Урок алгебры в 9 классе Уравнения, приводимые к квадратным /Учитель математики и информатики Косолапова Е.В./

АЛГЕБРА 9 КЛАСС Урок разработала учитель математики и информатики МОУ ВСОШ № 1 Косолапова Елена Васильевна «Люди не знакомые с алгеброй не могут представить себе тех удивительных вещей, которых можно достигнуть при помощи названной науки» /Г.В. Лейбниц/ 1. Какие уравнения называются квадратными? 2. Среди данных уравнений выберите те, которые являются квадратными?1) 3х – 4 = х + 10 2) х2 – 5х = 03) 2х + 6х2 = 04) х3 – 2х2 – 3 = 12 5) 5х2 – 2х + 6 = 0 Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х – переменная, a, b, c – некото-рые числа, причем а  0. 2. Среди данных уравнений выберите те, которые являются квадратными?1) 3х – 4 = х + 10 2) х2 – 5х = 03) 2х + 6х2 = 04) х3 – 2х2 – 3 = 12 5) 5х2 – 2х + 6 = 0 Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? Среди данных уравнений выберите те, которые являются неполными квадратными уравнениями?1) 3х – 4 = х + 10 2) х2 – 5х = 03) 2х + 6х2 = 04) х3 – 2х2 – 3 = 12 5) 5х2 – 2х + 6 = 0 Если в квадратном уравнении ах2 + bх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Среди данных уравнений выберите те, которые являются неполными квадратными уравнениями?1) 3х – 4 = х + 10 2) х2 – 5х = 03) 2х + 6х2 = 04) х3 – 2х2 – 3 = 12 5) 5х2 – 2х + 6 = 0 Какие из следующих уравнений мы умеем решать, объясните прием решения каждого из этих уравнений:1) 3х – 4 = х + 102) х2 – 5х = 03) 2х + 6х2 = 04) 5х2 – 2х + 6 = 05) ( х2 + 3х + 2 ) (х2 + 3х + 4 ) = 486) х4 – 5х2 – 36 = 0 Решение уравнений, приводимых к квадратным Выпишем уравнение: х4+6х3+15х2+18х – 40 = 0 Посмотрите внимательно на исходное уравнение, какой особенностью оно обладает? Переменная х входит только в выражение х2+3х ( х2 + 3х + 2 ) (х2 + 3х + 4 ) = 48. ( х2 + 3х + 2 ) (х2 + 3х + 4 ) = 48. (х2+3х+2) (х2+3х+4) = 48 Ввести новую переменную у, которой обозначить по-вторяющееся выражение х2+3х. 1 шаг (х2+3х+2) (х2+3х+4) = 48 Пусть у = х2+3х   Пусть у = х2+3х, тогда Ввести новую переменную у, которой обозначить по-вторяющееся выражение х2+3х. Записать получив-шееся уравнение 1 шаг (х2+3х+2) (х2+3х+4) = 48 (у+2)(у+4) = 48 2 шаг Решить уравнение относительно новой переменой у2 + 4у + 2у + 8 – 48 = 0 у2 + 6у – 40 = 0у1 = – 10 , у2 = 4. у2 + 4у + 2у + 8 – 48 = 0 у2 + 6у – 40 = 0у1 = – 10 , у2 = 4. Решить уравнение относительно новой переменой 2 шаг   Пусть у = х2+3х, тогда (у+2)(у+4) = 48 Ввести новую переменную у, которой обозначить по-вторяющееся выражение х2+3х. Записать получив-шееся уравнение 1 шаг (х2+3х+2) (х2+3х+4) = 48 3 шаг Вернуться к первона-чальной переменной х, подставив найденные значения вместо введенной переменной. х2+3х = –10 или х2+3х = 4 х2+3х+10=0 D= х2+3х+10=0 D=9 - 4·10 = -31D < 0, Корней нет х2+3х – 4=0 х2+3х – 4=0 х1=1; х2 = – 4. Ответ: – 4, 1. х4 – 5х2 – 36 = 0 Уравнения вида ax4 + bx2 + c = 0 , где а  0 являющиеся квадратными относительно х2, называют биквадратными уравнениями. БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ – от би – два и латинского quadratus – квадратный, т.