Разработка урока-игры по геометрии в 8 классе Турнир силачей по теме Четырёхугольники

Открытый урок геометрии в 8 классе
Игра «Турнир силачей»
Тема: Решение задач по теме «Четырёхугольники»
Цель: Повторить теоретический материал по теме «Четырёхугольники», закрепить в процессе решения задач полученные знания, умения и навыки, подготовить учащихся к контрольной работе, совершенствовать навыки решения задач, развивать логическое мышление и воображение, воспитывать самостоятельность.
Оборудование: карточки с вопросами и задачами, таблица результатов, фишки.
Ход урока
Организационный момент. Сегодня на уроке мы проведём игру «Турнир силачей». Цель урока: повторить теоретический материал по теме «Четырёхугольники», закрепить в процессе решения задач полученные знания, умения и навыки, подготовиться к контрольной работе. Правила игры: сначала разминка, в ходе которой вы можете заработать некоторое количество баллов, отвечая на теоретические вопросы. Затем вам будут предложены задачи разной степени тяжести, вы выбираете задачу по своим силам, решаете её и получаете определённое количество баллов. В конце урока подводим итоги, считаем количество набранных каждым участником турнира баллов и определяем победителя.
6630118103761800608345491789200Разминка. У каждого участника турнира есть четырёхугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Предлагаются вопросы, отвечать на которые надо поднимая нужный четырёхугольник, а может и не один, а может никакой поднимать не надо.
2398395103505005497195425450049809404191000Противоположные стороны параллельны и равны. ( , , , )
6111226258169002945765508000Все стороны равны.( , )
6623050253365006085205142875006632575-444500Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180°( , ,
2776220203200
00
, )
21710653365500Все углы прямые. ( , )
57975501720850051625502921000062960251333500Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. ( ,
27762201822450064147701333500 , , )
2174240-571500Диагонали равны. ( , )
655383523114000603694510160000Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
( , )
Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник…
Решение задач.
1 уровень
В четырёхугольнике АВСD: АВ||СD, ВС||АD,
АС=20 см, ВD=10 см, АВ=13см. Диагонали АВСD пересекаются в точке О. Найдите периметр ∆СОD.
476885313055429260265430123888521780500276860208280001435102082800014351018923100 В С Дано: АВСD - четырёхугольник
10864852413004768852413000 О АВ||СD, ВС||АD, АС=20см,
118173510795А D ВD=10см, АВ=13см, АС∩ВD=О
Решение. Найти: Р∆СОD
Т.к. АВ||СD, ВС||АD, то АВСD – параллелограмм,
то СD=АВ=13см – по свойству параллелограмма
АО=ОС, ВО=ОD – по свойству параллелограмма, т.к. АС=20см, ВD=10см – по условию, то СО=10см, ОD=5см.
Р∆СОD=СО+ОD+CD=10+5+13=28(см)
Ответ: Р∆СОD=28см.
___________________________________________________________________
В трапеции АВСD ВС – меньшее основание. На
отрезке АD взята точка Е так, что ВЕ || СD, ےАВЕ = = 70°, ےВЕА = 50°. Найдите углы трапеции.
686435245110004768852451100 В С Дано: АВСD – трапеция, ВС || АD,
Е Є АD, ВЕ || СD, ےАВЕ=70°,
ےВЕА=50°.
Найти: ےА, ےАВС, ےС, ےD
А Е D Решение.
Рассмотрим ∆АВЕ: ےАВЕ=70°, ےВЕА=50°- по
условию, ےА=180°-( ےАВЕ+ ےВЕА)=60
Рассмотрим ВС||ЕD, ВЕ – секущая, ےВЕА=ےЕВС=50° - накрест лежащие.
Рассмотрим ےАЕВ+ےВЕD=180° - смежные, ےВЕD=180°-50°=130°
Рассмотрим ВСDE: ВС||ЕD, ВЕ||СD – по
условию, то ВСDЕ – параллелограмм, ےВЕD=ےС=130°, ےЕВС=ےD=50° – по свойству параллелограмма.
ےАВС=ےАВЕ+ےЕВС=120°.
