Урок одной задачи на тему Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и способы их решений.
Тема урока: Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и способы их решений.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование урока: линейка, угольник, учебник.
Эпиграф: «Полезнее решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач одним способом».
Цели урока:
Образовательные: научить учащихся различным способам решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.
Развивающие: продолжить работу по развитию у учащихся интереса к предмету, творческого мышления, вычислительных и исследовательских навыков и способностей.
Воспитательные: формировать у учащихся высокие нравственные качества: упорство и целеустремленность в труде, настойчивость в поисках новых рациональных и изящных решений любой задачи.
ХОД УРОКА
Слово учителя: На прошлом уроке вы получили задание на дом:
1) Условие задачи, по которым должны были вы составить систему уравнений.2) Эту систему необходимо решить известными вам способами.Перейдем непосредственно к сути урока. Повторим способы решения двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Приглашается к доске первый ученик, который решил задачу (систему) по крайней мере, одним способом.Ученик, согласно данным и условий задачи, строит на доске прямоугольник, изображающий участок АВСД и по памяти сообщает: «Прямоугольный участок земли огорожен изгородью длиной 26 м. Длина прямоугольника больше его ширины на 5 м. Необходимо найти длины сторон участка и его площадь».
А В
у
С х ДУченик. Наносим данные на чертеж.Длины сторон прямоугольника обозначаем через х и у. Анализируем. Чтобы ответить на вопрос задачи, учитывая Р = 26, нужно узнать длины сторон прямоугольника , т.е. х и у. Тогда s = x * y.Значит х – ? у – ? – это главные неизвестные.Приступим к составлению и решению системы.Применив формулу для вычисления периметра прямоугольника, составим систему двух уравнений с этими неизвестными х и у
Решим ее.Область допустимых значений неизвестных в системе будет х > 0; y > 0
К решению системы приглашается новый ученик. Он сообщает, что будет решать систему способом подстановки.
Способ 1.
Выразив х через у из второго уравнения, получим х = у + 5.Подставим это значение х в первое уравнение системы:2(у + 5 + у) = 26.Решим полученное уравнение 2у + 5 = 13; 2у = 13 – 5; 2у = 8; у = 4.Подставим найденное значение у в формулу х = у + 5:х = 4 + 5 = 9.S = 9 * 4 = 36
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9м и 4м. S = 36 м2.
Способ 2.
Приглашается следующий ученик, пожелавший решить систему другим способом. Он сообщает, что будет решать систему способом сложения
Сложив уравнения, придем к исключению переменной у. Имеем
2х = 18; т.е.х = 9
Подставим найденное значение х во второе уравнение системы, т.е. в уравнение
х – у = 5: 9 – у = 5у = 4.9 * 4 =36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9м и 4м. S = 36 м2.
Способ 3.
Следующий ученик.
Пусть х – длина прямоугольника, тогда (х – 5) – его ширина. По формуле вычисления периметра прямоугольника, имеем
2(х + х – 5) = 26; 2х – 5 = 13; 2х = 18; х = 9. 9 – 5 = 4S = 9 * 4 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 м и 4 м. S = 36 м2.
Способ 4.
Возможен 4-й желающий решить задачу следующим способом
Выразим х = 13 – у из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение системы, получим:
13 – у – у = 5;– 2у = 5 – 13; 2у = 8; у = 4.
Подставим найденное значение у в формулу х =13 – у, т.е.
х = 13 – 4 = 9.4 * 9 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 и 4м. S = 36м2.
Способ 5.
Далее желающих может не быть, потому сам учитель, активизируя класс, подводит к очередному способу решения системы.
Учитель.
Из второго уравнения системы получаем у = х – 5 и, подставим в первое уравнение системы. Решим полученное уравнение
2(х + х – 5) = 26;2х – 5 = 13;2х = 18;х = 9.
Подставим найденное значение х в формулу
у = х – 5; у = 9 – 5 = 4.S = х * у; S = 9 * 4 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 и 4м. S =36м2.
Способ 6.
Первое уравнение преобразуем к виду х = 13 – у, а второе уравнение системы к виду х = 5 + у. Теперь систему можно переписать так:
Ясно, что нас интересует такое значение у, при котором 13 – у = 5 + у.
Из этого уравнения находим
– у – у = 5 – 13;– 2у = – 8;у = 4.
Если у = 4, то из уравнения х = 13 – у, получим х = 13 – 4 = 9
S = х * у; S = 9 * 4 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 и 4м. S =36м2
Способ 7.
Метод подбора.
Учитель. Мы можем легко сообразить и определить, что х=9, у = 4 или наоборот, но нужно делать это осознанно и обоснованно.
х + у = 1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 = 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7 = 7 + 6 = 8 + 5 = 9 + 4 = 10 + 3 = 11 + 2 = 12 + 1.
Проверяя эти пары чисел убеждаемся, что (1;12); (2;11); (3;10); (5;8); (6;7) не удовлетворяют требованиям задачи т.к. разность этих чисел не равна 5. И только (9;4) удовлетворяют системе.
S = х * у; S = 9 * 4 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 и 4м. S = 36м2
Способ 8.
Начертим графики соответствующие уравнениям 2(х + у) = 26; х – у = 5.
Учитель предлагает учащимся ответить на вопрос: Что значит графически решить систему двух уравнений с двумя неизвестными?
Ученик. Надо построить прямую х + у = 13, затем прямую х – у = 5 и, наконец, найти точку пересечения этих прямых.1) Строим график уравнения х + у = 13. Если х = 0, то у = 13. Если у = 0, то х = 13.Итак, нашли две точки (0;13) и (13;0).Построим на координатной плоскости ХОУ прямую, проходящую через эти две точки.
2) Строим график уравнения х – у = 5. Если х= 0, то у = – 5; если у = 0, то х = 5.Проведем через точки (0; –5) и (5;0) прямую. Прямые пересекаются в точке (9;4), т.е. х = 9, у = 4.S = х * у; S = 9 * 4 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 и 4м. S = 36м2
Учитель. Мы исчерпали все возможности решить эту систему каким-либо другим способом.Решили систему восемью способами. Все они правомерны и прекрасны.Теперь подведем итоговое закрепление, для чего ответим на следующие вопросы.
Итоговое закрепление.
Учитель.
– Какие темы программы вы использовали при своих решениях?– Какие способы при решении системы двух уравнений с двумя неизвестными вы использовали впервые?– Какой из способов, использованных вами избрали бы вы на ЕГЭ, если бы получили подобное задание?– Разумеется, тот способ, который позволит вам, прежде всего, выполнить задание быстро и правильно.
Варианты ответов: способ подбора или способ сложения.
– Каковы ваши выводы?
Учитель. А теперь запишем домашнее задание: решить систему уравнений возможными способами и выделить наиболее рациональные решения:
Использованная литература: А.Г.Мордкович.