Фрагмент урока на тему Линия тангенсов и линия котангенсов.

Фрагмент урока на тему: «Изучение формул тригонометрических функций двойного и тройного аргумента».
Таблица 1.
Фрагмент урока.
Учитель Учащиеся
В тригонометрии очень много формул. Как вы уже успели заметить, многие формулы можно получить путем преобразования других формул. Вы можете привести примеры таких формул? Да, например, tg x=sinxcosx, ctg x=1tg x, ctg x=cosxsinx. А из основного тригонометрического тождества можно получить следующие формулы: 1+tg2x=1cos2x;1+ctg2x=1sin2x.Молодцы. Сегодня мы с вами познакомимся с новыми формулами, обладающими подобным свойством. Нам нужно получить формулу для sin2x. Как нам это сделать? Какая формула нам поможет в данном случае? Можно воспользоваться формулой синуса суммы двух чисел, для этого нам нужно представить sin2x=sin⁡(x+x).
И какую формулу тогда мы получим? sinx+x=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx.
Действительно ли это так? Как нам это проверить? Можно подставить несколько значений аргумента и вычислить значения выражений sin2x и 2sinxcosx. Если они будут равны, то мы получили правильную формулу.
Правильно. Давайте посчитаем значения этих выражений для x=π и x=π4. sin2π=0, 2sinπcosπ=0;sinπ2=1,2sinπ4cosπ4=1. Для двух различных значениях аргумента, значения выражений совпали. Значит мы были правы, и полученная формула верна.
Вы правы, ребята. И чтобы убедится в том, что вы правильно вывели данную формулу, можно открыть учебник и проверить. А формула и правда такая. Тогда ее можно не заучивать, а если она понадобится, то просто вывести ее.
Да, в это и заключается смысл нашей с вами работы! Теперь давайте выведем формулу для cos2x.Ну здесь мы воспользуемся формулой суммы косинуса двух чисел. Тогда получается, что cos2x=cosx+x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x.
Совершенно верно. А как нам получить формулу для sin3x? Мы можем воспользоваться уже тремя формулами, формулой синуса суммы двух чисел и формулами синуса и косинуса двойного угла. То есть, сделать следующее:sin3x=sinx+2x=sinxcos2x+cosxsin2x=2sinxcos2x+sinxcos2x-sin3x=sinx3-4sin2x.Какие вы молодцы. А чему будет равен cos3x?Аналогично рассуждениям для синуса тройного угла, получаем, что cos3x=cosx+2x=cosxcos2x-sinxsin2x=cosxcos2x-sin2x-2sin2x=cosx(4cos2x-3).

Продолжение табл. 1.
Правильно. Как вы уже заметили, нет надобности в заучивании формул sin2x, cos2x, sin3x, cos3x, их всегда можно вывести через формулу синуса (косинуса) суммы двух чисел. И это далеко не все формулы, которые получаются такие образом. Я уверена, что теперь вы можете найти сами такие формулы.