Ответ: ےА=60°, ےАВС=120°, ےС=130°, ےD=50°
_____________________________________________________________________
Найти углы ромба, если его диагонали составляют
с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.
В Дано: АВСD – ромб: ےВАО=ےАВО+30°
8369302793944640527940 Найти: ےАВС, ےВСD, ےCDA, ےDAB
Решение. 1) Рассмотрим АВСD – ромб,
A C АС┴ВD – по свойству ромба. 446405128270
О 2) Рассмотрим ∆АВО: ےАОВ=90°,
ВАО=ےАВО+30°, ےВАО+ےАВО=90°-
D по свойству прямоугольного ∆
ےАВО=30°, ےВАО=60°.
Рассмотрим АВСD – ромб: ےАВО=ےОВС=
ے= СDO=ےODA, ےBAO=ےOAD=ےDOC=ےOCB – по свойству ромба, ےАВС=ےАDС=60°, ےВАD=ےBCD=120°.
Ответ: ےАВС=ےАDС=60°, ےВАD=ےBCD=120°.
___________________________________________________________________
4) В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются
в точке О. Е – середина стороны АВ, ےВАС = 50°. Найдите ےЕОD.
24828524765024828524765002482852476500 В С Дано: АВСD – прямо-
181610225425 О угольник, АС∩ВD=О,
2482851568450 Е АЕ=ЕВ, ےВАС = 50°.
1530351073150 Найти: ےЕОD.
А D Решение.
Рассмотрим ∆АВО: АО=ВО – по свойству
прямоугольника, АЕ=ЕВ – по условию, ےАЕО=90°, ےАЕО=ےЕОВ – по свойству равнобедренного ∆.
Рассмотрим ∆АЕО: ےЕАО+ےЕОА=90°- по свойству прямоугольного ∆, ےЕОА=40°.
ےВОА=2ےЕОА=80°, ےАОD+ےАОВ=180°- смежные, ےАОD=100°
ےЕОD=ےЕОА+ ےАОD=140°
Ответ: ےЕОD=140°.
_____________________________________________________________________
Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в
точке О. ےАВО = 36°. Найдите ےАОD.
181609194310181609194310181610194310В С Дано: АВСD – прямоугольник,
О АС∩ВD=О,
ےАВО = 36°.
А D Найти: ےАОD
Решение.
Рассмотрим АВСD – прямоугольник, АО=ВО – по свойству прямоугольника.
Рассмотрим ∆АВО: АО=ВО, ےАВО=ےВАО=36°- по свойству равнобедренного∆, ےАОВ=180°- (ےАВО+ےВАО)=108°
ےАОD+ ےАОВ=180°- смежные, ےАОD=72°
Ответ: ےАОD=72°
_____________________________________________________________________
Найдите углы прямоугольной
трапеции, если один из её углов равен 20°.
1084580247015265430247015265430247015 В С Дано: АВСD – трапеция, ВС||АD,
ےАDC=20°, ےВАD=90°
Найти: ےВ, ےС, ےD, ےА
436880155575265430155575265430288925 Решение.
А D Рассмотрим АВСD – трапеция,
ےАDC=20°, ےВАD=90°, ےВ=ےА=90°, ےС+ےD=180°, ےС=160°
Ответ: ےА=90°, ےВ=90°, ےD=20°, ےС=120°
_____________________________________________________________________
Стороны параллелограмма
относятся как 1 : 2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма.
67310259080 В С Дано: АВСD – параллелограмм,
РАВСD=30см, АВ : ВС = 1 : 2
Найти: АВ, ВС, СD, DA
А D Решение.
РАВСD=АВ+ВС+СD+DA, АВ:ВС=1:2, ВС=2АВ
АВ=СD, ВС=АD – по свойству параллелограмма
АВ+2АВ+АВ+2АВ=30, АВ=30:6=5 (см), ВС=10см
АВ=СD=5 см, ВС=АD=10 см
Ответ: АВ=5 см, СD=5 см, ВС=10 см, АD=10 см.
_____________________________________________________________________
В равнобедренной трапеции сумма углов при
большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции.
В С Дано: АВСD – трапеция, ВС||АD,
31496012065 АВ=СD, ےА+ےD=96°
15913101016031496010160 Найти: ےА, ےВ, ےС, ےD
А D Решение.
