Презентация к исследовательской работе по математике Разминка для мозга или эффективный счёт в уме

Эффективный счёт в уме или разминка для мозгаМозг хорошо устроенный стоит больше, чем мозг хорошо наполненный. М.МонтельПодготовила ученица 6Б класса «МБОУ СОШ №17 г.Йошкар-Олы» Салимова КристинаУчитель Матиюк С.А. АктуальностьАктуальность моего исследования состоит в том, что в наше время всё чаще на помощь ученикам приходят всевозможные устройства, способные считать за него, и всё большее количество учеников плохо считают. А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, позволяет человеку научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях. Поэтому в своей работе я хочу показать, что при использовании приёмов устного счёта можно привить интерес к математике, развить скорость вычислений и добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Объекты исследования:Различные алгоритмы устного счёта.Предмет исследования: процесс вычисления.Гипотеза исследования: овладение приёмами счёта в уме позволит повысить качество и скорость вычислений обучающихся. Методы исследованияПоиск и анализ полученной информации.Изучение нестандартных методов.Обучение новым методам обучающихся класса.Сравнение результатов до и после применения новых приёмов. ЦелиЗнакомство помимо вычислений в «столбик» с другими способами вычислений арифметических действий, исследование данной темы и доказательство того, что каждый человек способен освоить нестандартные способы вычислений, тем самым повысить собственную культуру вычислительных навыков. ЗадачиИзучить литературу по данной теме.Сделать подборку наиболее распространённых и общедоступных приёмов.Провести констатирующий эксперимент, т.е. пробную проверочную работу в 6 классе. Познакомить обучающихся класса с приёмами быстрого счёта, провести промежуточные проверочные работы, обучающие этим приёмам.По результатам изученного провести завершающий эксперимент и сравнить его данные с данными констатирующего эксперимента.Сделать выводы о подтверждении или опровержении выдвинутой гипотезы. Мне захотелось выяснить, а знают ли мои одноклассники приёмы быстрого счёта, если нет, то помочь им освоить эти приёмы. Для начала я провела анкетирование в своём 6 Б классе.В опросе приняли участие 29 человек. Проанализировав результаты, я сделала вывод, что большинство обучающихся считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики и других точных наук. Опрос{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}ВопросОтветКол-во человек%1.Зачем нужно уметь считать?Для различных расчётов (в магазине, в буфете и т. д.)1862%Для развития (пригодится в будущем)2586%Чтобы не обманули310%Для экзаменов310% опрос{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Вопрос Да Нет2.Знаете ли вы приёмы устного счёта?7(24%)22(76%)3.Хотели бы вы быстро считать устно?29(100%)- Сложение Сложение многозначных чисел по разрядам 134+145;Если дано число, в котором каждый разряд первого слагаемого удачно складывается с разрядом второго слагаемого, то мы начинаем складывать по разрядам.134+145=(1+1)(3+4)(4+5)=279;Если сумма цифр превышает 9, то прибавляем единицу к предыдущему разряду. 268+456=(2+4)(6+5)(8+6)=6(11)(14)=724; Сложение путём округления чиселЕсли увеличить одно из слагаемых на несколько единиц, то надо уменьшить на столько же единиц или сумму или другое слагаемое.239+396=(239+(396+4))-4=(239+400)-4=635;849+183=(849-17)+(183+17)) =(832+200)=1032; Сложение с использованием изменения порядка счётаПри сложении чисел нередко бывает полезно складывать их, начиная со старших разрядов. Тогда в ходе вычисления приходится помнить всё более длинное число, но зато мы прибавляем к нему каждый раз только одно число-двузначное. Это существенно облегчает устное вычисление 5827 +3458 +2451 ?Складываем старший разряд слагаемых: 5+3+2=10, приписываем к полученной сумме 0. Продолжаем прибавлять цифры следующего разряда: 100+8+4+4=116;Опять приписываем к полученной сумме 0 и прибавляем цифры третьего разряда: 1160+2+5+5=1172, приписываем последний раз 0 и завершаем вычисления 11720+7+8+1=11.736, Вычитание Вычитание многозначных чисел Если из каждого разряда уменьшаемого хорошо вычитается свой разряд вычитаемого, то мы вычитаем их.274-123=(2-1)(7-2)(4-3)=151; Если из разряда уменьшаемого не вычитается свой разряд вычитаемого, то занимаем единицу из предыдущего разряда. 