Фрагмент урока на тему Понятие синус, косинус, тангенс, котангенс угла а радиан.

Фрагмент урока на тему: «Понятие синус, косинус, тангенс, котангенс угла α радиан».
Таблица 3.
Фрагмент урока.
Деятельность учителя Записи на доске Деятельность учащихся
Из геометрии вам известны такие понятия как синус, косинус, тангенс и котангенс угла. Дайте определение этих понятий. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.
Верно. Нам с вами нужно выяснить, как определять эти понятия в тригонометрии. Для этого изобразим единичную окружность, на ней отметим точку A(x0,y0), соответствующую углу α радиан. Как нам определить, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла α радиан? Помогут ли нам при этом определения этих понятий известные из курса геометрии? Если мы рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник АОС, то sinα=ACOA. Так как это единичная окружность, значит, ее радиус равен единице, тогда sinα=AC1=AC=y0. То есть синусом угла α радиан называется ордината точки конца подвижного радиуса повернутого на угол α радиан. Из ∆ACO cosα=OCOA=OC=x0. То есть косинусом угла α радиан называется абсцисса точки конца подвижного радиуса повернутого на угол α радиан.

Продолжение табл.3.
Тогда тангенсом угла α радиан называется отношение ординаты к абсциссе точки конца подвижного радиуса повернутого на угол α радиан.
Котангенсом угла α радиан называется отношение абсциссы к ординате точки конца подвижного радиуса повернутого на угол α радиан.
Вы совершенно правы. В тригонометрии под sinα,cosα, tg α и ctg α мы будем понимать именно это: ординату, абсциссу, отношение ординаты к абсциссе, отношение абсциссы к ординате точки конца подвижного радиуса. Можно, это ведь числа. Если на единичной окружности отметь точку, соответствующую углу α, то у этой точки можно сравнить ординату и абсциссу, а значит, sinαиcosα .
А как вы думаете, можно ли в тригонометрии сравнивать sinα,cosα, tg α ctg α? Чем являются значения этих понятий? Так же можно сравнить синус и тангенс угла, то есть ординату точки, соответствующей углу, и отношение ординаты к абсциссе данной точки. Сравнивать можно и функции разных углов, для этого необходимо отметь на единичной окружности соответствующие углы, а затем сравнить необходимые числа (ординаты, абсциссы или отношение ординаты к абсциссе).
Продемонстрируйте свою идею на примере. Сравните sinπ2 и cosπ4, sin7π11 и sin8π9.
Сравним sinπ2 и cosπ4.На единичной окружности отметим точки, соответствующие углам π2 и π4. Так как sinα - это ордината точки, то sinπ2=1. И так как cosα - это абсцисса точки, то

Продолжение табл.3.
cosπ4=22, что известно нам из геометрии.
Для того, чтобы сказать что больше sinπ2 или cosπ4, нужно сравнить 1 и 22. 1>22, значит sinπ2 > cosπ4.
Теперь сравним sin7π11 и sin8π9.На единичной окружности отметим точки, соответствующие углам 7π11 и 8π9. Так как sinα - это ордината точки, то проведем из отмеченных на окружности точек проекции на ось OY.
Для того, чтобы сравнить sin7π11 и sin8π9, нужно сравнить y1 и y2, то есть проекции точек, соответствующих углам 7π11 и 8π9.
Так как по построению y1>y2, то sin7π11>sin8π9.
Верно. Значит, ваше предположение было верным, и сравнивать числа равные sinα,cosα, tg α и ctg α действительно можно и именно таким способом, который вы открыли. А какие значения будут иметь синус, косинус, тангенс и котангенс в четвертях единичной окружности? Так синус это ордината точки, значит, синус угла будет иметь положительные значения в первой и второй четвертях окружности, а в третье и четвертой - принимает отрицательные значения.

Продолжение табл.3.

Косинус угла – это абсцисса точки, соответствующей углу, значит, положительные значения косинус принимает в первой и четвертой четвертях окружности, а отрицательные значения – во второй и третьей четвертях. Так как тангенс угла – это отношение ординаты к абсциссе, а котангенс угла – это отношение абсциссы к ординате, то знаки у них буду совпадать.
А именно, в первой и третьей четвертях они тангенс и котангенс угла будут принимать положительные значения, так как в этих четвертях ордината и абсцисса имеют одинаковый знак. Отрицательные значения тангенс и котангенс угла будут приминать во второй и в четвертой четвертях окружности, так как в этих четвертях ордината и абсцисса имеют разные знаки.