ےА=ےD, ےВ=ےС – по свойству равнобедренной трапеции, ےА+ےD=96° - по условию, ےА=ےD=48°, ےА+ےВ=ےС+ےD=180°-по свойству четырёхугольника, ےВ=ےС=180°-48°=132°.
Ответ: ےА=48°, ےD=48°, ےВ=132°, ےС=132°.
9) В параллелограмме КМNР проведена биссектриса
ےМКР, которая пересекает сторону МN в точке Е. Докажите, что ∆КМЕ равнобедренный.
3213101987550044513513462000427355213995002463802139950 К Р Дано: КМNР – параллелограмм,
ےМКЕ=ےЕКР, Е Є МN
Доказать: ∆КМЕ равнобедренный
М N Доказательство
Е 1) Рассмотрим КМNР – параллелограмм, МN||КР, МК||NР
2) Рассмотрим МN||КР, КЕ – секущая, ےМЕК=ےЕКР – накрест лежащие, ےМКЕ=ےЕКР – по условию, то ےМКЕ=ےЕКМ
3) Рассмотрим ∆КМЕ: ےМКЕ=ےЕКМ, т.е. ∆КМЕ равнобедренный – по признаку равнобедренного ∆.
_____________________________________________________________________
10) В четырёхугольнике АВСD ےА+ےВ=180°, АВ||СD
На сторонах ВС и АD отмечены точки М и К соответственно так, что ВМ=КD. Докажите, что точки М и К находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырёхугольника.
257810264795 В М С Дано: АВСD – четырёхугольник,
1286510-3811524510-381000257809-3810 АВ||СD,
ےА+ےВ=180°, М Є ВС,
О К Є АD, ВМ=КD
Доказать: ОМ=ОК
А K D Доказательство.
Рассмотрим ВС и АD, АВ – секущая,
ےА+ےВ=180° - односторонние, то ВС||АD
Рассмотрим АВСD: АВ||СD – по условию, ВС||АD,
то АВСD – параллелограмм
Рассмотрим ∆ВОМ и ∆КОD: ВМ=КD – по
условию, ВО=ОD – по свойству параллелограмма, ےМВО=ےКDО – накрест лежащие (ВС||АD, ВD – секущая). ∆ВОМ=∆КОD – по двум сторонам и углу.
Т.к. ∆ВОМ=∆КОD, то ОМ=ОК
_____________________________________________________________________
11) В равнобедренной трапеции диагональ составляет
с боковой стороной угол в 120°. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.
145584258969910274301911352392876483353822701549400061785528638500148399589535013315959912353067051200150045593028638502368562863850 В С Дано: АВСD – трапеция, ВС||АD,
1 АВ=СD=ВС, ےАВD=120°
2 Найти: ےА, ےАВС, ےС, ےАDC
3 Решение.
А D 1) Рассмотрим ∆ВСD: ВС=СD – по условию, то ے1=ے2.
2) Рассмотрим ВС||АD, ВD – секущая, ے1=ے3 – накрест лежащие
3) ے1=ے2=ے3. По свойству равнобедренной трапеции ےС=ےАВС=120°+ے1, ےС+ےСDА=180°, то 120°+ے1+2*ے1=180°, ے1=20°. По свойству равнобедренной трапеции ےА=ےСDА=40°, ےАВС=ےС=140°
Ответ: ےА=40°, ےСDА=40°, ےАВС=40°, ےС=140°.
_______________________________________________________________________________________________________________
2 уровень
В ромбе АВСD биссектриса ےВАС пересекает
сторону ВС и диагональ ВD соответственно в точках М и N. Найдите ےАNВ, если ےАМС=120°.
987363792480098736379248012141613391200138987629050100612141792480514985697230017208553530517208593535511722102495551720852495550 В Дано: АВСD – ромб,
М ےВАМ=ےМАС, АМ∩ВD=N
N ےАМС=120°
А С Найти: ےАNВ
О Решение.
