Сборник задач практического содержания по теме: «КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
Министерство образования и науки Челябинской области
государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
(среднее специальное учебное заведение)
«Южно-Уральский многопрофильный колледж»
Сборник задач практического содержания по теме:
«КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
Челябинск, 2015 год
Одобрены
Цикловой методической комиссией
блока ЕН дисциплин
Составитель: Е.А. Кондратьева, преподаватель математики
Рецензенты: М.А. Вуйлова, преподаватель математики, методист ГБОУ СПО (ССУЗ) «Южно-Уральский многопрофильный колледж»
Л.И. Кундель, преподаватель математических дисциплин ГБОУ СПО (ССУЗ) «Челябинский техникум текстильной и лёгкой промышленности»
В сборнике представлены задачи с решениями по темам математики: комбинаторика, статистика и теория вероятностей для студентов 1 курса, обучающиеся через балльно-рейтинговую систему как инструмент системы зачётных единиц.
Данные задачи используются для выполнения практических занятий через обязательные результаты обучения в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика».
Все задачи имеют прикладную (профессиональную) направленность с целью усвоения знаний и освоения умений по комбинаторике, теории вероятностей и математической статистики.
Сборник входит в КУМО дисциплины «Математика» для студентов 1 курса гуманитарных и финансово-экономических направлений ССУЗов.
Задача №1.
В денежно – вещевой лотерее на серию 300 000 билетов приходится a -денежных , b- вещевых и с- золотых выигрышей.
Какова вероятность получить:
денежный выигрыш;
вещевой выигрыш;
золотой выигрыш;
выигрыш вообще;
ничего не выиграть.
Ответ выразить в процентах.
Указание:1).Числа a , b и с выбираются по формулам:
a = 1000 k-3m, b = 1500 n + 23, c = 4000 m – 20k, где k, n и m-порядковые номера в русском алфавите буквы, с которой начинаются соответственно фамилия , имя и отчество студента.
2).В последующих задачах №1- 4 выбор чисел через k, m, n осуществляется таким же образом. Пусть к=2 (Божко), n=10 (Ирина), m=19 (Сергеевна).
Решение.
а=1000*2-3*19=2000-57=1943
b=1500*10+23=15023
с=4000*19-20*2=76000-40=75960
1. А – событие получить денежный выигрыш
Р А=m АnР А=1943300000=0,0065=0,65%2. В – событие получить вещевой выигрыш
Р В=m ВnР В=15023300000=0,05=5%3. С – событие получить золотой выигрыш
Р С=m СnР С=75960300000=0,25=25%4. D – событие получить выигрыш вообще
Р D=Р А+Р В+РСР D=0,65%+5%+25%=30,65%5. Е – событие ничего не выиграть или событие противоположное событию D является D)Р Е=РD=100-Р (D)Р(D) =100-30,65=69,35%.
Ответ: 0,65 %; 5%; 25%; 30,65%; 69,35%.
Задача №2.
Ежемесячно в течение 5 месяцев велся учёт качества обучения студентов техникума. Распределение случайной величины Х по закону следующее:
2+2n 4 6+m 35-k 10+2k
1
4 1
8 1
4 1
8 1
4
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Изобразить графически статистические данные.
Решение.
Хi22 4 25 33 14
Pi1418141814Mx=i=1nPiXi=P1X1+P2X2+P3X3+P4X4+P5X5Mx=14*22+18*4+14*25+18*33+14*14== 14 22+25+14+184+33=614+378=1228+378=159/8=19,9D х =MХ2-M2Х
MX2=i=1nPiXi2=i=1i=5PiX2=P1(X1)2+P2(X2)2+P3(X3)2+P4(X4)2++P5X5M(Х)2 =*222+*42+*252+*332+*142=(484+625+196)+(16+1089)==464,4
Dx=464,4-19,92=464,4-396,01=68,39σx=Dxσx=68,39=8,35 10 15 20 25 30 35
Pi
Полигон частот
Хi
Ответ: 19,9; 68,39; 8,3.