234-75=(2-0)(3-7)(4-5)=159; Вычитание путём округления чисел259-192;Нужно округлить вычитаемое до ближайшей сотни. Прибавить это же число к уменьшаемому, произвести вычитание более удобных чисел. 259-192=(259+8)-(192+8)=267-200=67; 723-482=(723+18)-(482+18)=741-500=241; Вычитание путём нахождения дополнений730 – 644 Дополняем вычитаемое до уменьшаемого поразрядно. Сначала дополняем до 650, затем до 700 и, наконец, до 730. Последовательные дополнения выписаны: 6 + 50 + 30. Конечно, при устном счете можно эти дополнения не писать, а только произносить: «шесть, пятьдесят, тридцать». Затем в уме же сложить числа 730 – 644 = 6 + 50 + 30 = 86;853 - 482=8+10+353=371; Вычитание из 100,1000 и т.д.1000-567;Мы знаем, что если вычитать столбиком, то занимая единицу у разряда все остальные числа превратятся в девятки. Значит все разряды вычитаемого нужно вычитать их девяти.9-5=4; 9-6=3; 10-7=3;1000-567=433; Умножение МЕТОД РЕШЁТКИДля умножения чисел Мухаммед аль Хорезми предлагал « метод решётки». В основу этого метода лёг принцип умножения решёткой, широко распространённый в XVII веке. Этот способ легко рассмотреть на примере. Пусть надо перемножить числа 397 и 98. Чертится таблица 3х2, количество столбцов и строк по количеству цифр каждого множителя. Запишем первый множитель над таблицей по горизонтали, а второй справа от таблицы по вертикали (цифры пишем над каждым столбцом, и возле каждой строки). Каждую клетку делим диагональю. Способ дополнений для умножения чисел, близких к 10n, 2·10nЗапишем числа в одну строку. Под каждым из чисел напишем дополнение до 100. Числу 96 до ста не хватает 4, а числу 93 до ста не хватает 7. Соединим числа крест накрест96 · 93=8.928; 4 7 Выберем любой из множителей и вычтем из него дополнение до ста другого множителя, какой бы множитель вы не взяли должно получиться одно и то же число: 96-7=93-4=89 это первые цифры результата. Последние цифры это произведение обоих дополнений:4·7=28.96·93=8.928; Умножение с использованием законов Удобно использовать переместительный закон произведения или распределительный закон.Рассмотрим несколько примеров:4· 53 · 25 = 25 · 4 · 53 = 100 · 53 = 53 · 100 = 5300;3 · 124 = 124 · 3 = (100+24) · 3=300 + 72 = 372;2 · 17,05 · 4=2 · 4 · 17,05 = 10 · 17,05 = 17,05 · 10 = 170,5. Умножение на одно числоЧтобы умножить на одно число, можно разделить множитель на разряды. Каждый разряд умножить на множимое и результаты сложить.34*7=30*7+4*7=210+28=238;86*3=80*3+6*3=240+18=258; Умножение на 1 ½ и на 1 ¼ Чтобы умножить число на 1 1/2 ,к его множимому прибавляют половину.34· 1½=34+17=51;26· 1½=26+13=39;Аналогично можно умножать на 2½. Чтобы умножить число на 1 1/4 ,к множимому прибавляют его четверть.48· 1 ¼=48+12=60;84· 1 ¼=84+21=105;Аналогично можно умножать на 2 1/4 Умножение при изменении сомножителейЕсли один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить в столько же раз, то значение произведения не измениться.43·16=86·8=172·4=344·2=688·1=688;125·24=500·6=1500·2=3000·1=3000; Умножение на двузначные числаЕсли оба множителя двузначные, то их можно мысленно разделить на десятки и единицы.29*12=29*10+29*2=290+58=348;41*16=41*10+41*6=410+246=656; Умножение на 4, 6, 8 ,12 и т.п.Умножить на 4, 6, 8,12 и т.п. удобно предварительно разложив эти числа на простые множители и умножить числа в том порядке в каком удобнее. Чтобы умножить на 4,число можно умножить на 2 и повторно на 125· 4=125· 2 · 2=250· 2=500;125·6=125·2·3=250·3=750;115·8=115·2·2·2=230·2·2=460·2=920;35·12=35·2·2·3=70·3·2=210·2=420; Умножение на 5Чтобы умножить на 5,можно умножить его на 10 и разделить на 2.398*5=(398*10):2=3980:2=1990;276*5=(276*10):2=2760:2=1380; Умножение на 9Для того, чтобы умножить на 9,число умножают на 10 и вычитают множимое.62*9=(62*10)-62=620-62=558;73*9=(73*10)-73=730-73=657; Умножение двузначного числа на 111 способ: умножить число на 10 и прибавить множимое.87*11=(87*10)+87=870+87=957;2 способ: мысленно