Рассмотрим АВСD – ромб
D ےВАО=ےОАD=ےВСО=ےОСD,
ےАВО=ےОВС=ےСDO=ےODA – по свойству ромба, ےВАМ=ےМАС – по условию, то ےВСО=2*ےМАС
2) Рассмотрим ∆МАС: ےАМС=120° - по условию, ےМСА= 2*ےМАС, то ےАМС+ےМСА+ےМАС=180°, 120°+2*ےМАС+ےМАС=180°, ےМАС=20°, ےМСА=40°
3) Рассмотрим ∆АОВ: ےАОВ=90°- по свойству ромба ےВАО=40°, то ےАВО=50°
4) Рассмотрим ∆АВN: ےВАN=20°, ےАВN=50°, то ےАNВ=110°
Ответ: ےАNВ=110°
_______________________________________________________________________________________________________________
В прямоугольнике АВСD О – точка пересечения диагоналей, ВН и DЕ – высоты ∆АВО и ∆СОD соответственно, ےВОН=60°, АН=5см. Найдите ОЕ.
В С Дано: АВСD – прямоугольник
31305582550021132802463800313055825503130558255031305582550 Е
10346368863300199898053975002075180139700 60° О АС∩ВD=О, ВН┴АО,
75120510922091440099695 DЕ┴ОС, ےВОН=60°,
А Н D АН=5см
Найти: ОЕ
Решение
Рассмотрим ∆АВО: ےАОВ=60°, АО=ВО – по
свойству прямоугольника, ےВАО=ےАВО=60°, то АВ=АО=ОВ, т.к. АН┴АО, то АН=НО=5см по свойству равностороннего ∆.
Рассмотрим ∆ОВН и ∆ОЕD: ےВНО=ےОЕD=90°,
ВО=ОD – по свойству прямоугольника, ےВОН=ےЕОD – вертикальные, то ∆ОВН=∆ОЕD – по гипотенузе и острому углу, то ОЕ=ОН=5см.
Ответ: ОЕ=5см.
___________________________________________________________________
На сторонах РК и МН параллелограмма МРКН
взяты точки А и В соответственно, МР=РВ=АК, ےМРВ=60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки ВМ и АН.
20002577152562928572390039130734577300167703519050012865102762252578102762250448310276225 Р А К Дано: МРКН – параллелограмм,
А Є РК, В Є МН,
60° МР=РВ=АК, ےМРВ=60°
Найти: ےМ, ےМРК, ےК,
М В Н ےМНК
Решение. Сравнить: ВМ и АН
Рассмотрим ∆МВР: МР=РВ, ےМРВ=60° - по
условию, ےРМВ=ےМВР=60°
Рассмотрим ∆МРВ и ∆АКН: МР=КН, ےМ=ےК по
свойству параллелограмма, МР=АК=КН, ∆МРВ=∆АКН – по двум сторонам и углу, то МР=РВ=МВ=АК=КН=АН, т.е. ВМ=АН
ےМ=ےК=60°
Рассмотрим РК||МН, РВ – секущая, ےМВР=ےВРК=60° - накрест лежащие, то ےМРК=ےМНК=120°
Ответ: ےМ=60°, ےМРК=120°, ےК=60°, ےМНК=120°, ВМ=АН.
_____________________________________________________________________
В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне, острый угол равен 45°. Найдите отношение оснований.
31305526162001094105261620003130552616200436880261620313055356870В С Дано: АВСD – трапеция, ВС||АD,
10941058763097028087630 АС┴СD, ےD=45°, ےВ=90°
17049752527290 Найти: ВС : АD
10941051028700123698010477510941052266950 45° Решение.
А К D 1) Проведём СК┴АD
2) Рассмотрим ∆СКD: ےСКD=90°, ےD=45°, ےКСD=45° - по свойству прямоугольного ∆, то СК=КD
3) Рассмотрим ∆АСD: ےАСD=90°- по условию, ےD=45°, АК=КD – по свойству равнобедренного ∆.
4) Рассмотрим АКСВ: СК=АК=АВ=ВС, то АD=2*ВС, т.е. ВС : АD = 1 : 2.
Ответ: ВС : АD = 1 : 2.
_____________________________________________________________________
Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4 : 5.
257810278129257810278130257810278130В С Дано: АВСD – прямоугольник,
АС∩ВD=О
О ے ОВС : ےАВО = 4 : 5
Найти: ےАОВ
А D Решение.