Задача №3.
Ежедневно в течение 30 дней велся учет Х посетителей нотариальной конторы. Количество посетителей по дням следующее:
92; 96; 2k + 1; n + 13; m+25; 50; 204-3m; 91; 84; 29;
m + n; k+1; n + k; 96; 84; 121-n; 321-4k; 78; 88; 44;
90; 94; 400-4k; 300-4n; 200-5n; 4 + k; 2k + n; 2m + k; 69; 101;
Событие А заключается в том, что ежедневное количество посетителей является нечетным числом.
Событие В заключается в том, что ежедневное количество посетителей заключено между числами 68 и 102.
Определить:
1. а) вероятности p(A) и p(B) событий А и В; вероятности пересечения и
объединения событий А и В; условные вероятности p(A/B) и p(B/A).
b) Зависит ли событие А от события В?
c) Зависит ли событие В от события Ā?
d) Совместимы события А и В? А и В?
2. Для случайной величины Х определить
Множество значений принимаемых хi;
Вероятности p(X=хi) = pi.
Математическое ожидание М (Х).
Дисперсию D(X).
Решение.
С учетом данных k, m, n .
Всего посещений:
92;96;5;23;44;69;147;50;91;84;29;3;12;96;84;111;313;78;88;44;90;94;392;260;150;6;14;40;
69; 101.
События:
A={5;23;69;147;91;29;3;111;313;69;101},
B={92;96;69;91;84;96;84;78;88;90;94;69;101}.
1. а.
Вероятности Р(А) и Р(В) событий А и В
РА=m (А)n,где = 11 и n = 30
РА=1130РВ=m(В)n,где = 13 и n =30
РВ=1330Вероятности пересечения событий А и В
РА∩В=mА∩Вn,где А∩В ={общие элементы для событий А и В}
Общие элементы для А и В = {69; 91; 69; 101}=4 эл.
Р (А∩В)= 2/15
Вероятности объединения событий А и В
РА∪В=mА∪Вn,
где А∪В={элементы из множества А и недостающие элементы из множества В} А∪В={5; 23; 69; 147; 91; 29; 3; 111; 313; 69; 101; 92; 96; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94} =20 РА∪В=2030=23Условные вероятности Р (А/В) и Р (В/А)
РАВ=РА∩ВРВРАВ=430÷1330=413P(B/A)=
P(B/A)= *=.
1b. Зависит ли событие А от события В.
События зависимы, если Р (А/В) QUOTE ≠ ≠Р(А)
РАВ=413 и РА=1130413≠1130⇒события А и В зависимы1.с. Зависит ли событие В от события QUOTE А А
P(B/)=
А = {5; 23; 69; 147; 91; 29; 3; 111; 313; 69;101} = 11эл.
эл.
QUOTE A- 92;96;44;50;84;12;96;84;78;88;90;94;392;260;150;6;14;40 В = {92; 96; 69; 91; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94; 69; 101} =13эл.
m(B∩ QUOTE A ) ={92; 96; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94} = 9 эл.
РВA=930÷1930=919919≠1330⇒события В и А зависимы1.d. Совместимы ли события А и В?
События А и В совместимы, если А∩В0≠0А∩В=4 эл.; 4≠0⇒события А иВ совместнысовместны
Совместимы ли события А и QUOTE В ?
События А и QUOTE В совместны, если QUOTE А∩В≠0 А∩ QUOTE В 0≠0
А ={5; 23; 69; 147; 91; 29; 3; 111; 313; 69; 101} = 11эл.
В = {92; 96; 69; 91; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94; 69; 101} = 13эл.
QUOTE В = {5; 23; 44; 147; 50; 29; 3; 12; 111; 313; 44; 392; 260; 150; 6; 14; 40} = 17 эл.
A∩= {5; 23; 147; 29; 3; 111; 313} = 7 эл. Значит, 7 QUOTE ≠0 ⇒события А и В совместны.
