Логические выражения и операции

Логические выражения и операции Основные понятия Алгебра логики – это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Основные понятия Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Её символическое обозначение – латинская буква (A,B,X,Y и т.д.). Значением логической переменой могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0). Основные понятия Логическая функция – составное высказывание, которое содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Её символическое обозначение - F(A,B,…).На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания. Основные понятия Логические операции – логические действия.Логические операции:КонъюнкцияДизъюнкцияИнверсияИмпликацияЭквивалентность Конъюнкция (от лат. conjunctio - связываю) Название Логическое умножение обозначение A&B или A^B Союз в естественном языке А и В Пример: А – «число 10 - чётное»; В – «число 10 - отрицательное» «Число 10 чётное и отрицательное» - ЛОЖЬ Таблица истинности – таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний А В A&B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Вывод: результат будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны Дизъюнкция (от лат. disjunctio - различаю) Название Логическое сложение обозначение AB Союз в естественном языке А или В Пример: А – «число 10 - чётное»; В – «число 10 - отрицательное» «Число 10 чётное или отрицательное» - ИСТИНА Таблица истинности – таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний А В AB 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Вывод: результат будет ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны Инверсия (от лат. inversio - переворачиваю) Название отрицание обозначение А или А Союз в естественном языке Не А Пример: А – «число 10 - чётное»; В – «число 10 - отрицательное» «Неверно, что число 10 чётное» - ЛОЖЬ. «Неверно, что число 10 отрицательное» - ИСТИНА Таблица истинности – таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний А  A 0 1 1 0 Вывод: результат будет ложным, если исходное выражение истинно, и наоборот Импликация (от лат. implicatio – тесно связывать) Название Логическое следование обозначение AB, А – условие, В - следствие Союз в естественном языке Если А, то В; когда А, тогда В; коль скоро А, то и В и т.п. Пример: А – «число 10 - чётное»; В – «число 10 - отрицательное» «Если число 10 чётное, то оно является отрицательным» - ЛОЖЬ Таблица истинности – таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний А В A  B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Вывод: результат будет ложным тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие Эквивалентность (от лат. еquivalens - равноценное) Название Логическое равенство обозначение AB или AB Союз в естественном языке А тогда и только тогда, когда В Пример: А – «число 10 - чётное»; В – «число 10 - отрицательное» «Число 10 – чётное тогда и только тогда, когда отрицательно» - ЛОЖЬ Таблица истинности – таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний А В A  B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Вывод: результат будет истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить. Значением логического выражения могут быть только истина или ложь. При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно:Действия в скобках.Инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Пример 1. Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдёт на рыбалку».Проанализируем составное высказывание. Оно состоит из следующих простых: «Петя поедет в деревню», «Будет хорошая погода», «Он пойдёт на рыбалку». Обозначим их через логические переменные:А= Петя поедет в деревню;В= Будет хорошая погода;С= Он пойдёт на рыбалку2. Запишем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий. Если необходимо расставим скобки:F=A&(B C). Пример 2. Есть два простых высказывания:А – «Число 10 - чётное»В – «Волк – травоядное животное».Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность. Вопросы для повторения Что такое логическая переменная и логическая функция?Какие логические операции Вам известны?Когда принимают истинные значения конъюнкция, дизъюнкция, инверсия, импликация и эквивалентность?