ےОВС=4х, ےАВО=5х, ےОВС+ےАВО=90°, х=10°
ےОВС=40°, ےАВО=50°
Рассмотрим ∆АОВ: АО=ОВ – по свойству прямоугольника, ےАВО=ےВАО=50°, то ےАОВ=80°
Ответ: ےАОВ=80°
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
В трапеции АВСD диагональ ВD перпендикулярна боковой стороне АВ, ےАDВ=ےВDС=30°. Найдите АD, если периметр трапеции равен 60см.
В С Дано: АВСD – трапеция,
638810132080046736017970553403527305257810273050 ВС||АD, ВD┴АВ,
ےАDВ=ےВDС=30°,
2000884156209 РАВСD = 60см
169608478105 Найти: АD
А D Решение.
Рассмотрим ВС и АD, BD – секущая,
ےАDВ=ےDВС – накрест лежащие, то ےАDВ=ےВDС= ےDВС=30°
Рассмотрим ∆ВDС: ےВDС= ےDВС, то ВС=СD
Рассмотрим ∆АВD: ےАВD=90°, ےАDВ=30°,
ےА=60°, АD=2АВ по свойству прямоугольного ∆
Рассмотрим АВСD: ےА=ےАDВ+ےВDС, то АВ=СD=ВС, АD=2АВ, АВ+ВС+СD+АD=60см, АВ=12см, АD=24см.
Ответ: АD=24см.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
На основании равнобедренного ∆АВС отмечена
точка К, а на сторонах АВ и ВС – точки М и Р соответственно, причём РК=МВ, ےКРС=80°, ےС=50°. Докажите, что КМВР – параллелограмм.

В Дано: ∆АВС: АВ=ВС, К Є АС,
55880-31750 М Є АВ, Р Є ВС, РК=МВ,
1131570255270522605185420 Р ےКРС=80°, ےС=50°
6940562159000 Доказать: КМВР – параллелограмм
913130124460 М 80° Доказательство:
1557160204748002940052730500 1) Рассмотрим ∆АВС: АВ=ВС,
163830036330 50° ےС=50° - по условию, то ےА=50°
А К С по свойству равнобедренного∆, ےВ=80°.
2) Рассмотрим АВ и КР, ВР – секущая, ےВ=ےКРС=80° - соответственные, то МВ||КР.
3) Рассмотрим МВРК: МВ||КР, МВ=КР, МВРК – параллелограмм (по признаку параллелограмма)
_____________________________________________________________________
3 уровень
1) В выпуклом четырёхугольнике АВСD ےА+ےВ=ےС+ےВ=180°. Через точку О пересечения диагоналей четырёхугольника проведена прямая, пересекающая стороны DС и АD в точках М и К соответственно, ےВОМ=90°. Докажите, что DК=ВМ.
В М С Дано: АВСD -
138176053340419735533406769105334041973553340 четырёхугольник
143891060960133413560960 О ےА+ےВ+ےС+ےD=180°
АС∩ВD=О, О Є МК
А D М Є ВС, К Є АD
К ےВОМ=90°
Доказать: ВК=ВМ
Доказательство. 1) Рассмотрим АВ и СD, ВС – секущая, ےС+ےВ=180° - односторонние, то АВ||СD, Рассмотрим АD и ВС, АВ – секущая, ےА+ےВ=180°- односторонние, то АD||BC, значит АВСD –параллелограмм, АО=ОС – по свойству параллелограмма.
2) Рассмотрим ∆АОК и ∆СОМ: АО=ОС, ےАОК=ےМОС – вертикальные, ےОАК=ےОСМ- накрест лежащие (ВС||АD, АС – секущая), то ∆АОК=∆СОМ – по стороне и двум углам, то КО=ОМ
3) Рассмотрим ∆ВОМ и ∆КОD: ےВОМ=ےКОD=90°- вертикальные, ОМ=ОК, ےМВО=ےОDК – накрест лежащие (ВС||АD, BD – секущая), то ∆ВОМ=∆КОD –
по катету и противолежащему острому углу, то ВМ=КD
___________________________________________________________________
573087656273002) На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВН и МD пересекаются в точке О, ےВНD=95°, ےDМС=90°, ےВОD=155°. Найдите отношение длин отрезков АВ и МD и углы параллелограмма.