2. а.
Множество значений принимаемых Хi – количество дней в задаче, т.к. в условии 30 дней, то Хi=30.
2.b. Вероятности Р(Х=Хi)=Pi
PXXi=XXi=130т.к. количество элементов в задаче 30 (30 дней), а благоприятных исходов 1 (исход по дням - равновероятен).
2.с. Математическое ожидание М (х)
Мх=i=1nPiXi=i=1n=30PiXi=P1X1+P2X2+P3X3+P4X4+…+P30X30Mх =(92+96+5+23+44+69+147+50+91+84+29+3+12+96+84+111+313+78+88+44+90+94+
+392+260+150+6+14+40+69+101 ) =
=277530=92,52.d. Дисперсия D(х)
Dх = Mх2-M2х
М(х)2=i=1nPi(Xi)2=i=1n=30Pi(Xi)2==Р1(Х1)2+Р2(Х2)2+Р3(Х3)2+…Р30(Х30)2M(Х)=Mх=(922+962+52+232+442+692+1472+502+912+842+292+32+122+962+842+1112+
+3132 +782+882+442+902++942+3922+2602+1502+62+142+402+692+1012 ) QUOTE М(х)2=130*(922 QUOTE 962+52+232+442+692+1472+502+912+ =
=130*(8464+9216+25+529+1936+4761+21069+2500+8281++7056+841+9+144+9216+7056+12321+97969+6084+7744++1936+8100+8836+153664+67600+22500+36+196+1600++4761+10201)=48465130=16155,03Dx=16155,03-8556,25=7598,78.
Ответ: Мх=92,5; Dх=7598,78.
Задача № 4.
Среди 90k+3n-2m юристов составляют 4n+1 кандидаты юридических наук. Какова вероятность того, что выбранные три юриста для избрания в депутаты Государственной Думы, будут кандидатами юридических наук? Ответ выразить в процентах.
Решение.
90k+3n-2m=90*2+3*10-2*19=172
4n+1=4*10+1=41
А – событие, которое определяет, что выбранные три юриста для избрания в депутаты Государственной Думы, будут кандидатами юридических наук.
РА=mn,где m – благоприятный исход;
n – всего исходов.
n - ?
Сочетание без повторений
n=C1723m -?
Сочетание без повторений
m=C413РА=C413÷C1723=СkR=k!k!k-R!==41!3!38!÷172!3!169!=13*20*4185*57*172=0,013=1,3% маловероятноОтвет: 1,3 %.
Задача № 5.
Замок имеет семизначный цифровой шифр. Наугад выбираются семь цифр. Какова вероятность открыть при этом замок, если известно, что в коде все цифры различны.
Ответ выразить в процентах.
Решение.
А – событие открыть замок
РА=mn,где m – благоприятный исход
n – всего исходов
n - ?
10 цифр (0, 1, 2, 3,…,9)
Размещение без повторений
QUOTE n=A107
m=1, т.к. замок откроется только при одном наборе цифр.
РА=1А107=АKR=k!k-R!=1÷10!3!=3!10!=3!3!*4*5*6*7*8*9*10=1604800=0,0000016=0,00016%Ответ: 0,00016%.
Задача № 6.
Вероятность встретить реку, загрязняемую постоянным фактором Р(А), временным фактором Р(В) и обоими факторами Р(АВ), равны соответственно 0,4; 0,1 и 0,05.
Найти:
а) вероятность того, что река загрязняемая временным фактором будет к тому же загрязнена и постоянным фактором, т.е. Р (А/В)?
б) вероятность того, что загрязняемая постоянным фактором, будет загрязнена и временным фактором, т.е. Р(В/А)?
Решение.
Р(А/В)=РА∩ВРВ=0,050,1=0,5=50% Р (В/А)=Р(А∩В)Р(А)=0,050,4=0,125=12,5%Ответ: 0,5; 0,125.
