Конспект урока в 9 классе Решение рациональных уравнений в ходе подготовки к ОГЭ

Конспект урока математики в 9 классе
Тема урока: Решение рациональных уравнений в ходе подготовки к ОГЭ.
Цели урока:
Образовательные • Обобщение и систематизация знаний учащихся;
• Формирование практических умений и навыков по осознанному применению полученных знаний.
Развивающие • Развитие математической речи; • Развитие познавательной активности, умения анализировать и делать выводы;
• Развивать логическое мышление, сообразительность;
Воспитательные: • Воспитание культуры слушать своего одноклассника;
•Формирование аккуратности и внимания в письменной математической речи.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, тесты.

Ход урока:
Организационный момент (1 мин)
Сообщение темы и целей урока.
Слайд 1. Эпиграф урока "Ничего не делается само собой, без усилий и воли, без труда". А.И. Герцен

Систематизация знаний. (Фронтальный опрос, решение тестов)
Ребята, предлагаю вам перечень уравнений (Слайд 2) : QUOTE = QUOTE + 4x-3 QUOTE QUOTE
2. 3х2 – 5х + 2 = 0 QUOTE
3. 0,7∙(2х-5) = 17 – 2∙ (0,3 + 7,25)
9х2 – 1 = 0
5. х2 + 7х + 12 = 0
6. 2х - 3 ∙ (х + 5) = -12
7. QUOTE х2 + 4х – 5 = 0
8. QUOTE х2 – 5х = 0
9. 7х2 + 13х + 6 = 0
10. QUOTE х4 – 26 х2 + 25 = 0
11. 3х2 + 8х + 5 = 0
Все эти уравнения рациональные.
Какие уравнения называются рациональными ?
( уравнения, левая и правая часть которых явл. рациональными выражениями, называются рациональными.)
Мы рассмотрели три вида рациональных уравнений: линейные, квадратные и дробно-рациональные.
1. Линейные уравнения.
Какие из приведенных уравнений являются линейными ? (3 и 6)
Вспомним алгоритм решения линейного уравнения.
Слайд 3. Алгоритм решения линейного уравнения.
Алгоритм решения линейного уравнения 2х – 3(х + 5)=-12
1.Раскрыть скобки.
2. Перенести слагаемые с неизвестными в левую часть уравнения, а известные слагаемые в правую часть уравнения. Переносят слагаемые из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
3.Привести подобные слагаемые.
4.Найти неизвестный множитель.
5. Записать ответ. 2х – 3х – 15 = -12

2х – 3х = -12 + 15
-х = 3
х = 3 : (- 1)
х = -3
Ответ: -3
Решите уравнение №3 (на доске) b карточки на решение линейных уравнений
QUOTE = 17 – 2∙(0,3 + 7,25) 1) 5х – 3 =4х – (2х + 1) Ответ: 2/3
1,4х - 3,5 = 17 - 0,6х - 14,5 2) 9х + 2 = 3∙(7 – 2х) – 4 Ответ: 1
1,4х + 0,6х = 17 – 14,5 + 3,5 3) 3х – 1 = 5∙(х – 2) – х Ответ: 3
2 х = 6
х=6 : 2
х=3 Ответ: 3
Найдем корни уравнения №6 (устно)
2.Квадратные уравнения.
1. Какие из предложенных уравнений являются квадратными ?
2.Общий вид квадратного уравнения. ах2 + вх + с = 0
3.Назовите полные квадратные уравнения.
4. Назовите коэффициенты в уравнении №11.
5.Какие квадратные уравнения называются приведенными ? (а = 1)
Назовите эти уравнения. (5, 7, 10)
6. От чего зависит количество корней квадратного уравнения. (от D = b²- 4ac)
Слайд 4. Алгоритм решения квадратного уравнения.
ax²+bx+c = 0
Вычислить дискриминант D = b²- 4ac.
Сравнить D с нулем: если D>0, то уравнение имеет два корня
x1 = QUOTE и x2 = QUOTE .
если D=0, то уравнение имеет единственный корень х = QUOTE
если D<0, то уравнение не имеет корней.
Применяя алгоритм решения квадратного уравнения по вариантам выполнить тесты
№9 и №2.
к доске вызвать 2 учеников для контроля, решают молча и самостоятельно.
А) № 9 Найдите сумму корней уравнения 7х2 + 13х + 6 = 0.
D = b²- 4ac = 132 - 4∙7∙6 = 169 – 168 = 1, D>0, 2к., QUOTE = 1
x1 = QUOTE = QUOTE = QUOTE x2 = QUOTE = QUOTE =-1
x1 + x2 = - 1 QUOTE Ответ: - 1 QUOTE
Проверить № 9,
Каким свойством обладают коэффициенты этого уравнения?
b = a + c, x1 = -1, x2 = -c/a.
Какое еще уравнение обладает этим свойством? ( № 11)
Слайд 5. Если b = a + c , то уравнение ax² + bx + c = 0 имеет корни x1 = -1, x2 = -c/a. QUOTE
Используя свойство коэффициентов квадратного уравнения,
найдите наибольший корень уравнения № 11
3х2 + 8х + 5 = 0
устно по компьютеру рассказать решение.

