ТЕМА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ. НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

УРОК 1.
ТЕМА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ. НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ЦЕЛЬ: ввести определение квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, распознавать квадратные уравнения среди других уравнений, определять его коэффициенты; развивать логическое мышление учащихся; воспитывать активность труда.
ТИП УРОКА. Урок усвоения новых знаний.

ХОД УРОКА.
1.Организационный этап.
2. Вступительное слово учителя.
Еще с начальной школы вы знакомы с равенствами, называются уравнением. Вы научились распознавать и решать линейные уравнения и к ним сводящиеся. Сегодня мы изучим новые уравнения, более сложные, но нужные для дальнейшей работы. Эти уравнения называются квадратными. Вы должны понять, какое важное значение они имеют в математике.
Квадратные уравнения умели решать еще вавилонские математики 2 тыс. лет назад. Это подтверждают найденные клинописные тексты задач с решениями в виде рецептов. Другие виды квадратных уравнений сведением их к геометрическим построениям умели решать древнегреческие математики. Приемы решения квадратных уравнений без геометрических построений дает в своих книгах Диофант Александрийский в 3 возрасте. К сожалению, остались только – способы решения неполных квадратных уравнений. Правила решения квадратных уравнений, сводящихся к виду ах2 + вх + с = о, где а>0, дал индийский ученый Брахмагупта в 7 веке. Хорезмский математик аль-Хорезми показал приемы решения полных и неполных квадратных уравнений, но только для положительных чисел в значении коэффициентов и для положительных корней. Общее правило решения квадратных уравнений разработал немецкий ученый М. Штифель в средних веках. Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался француз Виет, но он также не признавал отрицательные числа. После трудов нидерландского математика А. Жирара, а также ученых Декарта и Ньютона способ решения уравнений принял современный вид.
В наше время есть много разных определений квадратного уравнения. Самое распространенное определение следующее: «Уравнение, у которого левая часть – многочлен второй степени, а правая – нуль, называют уравнением второй степени или квадратным.»,
Но мы будем учить, как дается в ваших учебниках.
3.ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.
План:
- определение полного квадратного уравнения; его коэффициенты;
- определение неполного квадратного уравнения, виды неполных уравнений, способы решения.
Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2 + вх + с = 0, где х – переменная, а, в, с – данные числа, причем а
· 0.
Уравнение записано упорядочено относительно переменной х, что необязательно, но всегда первым коэффициентом считается а, т. е. число перед х во второй степени, вторым – в, что записано перед х в первой степени и с – является свободным членом уравнения.
Определение 2. Если в квадратном уравнении вида ах2+ вх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов равен 0, кроме а, то уравнение называется неполным.
Рассмотрим, какой вид имеют неполные квадратные уравнения. ( Далее объяснение ведется в виде беседы с учениками, которые рассказывают о вид нового уравнения , способах его разрешения, после чего записывается все в тетрадь ).
1) с = 0, в
· 0, тогда
ах2 + вх = 0
х ( ах + в ) = 0
х = 0 или ах + в = 0
ах = - в
х = - в : а
Уравнение имеет два корня.
2) в = 0, с
· 0 тогда
ах2 + с = 0
ах2 = -с
х2= - с : а
Если –с/а
·, то уравнение также имеет два корня : х = ±
· -с/а
Если – с/а > 0, то уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел.
3) с = 0, в= 0, тогда
ах2 = 0 и при условии существования квадратного уравнения а
· 0, то
х = 0, то уравнение всегда имеет один одинаковый развязок.
3.ПЕРВИЧНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО.
1) Задача
·291 и
· 292 из учебника «Алгебра», Бевз Г.П. выполняется устно.
Ученики распознают из данных уравнений квадратное, объясняющие, по каким признакам они отнесли его к квадратному.
2) На доске записаны квадратные уравнения, в которых надо указать его коэффициенты:
а) 2х2+ 3х – 1 = 0
б) х2 + 3х + 7 = 0
в) 0,5 х – 2х2 – 1 = 0
г) 6х2 – 9 = 0
д) 8х2 = 0
е) – 4х + х2 = 0
и) 5 - 3х + 7х2= 0
ж) 9х2 – 2х = 0
з) 1 + 0,3х2 = 0
3) Свести данные уравнения к квадратному (задания записаны на дополнительной доске, первые два выполняются на доске, остальные – самостоятельно на оценку)
а) ( 2х – 1 ) ( 2х + 1 ) = х ( 2х + 3 );