Задача № 7.
Вероятность выживания одного организма в течение 20 минут равна 0,7.
В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями
находятся только что родившиеся два организма. Какова вероятность того, что через
20 минут они будут живы?
Решение.
Обозначим:
А – событие, что I организм жив через 20 минут;
В – событие, что II организм жив через 20 минут.
События А и В – независимы, считаем, что между ними нет внутривидовой конкуренции.
Событие, что оба организма живы, есть событие А∩В, то по правилу вероятности умножения независимых событий Р(А∩В)=РА∙РВ=0,7∙0,7=0,49 49%.Ответ: 0,49.
Задача № 8.
Партия деталей изготовляется тремя рабочими:1рабочий – 60% всех деталей,
2рабочий– 30% всех деталей,
3рабочий– 10% всех деталей.
Из них, бракованных 1 рабочим допускаются 10%,
2 рабочим – 7%,
3 рабочим – 1%.
Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь является бракованной.
Решение.
Обозначим:
А – наудачу взятая деталь является бракованной.
Н1,Н2, Н3 – полная группа несовместимых событий соответственно для 1 рабочего, 2 рабочего, 3 рабочего.
Р(А) = i=13P (А/Нi) Р(Нi) = Р(А/Н1) Р(Н1) + Р(А/Н2) Р(Н2) + Р(А/Н3) Р(Н3), где Р(А/Н1) = 10,∅%100%=0,1; Р(А/Н2) = 7%100%=0,07; Р(А/Н3) = 1%100%=0,01 Р(Н1) = 0,6; Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) = 0,1.
Р(А) = 0,1 0,6 + 0,3 ∙ 0,07 + 0,1 0,01 = 0,06 + 0,021 + 0,001 = 0,082 (0,82%).
Ответ: 0,082 (0,82%).
Задача № 9.
В двух цехах изготовляется однотипная продукция. Производительность первого цеха вдвое больше чем производительность второго цеха. Изделия высшего качества составляют в среднем для первого цеха 95%, для второго цеха – 90%. Из общей продукции этих цехов наугад берется одно изделие.
Найти вероятность того, что оно окажется изделием высшего качества.
Какова вероятность того, что выбранное изделие изготовлено во втором цехе, если известно, что оно оказалось изделием высшего качества?
Решение.
Обозначим:
А – выбранное изделие является изделием высшего качества;
Н1 и Н2 – 2 гипотезы, соответственно: выбранное изделие изготовлено в первом
цехе; выбранное изделие изготовлено во втором цехе.
Р(Н1) = 23 и Р(Н2) = 13 (по условию задачи: производительность в 2оев 1 цехе, чем во 2 цехе).
Р(А/Н1) = 0,95 = , P QUOTE 95%100%∙Р (А/Н2) = 90%100%=0,9.
По формуле полной вероятности:
Р(А) = i=1nР(А/Нi) Р(Нi) = i=12Р(А/Нi) ∙ Р(Нi) = Р(А/Н1) Р(Н1) + Р(А/Н2) Р(Н2) = =0,95. 23+ 0,9∙13=131,9+0,9=13∙2,8=2830=1415=0,9(3)По формуле Байеса:
Р(Н2/А)=Р(АН2)∙Р(Н2)Р(А)=0,9 ∙131415=0,3∙1514=45,0140=928≈0,321.
Ответ:0,321.
Задача № 10.
Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно – сосудистых заболеваний составило в этих группах соответственно: 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно – сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?
Решение.
Обозначим:
А – случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно – сосудистое заболевание;
Н1 – человек придерживался специальной диеты;
Н2 – человек принадлежал к контрольной группе.
