Урок математики в 10 классе по теме:Синус, косинус, тангенс и котангенс.

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе (физико-математический профиль).
Тема урока: Синус и косинус. Тангенс и котангенс.
Цели:
Совершенствовать умения работать с числовой окружностью. Ввести новые понятия.
Развивать умение анализировать, умение общаться.
Воспитывать внимательность, любознательность.
Ход урока.
I Организационный момент.II Повторение
На доске построены 2 макета числовой окружности, где R=1.М6у
М3
М2Д
С
В
А
М2М3
М4М1х у
1.
Д
С
В
А
М4М5
М4М1х2.

Вопросы классу:
Какова длина окружности?
Назовите точку, которой соответствует число t=0? (точка А)
Каков смысл числа t, соответствующего какой-то точке M единочной окружности? (длина дуги АМ)
Назовите число t, соответствующее каждой выделенной точке на макете ., на макете2.
Вывод: M (t) = M (t+2πk), k Є Z
Назовите декартовые координаты всех отмеченных точек на
Макет 1Макет 2
(1 ученик(2-ой ученикзаписывает)записывает)Вывод: Для точек М1, М2, М3, М4 1-го макета получили числа и -; для 2 макета: ±; ±.
Покажите на предложенной модели точку М (1), между какими точками она находится?
1


у
у
Д
С
В
А
хД
С
В
А
хДля этого ответьте на вопрос: Какой смысл мы вкладываем в число 1?
(длина дуги АМ = 1)
(<1<)

III Основная часть.1) Из курса геометрии вам знакомы понятия: синус угла, косинус угла, тангенс угла и котангенс угла треугольника.
В технической практике встречается много периодических процессов на основе простейших механизмов, где круговое движение преобразуется в прямолинейное, работают многие машины и станки.Так пусть колесо К насажено на ось О и соединено посредством пальца М с рамкой N (рисунок )При вращении колеса вокруг его оси палец М совершает круговое движение, увлекая за собой рамку; последняя скользит вдоль направляющих ее станин F и совершает колебательное периодическое движение.
Если рамку N соединить посредством штока Е с какой-нибудь деталью (например, с поршнем насоса), то последняя будет совершать такое же движение, которое совершает рамка, то есть прямолинейное [Андронов и к]

Задача. Пусть колесо вращается равномерно против часовой стрелки, делая за 40 секунд полный оборот. Тогда угловая скорость вращения = рад/с, следовательно, палец М опишет за t секунд дугу ∙ t рад. Найти расстояние ОQ пройденное штоком за 5 секунд.
Решение. В каждый момент времени расстояние от рамки до оси абсцисс будет равно расстоянию пальца М от этой оси, то есть ординате точки М. Вспомнив, каким образом связана с осями координат числовая окружность, можно считать, что точка М движется по окружности, описывая ее в течение 20 секунд. Задача сводится к нахождению катета МР прямоугольного треугольника ОРМ. Находим МОР = , тогда МР = sin = . При движении колеса меняется положение точки М(), а вместе с ней изменяется и ее ордината у = ОQ = МР = sin(). Переменная величина у зависит от переменной , а именно: каждому значению величины соответствует определенное значение величины у. Таким образом, функция sin() ставит в соответствие числу ординату М.
Сегодня мы будем говорить о синусе числа t, косинусе числа t, тангенсе числа t.
На единичной окружности возьмем точку М, которой соответствует число t.
М(t)
у
Д
С
В
А
х sin t
cos t

Знаем, что М(t) = M (x;y), тогда абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.
Примеры.
Используя макеты 1 и 2 найдите sin t и cos t, если
а) t=, найдем на макете 2 точку М().
у
М()
х
Решение:
Так как t=, а sin t = ум, то sin=,
cos t = хм, то cos =-
б) t =
М()
у
х
Знаем, что М ( ) = М ( + 2*5) = М (), найдем эту точку на макете 1.
Так как sin t = ум, то sin = - ,
cos t = хм, то cos = -.
Решение уравнений
а) sin t = -
Покажем на числовой окружности точку с ординатой у = - .
М2М1у
х
Это точки М1 и М2, они соответствуют числам - (точка М1) и - (точка М2)
Тогда решение уравнения
sin t = - имеет вид:
t = - + 2 k, t = - + 2 k, k Є Z.
Сравнение sin1 и sin2.

2
1


х
Знаем, что <1<,
Тогда 2 · < 2 < 2 · ,
< 2 < .
С помощью числовой окружности заметим, что
sin1 < sin, а
sin2 < sin, но
sin = sin = , тогда получим, что sin1 < sin2.
Знаем, что tgt = , cos t ≠0.
Тогда с помощью числовой единичной окружности это можно показать так:
tg t
tА
t+πМ1х у

Прямую,параллельную оси ординат и проходящую через т.А(1;0) назовем осью тангенсов.
Заметим, что tg t = tg (t+) = tg (t+n), n Є Z.
Видим, что невозможно найти tg t, если cost = 0, то есть при t = +n, n Є Z.
Вывод: говоря о tg t подразумеваем, что t ≠ + n, n Є Z.
Знаки tgt мы легко определяем, глядя на ось тангенсов.
Вопрос для д/з: Почему именно эту прямую мы приняли за ось тангенсов.
ctgt = , sint ≠ 0, то
с помощью числовой окружности это будет выглядеть так:
t+πtВ
ctg t
ху

Прямую, параллельную оси абсцисс, проходящую через точку В (0;1) назовем осью котангенсов. ( Почему? Подумайте дома).Тогда
ctg t = ctg (t+π) = ctg (t+ πn), n Є Z и t ≠ πk, k Є Z
Запишите домашнее задание:
§13 – прочитайте и запишите некоторые свойства sint и cost, изложенные в параграфе.
Выполнение
№ 13.5(б), 13.11, 13.23(а), 13.27(а,в), 13.33(а)
Оцениваем работу учащихся на данный момент.
Далее работаем самостоятельно или в парах.
№ 13.4(а,г), 13.15(а,б), 13.27(г), 13.28(а).
Проверяем в парах с записями на доске (скрыта информация).
Дополнительно (для тех, кто все выполнил верно) «13.36(а,в), 13.34(а).
Оцениваем работу учащихся, хорошо справившихся с заданием.