Индивидуальные задания по устранению ошибок

Индивидуальные задания
по устранению ошибок
Положительный эффект индивидуальных заданий несомненен. В них можно учесть особенности каждого ученика, дать сильному трудную задачу, а слабому – простое «алгоритмическое» упражнение. Особенно полезно предлагать индивидуальные домашние задания. Просматривать их лучше всего вместе с теми учащимися, которые их выполняли. По ходу проверки можно задать различные вопросы, вовлекая учеников в беседу.
Одна из главных методических нагрузок индивидуальных домашних заданий состоит в профилактике возможных ошибок и в преодолении уже допущенных. Для того, чтобы индивидуальное задание имело точное «попадание в ошибку», учителю нужно вести учет ошибок. По каждой теме целесообразно фиксировать основные затруднения учащихся и отражать в мониторинге ошибок.
Мониторинг ошибок обычно пополняется во время проверки контрольных работ. Но полезно также иметь такой список заранее, поскольку в своем большинстве ошибки не оригинальны. По каждой теме они повторяются из года в год. Молодому учителю будет полезно ознакомиться с ошибками, которые учащиеся допускают в самом начале изучения курса алгебры. В этой заметке мы не только перечислим типичные ошибки, но и укажем некоторые приемы их устранения, которые можно реализовать в индивидуальных заданиях.
В тождественных преобразованиях целых выражений наиболее распространены следующие ошибки:Учащиеся складывают коэффициенты, а переменные перемножают, например: 9a+3a=12a2
Складывают отдельно коэффициенты и отдельно – буквенные выражения, например: 8z+5z=13+2z
Вычитают коэффициенты, а про буквенные выражения «забывают», например: 5x-4x=1
Такого типа ошибки связаны с непониманием распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания.
При сложении (вычитании) степеней учащиеся часто складывают (вычитают) и коэффициенты и показатели степеней. Аналогичная ошибка наблюдается и при умножении (деления) степеней. Например: 3а2+5а2=8а2 , а4-а2=а2 , х3*х2=х6 ,m6:m2=m3
Для устранения всех этих ошибок мы практикуем задания, в которых от учащихся требуются доказательства истинности или ложности выводов, которые сделали сами учащиеся. Вот некоторые из таких заданий.
Докажите, что в равенствах bm+bn=bm+n, 2a3*3a=18a2, 3x+5x+2x=10+3x допущены ошибки. Найдите эти ошибки.
Сравните значения выражений 3а2+5а2, 8а4, 8а2 при а=1/2, а=2. Объясните, между какими двумя из данных выражений можно поставить знак «=» и почему.
Даны равенства 2а+?=8а, ?*3а2=6а7. Вместо вопросов такие числа или выражения, чтобы равенства были верными. Перечислите свойства чисел, которыми вы при этом пользуетесь.
Среди выражений 17+2х, 7х+10х, 20х-3х, 17х найдите такие, которые принимают равные значения при любых значениях х.
Рассмотрим теперь ошибки, допускаемые при разложении многочленов на множители.
Вынося за скобки общий множитель, совпадающий с одним из членов многочлена, учащиеся забывают поставить 1 на место этого члена. Так появляются записи вида:
4а4b2+36a2b3+4a2b2=4a2b2 (a2+9b)
Если общий множитель – многочлен, то учащиеся часто записывают его дважды. Например:
m2 (m+a) – b (m+a)= (m+a)(m+a)(m2-b)
Если общий множитель – разность, то учащиеся могут не учесть, с какими знаками входят в исходной выражение компоненты этой разности. Такая ошибка допущена в преобразовании:
x4 –x 3y –y 3+xy2=x3(x –y ) – y2(y –x )=(x –y )(x3 –y 2)
Для преодоления таких ошибок мы используем следующие индивидуальные задания.
Дан одночлен 18х4у6. Представь его в виде произведения двух одночленов так, чтобы у первого из них коэффициент был 3, а у второго – множитель у3. Сколько таких произведений можно составить?
Даны одночлены 5х2у3, 25х3у4, 15х4у5. Укажите несколько их общих множителей.
Даны равенства:
b2 (x+a) – b3(…) =b2(x+a)(1 – b)
m5(1 – n) – m3(n – 1)=m3(…)(m2+1)
Вместо многоточий поставьте такие выражения, чтобы равенства получились верными.
Выполните умножение: а) 2ах2(3у+1).
Вынесите за скобки общий множитель: б) 6ах2у+2ах2
Можно ли поставить знак «=» между выражениями а) и б)?
При умножении многочленов часто встречаются такие ошибки:
(а+b)(a+b)=a2+b2, (2a+3b)(4c+5a)=8ac+15ab, (3ab+1)(3ab – 1)=9a2b2+3ab
Многие ошибки являются следствием торопливости учителя. Не отработав у учащихся должным образом навыков умножения многочленов, учитель переходит к формулам сокращенного умножения. В торопливости учителя отчасти виновата и слишком насыщенная программа. Сильным учащимся быстрый темп не вредит, а для слабых его можно несколько замедлить, воспользовавшись индивидуальными заданиями. В них целесообразно включать наборы однотипных упражнений на умножение двучленов, двучлена на трехчлен и т.д. Очень полезны задания, в которых требуется возвести двучлен в квадрат или в куб непосредственно, пользуясь определением степени и определением умножения многочленов.
В преобразованиях алгебраических дробей наиболее распространены ошибки, аналогичные тем, которые возникают в действиях с обыкновенными дробями.
При сложении дробей складывают числители и знаменатели:
a+ba+c-db = a+b+c-da+bСкладывают дроби, забывают умножить их числители на дополнительные множители:
m-nm + m+nn = m-n+(m+n)mnЦелое выражение прибавляют к числителю без привидения к общему знаменателю:
c+ab = c+abИзменяют знак лишь у первого члена вычитаемого многочлена, забывая изменить его у последующих членов:
a+b+ca-b - a-b+ca-b = a+b+c-a-b+ca-bУчащимся, допускающим такие ошибки, можно предложить индивидуальные задания на числовом материале. В заданиях, что приведены ниже, фактически предлагаются контрпримеры. Учащиеся поставлены перед необходимостью обсуждать эти контрпримеры и объяснять причину ошибки.
Найдите ошибку в «сложении» трех дробей:
12 + 13 + 14 = 39 = 13Заметьте, что сумма трех положительных чисел оказалась равна второму слагаемому. Выполните сложение правильно и придумайте аналогичное упражнение с алгебраическими дробями.
Объясните, верны ли результаты двух «вычитаний»:
3a - 3b = 3-3ab = 0 б) 79 - 710 = 7-790 = 0
Может ли выражение 3a - 3b принимать нулевое значение, если а≠b? Не выполняя вычитания в случае б), укажите , каким числом должна быть разность: положительным или отрицательным?
Выполните верно оба вычитания.
В «сложении» 2+37= 2+37 сумма целого числа и дроби оказалась меньше первого слагаемого. Может ли это случиться с положительными слагаемыми? Выполните сложение верное. Укажите аналогичное задание с буквами вместо чисел.