15036802209808559802209801313180220980 В М С Дано: АВСD - параллелограмм
131318066040 М Є ВС, Н Є СD, ВН∩МD=О,
О Н ے ВНD=95°, ےDМС=90°,
ےВОD=155°
А D Найти: ےА, ےАВС, ےС,
Решение ےАDС, АВ:МD
1) ےВНD+ےВНС=180°- смежные, ےВНD=95°, то ےВНС=85°, ےВОD=ےМОН=155°- вертикальные
2) Рассмотрим МСНО: ےОМС=90°, ےМОН=155°, ےОНС=85°, ےОМС+ےС+ےСНО+ےНОМ=360°, то ےС=30°
3) Рассмотрим ∆МСD: ےDМС=90°, ےС=30°, то СD=2МС
4) Рассмотрим АВСD – параллелограмм: АВ=СD – по свойству, то АВ:МD=2:1, ےА=ےС=30°, ےАВС=ےАDС=150° - по свойству параллелограмма.
Ответ: АВ:МD=2:1, ےА=ےС=30°, ےАВС=ےАDС=150°
_____________________________________________________________________
Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции АВCD проведён перпендикуляр СЕ к прямой АD, содержащей большее основание. Докажите, что АЕ=1/2(АD+ВС)
1867535249554648335249555400685249555 В С Дано: АВСD – трапеция,
ВС||АD, АВ=СD, СЕ┴АD
4006851981200193421113144500 Доказать: АЕ=1/2(АD+ВС)
Доказательство.
17151351333517151351333578168538106483353810А D 1) Проведём ВК┴АD
К Е 2) Рассмотрим ∆АВК и ∆СЕD
ےАКВ=ےСЕD=90°, АВ=СD – по условию, ےА=ےD – по свойству равнобедренной трапеции, то ∆АВК=∆СЕD – по гипотенузе и острому углу, то АК=ЕD
Рассмотрим АВСD: АD=АК+КЕ+ЕD=2ЕD+КЕ, КЕ=ВС, то АD=2ЕD+ВС, ЕD=(АD-ВС):2, значит АЕ=АD-DЕ=АD-(АD-ВС):2=(АD+ВС):2, т.е.
АЕ=1/2(АD+ВС)
_____________________________________________________________________
4) В прямоугольнике АВСD точки М и К – середины сторон АВ и АD соответственно. На прямой АС взята точка Р, на прямой ВD – точка Е, МР┴АС, КЕ┴ВD. Известно, что 4КЕ=АD. Найдите отношение сторон АР:РС.
463542578104635425781046355257810В С Дано: АВСD – прямоугольник
-29845227330 АМ=МВ, АК=КD, АС∩ВD=O
46355244475 М О Р Є АС, Е Є ВD, МР┴АС,
-298452425704178301854200136080518542012655552425702844801854201036955137795 Е КЕ┴ВD, 4КЕ=АD
15322551638301446530163830560705163830484505163830 Р Найти: АР:РСА К D Решение.
4КЕ=АD, АК=КD – по условию, то КD=2КЕ
Рассмотрим ∆КЕD: ےКЕD=90°, КD=2КЕ, то
ےКDЕ=30° по свойству прямоугольного ∆
Рассмотрим ∆АВD: ےВАD=90°, ےАDВ=30°, то
АВ=ВD:2=АС:2
Рассмотрим АВСD: АМ=АВ:2=АС:4
Рассмотрим ∆АОD: АО=ОD, ےОАD=ےADO=30°
ےВАD=90°, ےOAD=30°, то ےВАО=60°
Рассмотрим ∆АМР: ےАРМ=90°, ےМАР=60°, ےМАР=30°, то АР=АМ:2
Т.к. АМ=АС:4 и АР=АМ:2, то АР=АС:8, тогда АР:РС=1:7
Ответ: АР:РС=1:7
___________________________________________________________________
В ромбе АВСD биссектриса ےDCA перпендикулярна стороне АD. Найдите углы ромба.
