157 дня.
4.Итоги урока.
5.Домашнее задание: разобрать пример 3, 4 из параграфа 14 на с.103-108; решить №14.33, №14.32, №14.37.