b = a + c, 8 = 3 + 5 значит x1 = -1, x2 = QUOTE = QUOTE = - 1 QUOTE x1 ∙ x2 = -1 ∙ (- 1 QUOTE ) = 1 QUOTE
б) № 2. Найдите наибольший корень уравнения 3х2 – 5х + 2 = 0.
D = b²- 4ac = (-5)2 - 4∙3∙2 = 25 – 24 = 1, D>0, 2к., QUOTE = 1
x1 = QUOTE = QUOTE = QUOTE = 1 x2 = QUOTE = QUOTE = QUOTE = QUOTE QUOTE
Ответ: 1
Проверить № 2, Обратите внимание на коэффициенты этого квадратного уравнения.
a + b + c = 0, x1 = 1, x2 = c/a.
Какое еще уравнение обладает этим свойством? ( № 7)
Слайд 6. Если a +b + c = 0, то уравнение ax² + bx + c = 0 имеет корни x1 = 1, x2 = c/a
Используя свойство коэффициентов квадратного уравнения,
Найдите наименьший корень уравнения QUOTE х2 + 4х – 5 = 0
устно по компьютеру рассказать решение. a +b + c = 0, 1 + 4 – 5 = 0 значит x1 = 1, x2 = QUOTE = QUOTE = -5 Ответ: -5

в) Большой вклад в науку внес французский математик Франсуа Виет.
Сформулируйте теорему Виета: (Если приведенное квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.)
x2 + рх + q = 0 x1+ x2 = -p x1∙ x2 =q
При решении квадратных уравнений применяется теорема, обратная теореме Виета.
Слайд 7.
Тест №5 Найдите наибольший корень уравнения х2 + 7х + 12 = 0.
По теореме, обратная теореме Виета, x1+ x2 = -p= -7 и x1∙ x2 =q = 12.
Подбором найдем, что x1 = -4 x2 =- 3. Ответ: -3.
QUOTE
г) Назовите неполные квадратные уравнения. (№4 и №8)
Почему они так называются ? (b=о или c=0) №4 и №8 на доске самостоятельно 2 ученика.
№4 Найдите сумму корней уравнения 9х2 – 1 = 0.
Решение: 9х2 – 1 = 0, 9х2 = 1, х2 = 1/9, x1 = QUOTE x2 = - QUOTE , их сумма равна 0. Ответ: 0
Слайд 8 Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b = 0, то уравнение ax² + c = 0 имеет корни противоположные корни x=± QUOTE (-c/a>0 QUOTE ).
Определите при каком значении параметра n корни уравнения 2х2 – ( 5n -2)х – 1 =0 равны по модулю ? (отвечает устно) Решение: Корни уравнения 2х2 – ( 5n -2) – 1 = 0 равны по модулю, если b = 0.
5n -2 = 0, n = 0,4 Ответ: Корни уравнения 2х2 – ( 5n -2) – 1 = 0 равны по модулю при n = 0,4.
№8 Найдите произведение корней уравнения QUOTE х2 – 5х = 0 .
Решение: QUOTE х2 – 5х =0 , х∙( х - 5) = 0, х = 0 и х = 5. 0 ∙ 5 = 0 Ответ: 0
Слайд 9. Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент с = 0, то уравнение ax² + bx = 0 имеет 2 корня x1 = 0 и x2 = - QUOTE .
Определите при каком значении параметра n один из корней уравнения х2 + 8х + n2 – 6n + 5 = 0 равен нулю ?
(отвечает устно)
Решение: один из корней уравнения х2 + 8х + n2 – 6n + 5 = 0 равен нулю, когда с = 0
n2 – 6n + 5 = 0, a +b + c = 0, 1 + (-6) + 5 = 0, значит n = 1 и n = - QUOTE = 5.
Ответ: Один из корней уравнения х2 + 8х + n2 – 6n + 5 = 0 равен нулю при n = 1 и n = 5.
д) Как называется уравнение №10 ? (биквадратное).
№ 10. Найдите наибольший корень уравнения QUOTE х4 – 26 х2 + 25 = 0.
Решает у доски, отдельные учащиеся получают карточку
Ученик у доски объясняет решение уравнения QUOTE х4 – 26 х2 + 25 = 0.
х2=t, t2 – 26t + 25 =0
D =b²-4ac=(-5)2 -4∙3∙2=25–24=1, D>0,2к.,
t1 =1, t2 =25
1) х2=1 x = ±1 2) х2=25 x = ±5 Ответ:5.
Решить уравнение самостоятельно:
1) QUOTE х4 – 7 х2 – 18=0 Ответ: -3;3
2) QUOTE х4 + 3 х2 - 4 = 0 Ответ: √7; -√7.
3) QUOTE х4 – 7 х2 - 18 = 0 Ответ: -1; 1.
4) QUOTE х4 - 14 х2 + 24 = 0 Ответ: √2; -√2,√12;-√12