е. дважды квадратные. Решение биквадратных уравнений приводится к решению квадратных уравнений подстановкой у = х2. ____________ или ____________ Ответ: Вернуться к первона-чальной переменной х, подставив найденные значения вместо введенной переменной. 3 шаг D = Решить уравнение относительно новой переменой 2 шаг   Пусть у =______, тогда _______________ Ввести новую перемен-ную у, которой обозна-чить повторяющееся выражение х2. Записать получившееся уравнение 1 шаг х4 – 5х2 – 36 = 0 х2 у2 – 5у – 36 = 0 25 + 4·36 = 169, D >0, 2 корня х2 = 9 х2 = - 4 у1 = 9, у2 = – 4 Корней нет х1 = 3 х2 = – 3 3; – 3 МЕТОД ВВЕДЕНИЯ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Почему в теме есть словосочетание «приводимые к квадратным»? 16х4 – 8х2 + 1 = 0 пусть у=_______, тогда_____________   х4 – 25х2 + 144 = 0 пусть у=_______, тогда_____________ (3х2+5х+2)(3х2+5х–5) –5=16 пусть у=_______, тогда_____________   (3х–5)2 – 4(3х–5)=12 пусть у=_______, тогда_____________   (х2+3х+1)2+4(х2+3х+1) – 6 = –1 пусть у=_______, тогда_____________   (7х2+2х–3) (7х2+2х+5)=16 пусть у=_______, тогда_____________   Запишите уравнение, полученное в результате введения новой переменной КАРТОЧКА № 2 7х2+2х (у–3) (у+5)=16 х2+3х+1 у2+4у – 6 = –1 3х–5 у2 – 4у = 12 3х2+5х (у+2)(у–5) –5=16 х2 х2 у2 – 25у + 144 = 0 16у2 – 8у + 1 = 0 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Решить уравнения: первая буква – I вариант, вторая буква – II вариант : № 222 (б, в), № 223 (а, в) Результаты выполнения можно проверить с помощью компьютера – Программа ALGEBRA (вводим коэффициенты биквадратного уравнения и получаем ответ). № 222 (б, в)б) у4 – 6у2 + 8 = 0 в) t4 + 10t2 + 25 = 0 х2 – 6х + 8 = 0 у2 + 10у + 25 = 0 Ответ: -2; 2; - ; Ответ: корней нет /у = - 5 /№ 223 (а, в) а) х4 – 25х2 + 144 = 0 в) х4 – 4х2 + 4 = 0 у2 – 25у + 144 = 0 у2 – 4у + 4 = 0Ответ: -3; 3; - 4; 4 Ответ: - ; Каким методом мы сегодня решали уравнения? В чем идея метода введения новой переменной? Ковалевская Софья Васильевна математик, писатель и публицист, первая женщина-профессор, член-корреспондент Петербургской АН (1889). Если ты в жизни хотя на мгновенье Истину в сердце своем ощутил. Если луч света сквозь мрак и сомненье Ярким сияньем твой путь озарил: Чтобы в решеньи своем неизменном Рок не назначил тебе впереди. Память об этом мгновенье священном Вечно храни, как святыню в груди. Тучи сберутся громадой нестройной.Небо покроется черною мглой,С ясной решимостью, с верой спокойной.Бурю ты встреть и померься с грозой. Информация о домашнем заданиип. 11№ 221 (а, б); № 223 ( г – е) Карточка розового цвета обозначает: “Я удовлетворён уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке, и получил заслуженную оценку, я понимал всё, о чём говорилось и что делалось на уроке”. Карточка зеленого цвета обозначает: “Урок был интересен, я принимал в нём активное участие, урок был в определённой степени полезен для меня, я отвечал с места, я сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно”. Карточка желтого цвета обозначает: “Пользы от урока я получил мало, я не очень понимал, о чём идёт речь, мне это не очень нужно, домашнее задание я не понял, к ответу на уроке я был не готов”.