Конспект по математике на тему Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка. Правило Крамера (9 класс)
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка. Правило Крамера.
При исследовании систем двух линейных уравнений с двумя переменными удобно пользоваться геометрической интерпретацией.
Будем считать, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. В этом случае каждое уравнение системы является уравнением некоторой прямой на координатной плоскости.
Эти прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают. В первом случае система имеет одно решение, во втором не имеет решений, а в третьем система имеет бесконечное множество решений.
Простейшей системой линейных уравнений является следующая система
каждое из уравнений которой в прямоугольной системе координат определяет некоторую прямую.
Если система имеет единственное решение (x0;y0), то прямые пересекаются в данной точке. Если система имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают. Если система несовместна, то прямые параллельны.
Рассмотрим правило Крамера.
Пусть ∆,∆х,∆у - определители этой системы,
Тогда при ∆≠0 система имеет единственное решение х=∆х∆, у=∆у∆.При ∆=0 могут быть два случая:
Если хотя бы один из определителей ∆х или ∆у не равен нулю, то исходная система несовместна;
Если ∆х=∆у=0, то исходная система будет недоопределенной (имеет множество решений).
Пример 1. Решить систему уравнений а+1х+2у=2а+4,х+ау=3. (1)Решение. 1 способ. Воспользуемся геометрической интерпретацией системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Начнем со случая а = 0. При а=0 система, очевидно, имеет единственное решение.
Пусть теперь а≠0. Перепишем систему (1) в виде:
у=-0,5а+1х+а+2,у=-1ах+3а. (2)Угловой коэффициент прямой, задаваемой первым уравнением системы, равен
-0,5(а+1), а угловой коэффициент прямой, задаваемой вторым уравнением системы, равен-1а . Поэтому при-0,5а+1≠-1а,т.е. при а≠1 и а≠-2 эти прямые пересекаются, и, следовательно, система имеет единственное решение. Найдем это решение.
Приравняем правые части уравнений системы (2), получаем:
-0,5а+1х+а+2=-1ах+3а, откуда после упрощений находим:
х=2а+3а+2 а≠1;а≠-2. Подставляем найденное значение х в любое из уравнений системы (2),получаем, что у=1а+2.
При а = - 2 прямые параллельны и не имеют общих точек. Подставляем а = - 2 в исходную систему, получаем систему х-2у=0,х-2у=3, не имеющую решений.
При а = 1 прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений. Подставив а=1, получим систему х+у=3,х+у=3, равносильную одному уравнению х+у = 3, все решения которого имеют вид (t; 3-t), где t∈R.Ответ. При а≠1, а≠-2 система имеет единственное решение: х= 2а+3а+2; у=1а+2; при а = - 2 система решений не имеет; при а = 1 система имеет бесконечно много решений (t; 3-t), где t∈R.2 способ. Исследование этой системы можно провести и без использования геометрической интерпретации. Систему линейных уравнений можно решить методом алгебраического сложения. Рассмотрим этот способ на том же примере.
Умножим второе уравнение системы на (- 1) и прибавим к первому уравнению, умноженному на а2, получим: а2+а-2х=2а2+2а-3, или
а+2а-1х=2а+3а-1. (3)
Если а≠-2, а≠1, то уравнение (3) имеет одно решение: х=2а+3а+2. Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, находим: у=1а+2. При а = - 2 система х-2у=0,х-2у=3, несовместна, при а = 1 система х+у=3,х+у=3,имеет бесконечно много решений, и у нас получился такой же результат, что и в первом случае.
3 способ. Это же задание можно решить и, используя правило Крамера.
Найдем определители ∆, ∆х, ∆у:∆=а+121а=а2+а-2;∆х=2а+423а=2а2+4а-6;∆у=а+12а+413=а-1.1). Система имеет единственное решение, если ∆≠0, т.е. а2+а-2≠0, а≠-2, а≠1.х=2а2+а-6а2+а-2, х=2а+3а+2.у= а-1а2+а-2, у=1а+2.2). Система имеет множество решений, если∆=0;∆х=0;∆у=0. а=-2 или а=1;а=-3 или а=1;а=1. а=1.Система при а=1 имеет вид 2х+2у=6;х+у=3. у=3-х. Следовательно, решение имеет вид t:3-t,t∈R.3). Система не имеет решений, если∆=0;∆х≠0 или ∆у≠0. а=-2.Система х-2у=0,х-2у=3явно не имеет решений.