Выполните тест №2. (3мин)
3.Дробно-рациональные уравнения
Среди предложенных уравнений мы не коснулись только № 1.
Как оно называется ? (дробно-рациональное)
Вспомним алгоритм его решения.
Слайд 10. Алгоритм решения дробно-рационального уравнения.
1.Привести уравнение к виду QUOTE =0.
2.Найти О.Д.З., исключив значения х, при которых знаменатель дроби равен нулю.3. Решить уравнение Р(х) = 0.
4.Определить корни уравнения, удовлетворяющие О.Д.З., записать ответ.
№1. Решаем на доске 18/(х2-9) = х/(х+3) + 4/(х-3)
18/(х2-9) - х/(х+3) - 4/(х-3) = 0
О.Д.З. (х+3)(х-3)≠0, х≠ -3, х≠3
18 – х(х-3) – 4(х+3) =0
-х2 –х + 6 =0
х2 + х- 6 =0 по т. Виета x1+ x2 = -p= -1 и x1∙ x2 =q = -6,
Подбором найдем, что x1 = 2 x2 =- 3 (не удовл) Ответ: 2.
С помощью дробно-рациональных уравнений решают задачи.
Слайд 10. (Устно) Катер, собственная скорость которого 18 км/ч прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения за 3 часа. Найдите скорость течения реки.
Пусть скорость течения реки равна х км/ч.
Выберите уравнение для решения задачи 1) 50(х-3) - 8(Х+3) =18
2) QUOTE 50/(18+х) +8/(18-х) =3
3) QUOTE QUOTE 50/(х+18) +8/(х-18 QUOTE )=3
3.Тест
Вариант 1 Вариант 2
1.Решите уравнение 3х+16=120-х Ответ:________
1.Решите уравнение 4-х=3х+96
Ответ:________
2.Соотнесите каждое квадратное уравнение А)х2-9=0 Б)2х -х2=0 В) х2-3х-4=0 и его корни
1)0 и 2 2)-3 и3 3)-1 и 4 4) -4 и 1
А Б В
2.Соотнесите каждое квадратное уравнение А)х2-4=0 Б)2х +х2=0 В) х2+9=0 и его корни
1)0 и -2 2)-2 и 2 3)-3 и 3 4) нет корней
А Б В
3. Катер, собственная скорость которого 15 км/ч прошел 40 км по течению реки и 18 км против течения за 4 часа. Найдите скорость течения реки.
Пусть скорость течения реки равна х км/ч.
15(х-4) - 18(х+4) =40
QUOTE + QUOTE = 4
3) QUOTE + QUOTE = 4

3. Катер, собственная скорость которого 20 км/ч прошел 18 км по течению реки и 20 км против течения за 2 часа. Найдите скорость течения реки.
Пусть скорость течения реки равна х км/ч.
20(20+х) - 18(20-х) =2
QUOTE + QUOTE = 2
QUOTE + QUOTE = 2

4. Домашнее задание. № 272, № 285.
5. Подведение итогов урока. Рефлексия.
Объявить оценки за урок. Выслушать мнения учащихся о прошедшем уроке.
Слайд 11.
Продолжите предложения
“Сегодня на уроке
Я повторил … Мне понравилось… Я затруднялся… У меня получилось… Я могу… Я попробую… Меня удивило…
Используемая литература
1.Учебник «Алгебра 9 класс», Никольский С.М.
2.Учебник «Алгебра 8 класс», Никольский С.М.
3.ГИА9. Типовые тестовые задания, Ященко И.В.
4.ГИА. Математика, практикум. Лаппо Л.Д.
5.ГИА.Математика ( тренировочные тесты), Гришина И.В.