35306022987000 В Дано: АВСD – ромб, ےАСН=ےНСD
СН┴АD
Найти: ےDАВ, ےВ, ےВСD, ےD
629285121920353059121920А С Решение.
762635148590 1)Рассмотрим ∆АСD: СН┴АD,
7150103810 Н ےАСН=ےНСD, то ∆АСD -
D равнобедренный, т.е. АС=СD и АD=DС – по свойству ромба, то ∆АСD – равносторонний, ےD=ےАСD=ےСАD=60° по свойству равностороннего ∆
2) Рассмотрим АВСD – ромб: ےD=ےВ=60°, ےВАС=ےСАD=ےВСА=ےАСD=60°, то ےВАС=ےВСD=120°
Ответ: ےD=ےВ=60°, ےВАС=ےВСD=120°.
_____________________________________________________________________
В параллелограмме АВСD известно, что ےА=60°,
АВ=10, АD=16. Найдите расстояние от вершин В и D до биссектрисы ےВСD.
2418715186690025165051519400629285254000819785253999353060254000 В С Дано: АВСD -
30° параллелограмм
204851010668020008852209801915160173355 Е ےА=60°, АВ=10,
13055601333501172210133350 АD=16, ےВСК=ےКСD
191135361950019113511239500 60° F ВF┴СК, DЕ┴СК
А К D Найти: ВF и DЕ
Решение
ےВСD=ےA=60°, BC=AD=16, CD=AB=10 – по
свойству параллелограмма, ےВСК=ےКСD=30°
Рассмотрим ∆ВСF: ےВFС=90°, ےВСF=30°, то
ВF= ВС:2=8 – по свойству прямоугольного ∆
Рассмотрим ∆СЕD: ےСЕD=90°, ےЕСD=30°, то
ЕD=СD:2=5 – по свойству прямоугольного ∆
Ответ: ВF=8, DE=5
____________________________________________________________________
Внутри квадрата АВСD выбрана точка М так, что
∆АМD равносторонний. Найдите ےАМВ.
В С Дано: АВСD - квадрат
4292604000513722344000542926040005 М АМ=МD=AD
42926085724137223485724 Найти: ےАМВ
Решение.
819785100965171513510096533401024765 1) Рассмотрим ∆АМD:
АМ=МD=AD, то
1324610220980 ےМАD=60°
А D 2) Рассмотрим АВСD – квадрат ےВАD=90°, ےМАD=60°, то ےВАМ=30°
3) Рассмотрим ∆ВАМ: АВ=ВМ, ےВАМ=30°, ےАВМ=ےАМВ=(180°-30°):2=75°
Ответ: ےАМВ=75°
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
В равнобедренной трапеции длина боковой
стороны 2d, длины оснований 5d и 7d. Найдите углы трапеции.
292291213690860046736014306540025533351544955255333515449551038860154495584836015449552696210325754848360325755514985325755 В 5d C Дано: АВСD –
трапеция, ВС||АD,
АВ=СD=2d,
2d 2d ВС=5d, AD=7d
Найти: ےА,
ےАВС, ےВСD,
A K H D ےD
Решение
Проведём ВК┴АD, CH┴AD, то КВСН –
Прямоугольник, КН=ВС=5d
Рассмотрим ∆АВК и ∆СНD: ےАКВ=ےСНD=90°, АВ=СD – по условию, ےА=ےD – по свойству равнобедренной трапеции, то ∆АВК=∆СНD – по гипотенузе и острому углу, то АК=DН= =(АD-КН):2=(7d-5d):2=d
Рассмотрим ∆АКВ: АВ=2d, AK=d, то ےАВК=30°, ےА=60°
ےА=ےD=60°, ےВСD=ےАВС=ےАВК+ےКВС=120° - по свойству равнобедренной трапеции.
Ответ: ےА=ےD=60°, ےВСD=ےАВС=120°
___________________________________________________________________
Подведение итогов.
За каждое задание вы получили гирьку определённой массы. Сложите все полученные гирьки. Набравший массу, большую всех, получает медаль победителя турнира силачей. Набравший среднюю массу, получает медаль призёра турнира силачей. Набравший меньшую массу, получает медаль участника турнира силачей.