раздвинуть цифры и поставить между ними их сумму.1)72*11=7(7+2)2=792;Если сумма цифр больше 9,то добавляем единицу к старшему разряду.2)78*11=7(7+8)8=(7+1)58=858; Умножение на 11. Метод ФерроляЧтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа по краям и поставить между ними сумму цифр исходного числа. «Краешки сложи, в серединку положи»- эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения.72 · 11 = 7 (7+2) 2 = 792;35 · 11 = 3 (3+5) 5 = 385;Если сумма цифр числа 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа по краям, поставить между ними сумму цифр исходного числа, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.78 ·11 = 7 (7+8) 8 = 7(15)8 = (7+1)58 =858;94· 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+ 1)3 4 =1034; Умножение на 15Чтобы умножить на 15,число умножают на 10 и складывают с половиной множимого числа88*15=(88*10)+440=880+440=1320; Умножение чисел между 11 и 1914*18;Нужно прибавить большее число к правой цифре другого числа и приписать к ответу 0:18+4=220;Перемножить правые цифры исходных чисел 8*4=32;Сложить результаты.220+32=252; Умножение на 25Умножение на 25 можно заменить делением на 4 с последующим умножением на 100 или наоборот. 84*25 = 84 : 4*100 = 21*100=2100;52*25=52:4*100=13*100=1300; Умножение на 10,100,1000 и т.д.При умножении на 10,100,1000 и т.д. надо приписать в этому числу справа соответственно 1 нуль,2 нуля,3 нуля.5000*10=50000;689*1000=689000; Умножение на 101Чтобы умножить двузначное число на 101,надо мысленно приписать к данному числу (справа или слева) ещё раз само число.58*101=5858,т.к. 58*101=58*100+58*1=5800+58=5858; Умножение при изменении сомножителейЕсли один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить в столько же раз, то значение произведения не измениться.43*16=86*8=172*4=344*2=688*1=688;125*24=500*6=1500*2=3000*1=3000; Умножение трехзначного числа на 999Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) - «дополнения» первых до 9. 573 ·999 = 572 427683· 999 = 682317 Деление Приём одновременного увеличения делимого и делителяОчень эффективен прием одновременного увеличения делимого и делителя (напр. в 2 раза).225 : 75 = (225 · 2) : (75 · 2) = 450 : 150 = 3;440 : 55 = (440· 2) : (55· 2) = 880:110=8;36:1,5= (36· 2) : (1,5· 2) = 72:3=24. Если делимое и делитель одновременно увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то величина частного не изменится Деление на 5Чтобы разделить на 5,можно разделить его на 10 и умножить на 2145:5=(145:10)*2=29;760:5=(760:10)*2=152; Деление на 4, 6, 8, 12 и т.п.Чтобы поделить число на 4 , его делят на 2 и повторно на 2632:4=632:2:2=316:2=158;592:4=592:2:2=296:2=148;Чтобы разделить число на 6 его делят на 2 и на 3.288:6=288:2:3=144:3=48;498:6=498:2:3=249:3=83;Чтобы разделить число на 8 его трижды делят на два.120:8=120:2:2:2=60:2:2=30:2=15;360:8=360:2:2:2=180:2:2=90:2=45; Возведение в степень Приём возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5Первые две цифры являются произведением первой цифры основания данной степени на следующее за этой цифрой натуральное число, третья и четвёртые цифры это всегда 25.85²=(8·9)25=7225;145²=(14·15)25=21.025 Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5Нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причём если квадрат второй цифры - однозначное число, то перед ним надо приписать 0532 =(25+3)(3·3)=2809;582 = (25+8)(8·8)=3364; Квадрат близкий к известному квадрату312=302+31+30=900+61=961;162=152+15+16=225+31=256;На 1 меньше. Из квадрата числа на 1 больше вычитаем само число и число на единицу больше.192=202-19-20=400-39=361;242=252-24-25=625-25-24=576; Выводы1.Приёмы устного счёта позволяют упрощать вычисления, экономят время, развивают логическое мышление и гибкость ума, вызывают интерес к математике.2.В школьных учебниках практически нет приёмов быстрого счёта, поэтому результат данной работы памятка для быстрого счёта будет очень полезной для обучающихся 5-6 классов. Использованная литература1. Перельман Я.И. Быстрый счет. 1941г.2. http://bibliofond.ru.3. Интернет-игра «Математические хитрости». 4.www.all-fizika.com. Техника Быстрого счёта5.4brain.ru.Устный счёт