Презентация Формирование у учащихся культуры математических записей при решении стереометрических задач

Формирование у учащихся культуры математических записей при решении задач и упражнений Учитель математики Кормовской ОШ Парафилова Е.А. Одним из способов обеспечения высокого уровня математической подготовки являются логические обоснования и культура математических записей и графических работ. Часто учащиеся делают громоздкие записи, «цитируют» формулировки аксиом, теорем, определений, на которые ссылаются, не обосновывают основные моменты задач. Все это приводит к нарушению логики и последовательности доказательств. Типичные ошибки связаны с неправильным использованием математических терминов и символики, некорректно выполненными рисунками, графиками, схемами. Не следует ограничивать инициативу учащихся в оформлении работ, необходимо показывать различные формы записей решений, ориентируя учащихся на то, что они должны быть четкими, логичными, достаточно краткими. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К МАТЕМАТИЧЕСКИМ ЗАПИСЯМ - каждая математическая запись, рисунок должны быть четкими, аккуратными и удобными для чтения;- записи должны быть логичными, последовательными, краткими; отдельные части доказательств и решений необходимо отделять друг от друга, сопровождая необходимыми объяснениями;- с целью экономии времени при оформлении записей можно использовать символику теории множеств, однако делать это следует математически грамотно;- ошибочные записи не исправляются, а зачеркиваются одной чертой, исправления с помощью «штриха» или другими средствами не допустимы. ОБОСНОВАНИЯ ТРЕБУЮТ: - угол прямой с плоскостью;- линейный угол двугранного угла;- положение высот;- центров вписанного (описанного) шара, вписанной (описанной) окружности, если это используется при решении задачи;- расстояние от точки до прямой, от прямой до плоскости, между плоскостями;- вид сечения, положение взаимного расположения комбинации тел, если это используется при решении. ПРИ ЛОГИЧЕСКОМ ОБОСНОВАНИИ МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ: - математические утверждения, которые содержатся в теоретическом материале школьного учебника;- опорные задачи, на которые ученики в процессе обучения опирались, решая более сложные задачи;- свойства, которые изучены учениками на индивидуальных занятиях или самостоятельно, причем каждый учитель должен постоянно повторять вместе с теоретическим материалом опорные факты. ЗАДАЧА 1 В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α. Определите полную поверхность пирамиды, если расстояние от основания ее высоты до боковой грани равно a. РЕШЕНИЕ. Пусть SABC данная правильная треугольная пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник ABC. SO- высота пирамиды, О- центр основания, SD- медиана (высота), проведенная к основанию СВ равнобедренного Δ SBC, AD- медиана (высота) ΔABC. CB┴SD, CB┴AD, следовательно, ребро CB┴ (SDA) (по признаку перпендикулярности прямой к плоскости). Следовательно, ‹SDA- линейный угол двугранного угла с ребром BC, ‹SDA = α. (SOD) ┴ (SCB) (по признаку перпендикулярности плоскостей). В (SOD) проведем OM ┴ SD, следовательно OM ┴ SD, следовательно OM ┴ (SCB) (по свойству прямой, лежащей в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярной их линии пересечения). OM=a. ЗАДАЧА 2 Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 4, 13 и 15 см. Высота этой пирамиды проходит через вершину меньшего основания. Расстояние от вершины пирамиды до прямой, которая содержит меньшую сторону основания, равно 37 см. Найдите объем пирамиды. РЕШЕНИЕ. Пусть основанием пирамиды SABC является ΔABC со сторонами AB = 15 см, BC = 13 см, AC = 4 см, высота пирамиды SB проходит через вершину B меньшего ‹ABC основания. В ΔABC ABІ>ACІ+BCІ (225>16+169), следовательно, ‹BCA тупой. Расстояние SM от вершины пирамиды до прямой AM, которая содержит меньшую сторону AC основания; равно 37 см. SM – наклонная к плоскости основания пирамиды, BM – ее проекция на эту плоскость, SM┴AC, следовательно BM┴AC (по теореме о трех перпендикулярах). ЗАДАЧА 3 Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом β. Высота этого треугольника, проведенная к гипотенузе, равна h. Боковая грань, которая содержит катет, прилежащий к данному углу, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены к плоскости основания под углом α. Найдите объем пирамиды. РЕШЕНИЕ. Пусть SABCD данная пирамида, основанием которой является прямоугольный ΔABC с острым углом β ( ‹ACB = 90˚, ‹ABC = β) и высотойCN = h. Грань SBC, содержащая катет BC, прилежащий к данному углу β, перпендикулярна к плоскости основания пирамиды. Проведем в ΔSCB SO┴BC, значит, SO – перпендикуляр к плоскости основания пирамиды ( по свойству прямой, лежащей в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярной их линии пересечения). SO – высота пирамиды. OC – проекция наклонной SC на плоскость основания пирамиды, OC┴AC, следовательно, SC┴AC ( по теореме о трех перпендикулярах). Значит, ребро AC перпендикулярно плоскости SOC ( по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Значит, ‹SCB – линейный угол двугранного угла с ребром AC; ‹SCB = α. Опустим из точки O перпендикуляр OM на гипотенузу AB. OM – проекция наклонной SM на плоскость основания пирамиды, OM ┴AB, следовательно, SM┴AB. Значит, ребро AB перпендикулярно плоскости SMO. Значит, ‹SMO – линейный угол двугранного угла с ребром AB; ‹SMO = α. Прямоугольные треугольники SOM и SOC равны ( SO – общий катет, ‹SMO = ‹SCO = α). Следовательно, OM = OC. Прямоугольные треугольники AMO и ACO равны ( AO – общая гипотенуза, OM = OC). Следовательно, ‹CAO = ‹MAO = 45˚-β/2. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