Р(Н1) = Р(Н2) = 12, т.к. вероятные события этих групп – равновероятны
Р(А/Н1) = 31%100%=0,31; Р(А/Н2) = 48%100%=0,48По формуле полной вероятности:
Р(А) = i=1nР(А/Нi) ∙ Р(Н1) = i=12Р(А/Нi) ∙ Р(Нi) = Р(А/Н1) ∙ Р(Н1) + Р(А/Н2) ∙Р(Н2) = 0,31∙12+0,48∙12=120,31+0,48=12∙0,79=0,395Искомая вероятность (по формуле Байеса):
Р(Н2/А) = РАН2∙РН2РА=0,48∙120,395=0,240,395=0,6076 60,76%Ответ:0,6076(60,76%).
Задача № 11.
В некоторый день на фабрике из 1000 изготовленных спичек 8 бракованных.
Найти относительную частоту события «выпущена бракованная спичка».
Решение.
Пусть А – событие «выпущена бракованная спичка, то относительная частота
Ответ:0,008 (0,8%).
Задача № 12.
Для оценки числа рыб в озере отловили 100 рыб, пометили их и выпустили назад
в озеро. Через несколько часов поймали 120 рыб, среди них оказалось 3 меченных.
Что можно сказать о числе рыб в озере?
Решение.
1. Пусть в озере n рыб. Тогда вероятность поймать наудачу меченную рыбу:
2. Относительная частота меченных рыб среди 120 отловленных равна: .
При большом количестве опытов, проведенных в одинаковых условиях,
вероятность события P(A) примерно равна его относительной частоте, т.е. , n=4000.
Ответ:4000.
Задача № 13.
Из ящика, содержащего 20 годных и 5 бракованных деталей, наудачу извлекают 2 детали. Чему равна вероятность того, что обе детали годны?
Решение.
1.Порядок выбора деталей неважен.
выборка неупорядоченная,
без повторений
сочетание
2. неупорядоченная выборка, без повторений, из 20 по2
Ответ:0,633(63,3%).
Задача №14.
Из 1000 произвольно выбранных деталей 4 бракуются. Сколько бракованных
окажется среди 2400 деталей? Вычислить приближенно.
Решение.
Пусть А - событие бракованных деталей.
; деталей
Ответ:10 деталей.
Задача № 15.
В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают 2
растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым?
Решение.
Всего событий – 2:
А – выбирают первое растение здоровое;
В – выбирают второе растение здоровое.
События А и В – совместные, т.к. одно не исключает появление другого.
, где ;
Ответ:0,9975(≈100%).
Задача № 16.
Из партии изделий, ОТК проверяет половину и признает годной всю партию, если среди изделий бракованных не более одной. Какова вероятность того, что партия из 20 изделий, в которой две бракованных, будет признана годной?
Решение.
Пусть A - событие, что среди проверяемых изделий бракованных не окажется.
B – событие, что среди отобранных для проверки изделий одно бракованное.
A и B – несовместимы
Ответ:.
Задача № 17.
Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные – в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
Решение.
Пусть A – событие выбора детали отличного качества
H1, H2, H3 – (события) гипотезы заключаются в том, что выбранная деталь изготовлена в соответствии в I, во II, и в III цехах.
;;.
Условные вероятности события A при условии, что имеют место гипотезы H1, H2, H3 заданы, причем
A,H1,H2,H3-независимые события
Ответ:0,78.
Задача № 18.
Что вероятнее: выиграть у равносильного партнера три партии из четырех или пять партий из восьми? (Ничья исключается).
Решение.
Всего 100% - все партии
1.Три партии из четырех – 75% очков;
2.Пять партий из восьми –
QUOTE 100%8∙5=62,5% ×5=62,5% очков.
Одерживать верх в борьбе с равносильным партнером в более продолжительном турнире сложнее, чем в менее продолжительном.
Р43Р85=С43∙(12)3∙124-3С85∙125∙128-5=4!3!∙1!∙1248!5!∙3!∙128=1∙2∙3∙46∙7∙8∙(12)-4=87>1Следовательно:
Р4(3) Р8(5).
Ответ: Вероятность выиграть у равносильного партнера три партии из четырех , чем вероятность выиграть у него пять партий из восьми.