б) ( 3х + 2 )2 = ( х + 2 ) ( х – 3 );
в) ( х + 1 ) ( х + 2 ) = (2х – 1 ) ( х – 2 );
г) ( х + 3 ) ( 3х – 2 ) = ( 4х + 5 ) ( 2х – 3 )
Ответы:
а) 2х2 – 3х -1 = 0; б) 8х 2+ 13х + 10 = 0; в) х2 – 8х = 0; г) 5х2 – 9х – 9 = 0.
4) Решите неполное квадратное уравнение:
а) – 0,3х2 = 0
б) 5х2 – 4х = 0
в) 27х2 - 81 = 0
г) х2 + 9 = 0
Ответы: а) х = 0, б) х = 0 или х = 0,8; в) х = ±
· 3; г) нет решений.
5) Учащиеся самостоятельно выполняют задание №294(а), №295(а) №296(б)
Ответы:№294(а): х =0; №295(а): х =0 или х = 2; №296(б): х = ±2
6) Работа в паре.
Ученики помогают друг другу в выполнении упражнений 293(г), 294(б), 295(в), 296(а), 297(а), при необходимости обращаются к учителю за консультацией. Проверка осуществляется комментированием с места полным ответом с обоснованием.
4. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.
Для подведения итогов одному ученику дается текст математической сказки «Как спасали квадратное уравнение».
Ученики внимательно слушают, после чтения отвечают на вопросы.
а) Сказка «Как спасали квадратное уравнение.»
После суеты вокруг квадратного уравнения, все определили его выдающимся и думали, что наступил покой и мир в стране Алгебра.
К сожалению, эта мысль была ложной: такая зараза как зависть и самолюбование перешла на коэффициенты квадратного уравнения. После того как их похищали, они видели новый вид уравнения без того или иного коэффициента. И число, а решило, что оно главное среди этих чисел, потому что от него зависело быть или нет квадратному уравнению. Стало в позу и начало:
- Я, и только я, храню квадратное уравнение! Я – начало всех начал, потому что все начинается с буквы “ а “ и алфавит.
Таким считало себя число а, а числа в и с сначала спокойно слушали: по выступает а и замолчит. Только, а не остановилось и продолжало:
- Я – первый коэффициент! Только я могу квадратное уравнение сделать сводным. Я... я... я – глава всего!
Обидно было слышать такие вещи другим числам уравнения.
- Чего не хватает этому а,? Есть формула дискриминанта и корней квадратного уравнения, где все мы вместе играем важную роль, - говорило в.
- Эти формулы всегда нас красиво соединяли. Всем известно, что когда вместе, когда совместно сообщении, тогда и сила, - добавило с.
Стали в и с эту мудрость доводить до а, только опоздали они с этой мудростью. Число а, уже никого и ничего не слышало:
- Неудовлетворительные? Убегайте! Нам с уравнением вы и не нужны!
Не нужны, так не нужны! И решили в и с выйти из уравнения. Много найдется выражений, где их ждут и примут в свою семью.
- Если хотите, оставайтесь, - оказало им услугу а, - только с условием, что вы признаете меня важным коэффициентом, как президента.
- Совсем с ума сошло а! Надо его остановить. Только когда мы уйдем, он поймет, что все мы как братья одинаковые, - думали в и с и вышли из квадратного уравнения.
И стало квадратное уравнение:ах2 = 0
- Какое красивое уравнение! Всем известно, что краткость – сестра таланта. Какое я талантливое! – похвалялось собою число а.
- Осталось всем показать, как просто найти корень уравнения.
Это была правда: решение нашлось быстро, потому, что при условии, что а ( 0 корень уравнения всегда равен 0. Один корень и одно значение. И сразу пропал спрос на такое уравнение: оно не нужно было ни задачам, ни системам, ни для второго дела. От побега в и с уравнения потеряло многообразие решений, поэтому уравнение ах2 = 0 стали все забывать. Проснулось, а от своего хвастовства и понятно, что потеряв друзей, оно потеряло лучшую часть своей жизни. Плохо стало числу а и очень стыдно.
Как вернуть в и с ? Что сделать, чтобы они простили мне, - думало а. в и с любили свое квадратное уравнение и узнав о его несчастье, с радостью вернулись к дому. А также приняли извинения а и снова составили новые квадратные уравнения такое, которое нужно всем и всюду. Они не держали обиды на а и хорошо усвоили мудрость: только с друзьями вместе они имеют силу и значение.
б) Вопросы к классу:
- Сформулируйте определение квадратного уравнения.
- Как называются числа а, в, с ?
- В любом случае получим неполное квадратное уравнение?
- Приведите примеры таких уравнений.
- Как решается уравнение вида ах2 + вх = 0?
- Сколько корней имеет уравнение?
- В каком случае уравнение вида ах2 +с = 0 не имеет решений?
- Почему в квадратном уравнении коэффициент а
· 0 ?
5. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.
Читать § 39, знать определение полного и неполного уравнений, место коэффициентов.
Письменно выполнить № 293 – 296 ( которые остались), № 299.
























15