Презентация по алгебре на тему: Различные виды решения квадратных уравнений.

Различные способы решения квадратных уравнений Час науки . Урок с элементами обобщения и исследования в 8 (матем.) классе Учитель математики СОШ№5 г.Симферополя Проценко Ирина Александровна Цель урока: формирование представления о возможности решения квадратных уравнений различными способами. Проблема: 1. Изменится ли способ решения квадратного уравнения в зависимости от его вида? 2.Можно ли одно и тоже уравнение решить не единственным способом? Ход урока 1.Орг.момент.Математическая зарядка. 2.Повторение и обобщение изученного материала. 3.Лекция(сообщения учащихся о рассмотренном способе решения с примером применения данного способа). 4.Дом.задание 5.Итог урока , выводы Математическая зарядка Верный ответ - руки вверх , неверный - руки вперед (наклоны вправо – влево и т.д.)Предлагаются задания для устного счета с ответом(верным или неверным).Ученики, обдумывая , «сигналят» об ответе . 2.Повторение и обобщение изученного материала. 1)Универсальная формула. ах2 + bx + c=0 D = b2 - 4acD>0 D=0 D<0X1,2 = X = Действ. корней нет Пример: 6x2 + x – 2 = 0D = b2 - 4ac = 12 - 4∙6∙(-2) = 1 + 48 = 49,D>0, два корня. 2) Формула для четного коэффициента b. ах2 + bx + c = 0 b = 2m D1 = m2 - ac D1>0 D1 = 0 D1<0 Действительных корней нет Пример: 3x2 – 4x + 1 = 0D1 = m2 – ac = (-2)2 – 3∙1 = 4 – 3 = 1,D>0, два корня. 3) Приведенное квадратное уравнение(Старший коэффициент равен единице). х2 + px+ q= 0 D>0 D=0 D<0Действительных корней нет ( )2 - q Пример:x2 – 14x – 15 = 0x1 = 15, x2 = -1 4) Теорема Виета. Чтобы числа x1 и x2 являлись корнями уравнения: axІ + bx + c = 0необходимо и достаточно выполнения равенстваx1 + x2 = -b/a и x1x2 = c/aТеорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения, а именно: xІ + bx + c = 0Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.Если b<0, c>0 то оба корня положительны.Если b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.Если b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.  5)Теорема, обратная теореме Виета. Если числа p, q, x1, x2 таковы, что х1 + х2= -p, x1 ∙ x2 = q , то х1 и х2 – корни уравнения x2 + px + q = 0 . Пример: x2 - 7x + 12 = 0 x1 + x2 = 7 x1 = 3, x1 ∙ x2 = 12 x2 = 4 6) Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.  Решение: Разложим левую часть уравнения на множители:х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).Следовательно, уравнение можно переписать так:  (х + 12)(х – 2) = 0.Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 =0. 7) Метод выделения полного квадрата● Пример  Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0 Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде: х2 + 6х = х2 + 2· х ·3. В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 . Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16. Следовательно, х = 3 = 4, х1 = 1, или х +3 = - 4 , х2 = – 7.  8). Графическое решение квадратного уравнения Если в уравнении x2 + px + q = 0перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x2 = – px – q .Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px – q .График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.График второй зависимости – прямая. Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней. Пример:.Решим графически уравнение х2 – 3х – 4 = 0.   Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) иN (3;13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и х2 = 4. Новые способы решений квадратных уравнений9) Решение уравнений способом «переброски» Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2 х2 + а bх + ас = 0.Пусть ах = у, откуда х =y/a ; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1 /a и х2 = у2 /a . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Пример : Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11y +30 = 0.Согласно теореме Виета 10). Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратногоуравнения ах2 + bх + с = 0с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравненияах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;1) и С (0; ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС, откуда  ОС = (ОВ∙ОD) : ОА=( х1 ∙ х2 ):1= с/а  . Пример: Решение квадратного уравнения ax2+bx+c=0 в зависимости от соотношения между коэффициентами a,b,c. 1) Если a+ b+ c = 0, то x1 = 1, x2 = c/a . Пример: 2x2 + 3x – 5 =0 2+3-5=0, значит x1 = 1; x2 = -5/2 2) Если a – b – c = 0, то x1 = -1; x2 = -c/a.  Пример: 2x2 + 3x - 1=0 2-3+1=0, значит x1 = -1; x2 = 1/2 3) Если a = c = n, b = n2 + 1, т. е. nx2 + (n2+1)x +n=0, то x1 = -n; x2 = -1/n Пример: 2x2 + 5x + 2=0 5=22+1, n=2 x1 = -2; x2 = -1/2  4) Если a = c = n, b = -(n2+1), т. е. nx2 – (n2+1)x+n=0, то x1 = n; x2 = 1/n Пример: 3x2 – 10x + 3=0 3х2-(32+1)х+3=0 x1 = 3; x2 = 1/3 5) Если ax2 + (a2-1)x – a = 0, то х= -а; x = 1/a  Пример: 5x2 + (52-1)x – 5 = 0 х=-5, x = 1/5 6) Если ax2 – (a2-1)x – a = 0, то х=а , x = -1/a  Пример: 5x2 – (52-1)x – 5 = 0 х=5, x = -1/5 Дом.задание: Используя 1-6 способы решения кв.уравнений в зависимости от соотношений между коэффициентами ,составить уравнения и решить их. Вывод: все рассмотренные способы решения квадратных уравнений могут быть использованы при решении квадратных уравнений . Спасибо за урок! Успехов всем!