Рациональный выбор системы координат при решении задач по механике
Рациональный выбор системы координат при решении задач по механике
В повседневной жизни мы настолько привыкаем к движе ниям тел относительно Земли, что, разбирая с учащимися разные задачи по механике, учителя, как правило, ориенти руют их лишь на использование системы координат, связан ной с Землей. При этом решения для определенного круга задач о движении двух и более тел получаются достаточно громоздкими. Между тем если систему координат связать с одним из двух движущихся тел, то в ряде случаев (напри мер, если оба тела движутся равномерно) задача намного упрощается. Я считаю, что очень важно обучить школьников навыкам рационального выбора системы отсчета при решении конкретных задач. Заложить основы этому можно в процессе решения задач по кинематике. Такую работу я начинаю с выполнения учащимися простейших упражнений на пер вых же уроках и постепенно усложняю предлагаемые им задания.
По моему мнению, приобретение навыков рационального выбора системы отсчета при решении задач обеспечит такая их последовательность.
1. После того как ученики ознакомились с понятиями «ме ханическое движение», «траектория», предлагаю им качественные задачи, в которых требуется выяснить, движется или находится в покое данное тело относительно других тел. Например, учащиеся решают задачи типа: «Поезд идет равномер но и прямолинейно. Движется или находится в покое стакан, стоящий на столике вагона?»; «Движется или находится в покое книга, лежащая на столе преподавателя?» и т. п. Далее рассматриваем задачи на определение траектории движения тела в разных системах отсчета.
2. После изучения сложения перемещений и скоростей пред лагаю задачи на движение, в условиях которых указано, в ка кой системе отсчета требуется определить искомые величины. При этом сначала рассматриваются простые задачи типа: «Поезд идет со скоростью 80 км/ч. С какими скоростями движутся пассажир, сидящий в вагоне этого поезда, и дерево, растущее на обочине дороги, в системе координат, жестко связанной а) с поездом? б) с Землей?»
3. Решаются задачи на движение, когда выбор рациональ ной системы отсчета предоставляется учащимся. К таким за дачам относятся те, в которых требуется определить относи тельные величины при рассмотрении движения двух или не скольких тел.
На задачах этого типа стоит остановиться более подробно. Следует подчеркнуть учащимся (и показать путем сравнения), насколько проще решаются эти задачи, если систему координат связать с одним из движущихся тел. Рассмотрим, например, такую задачу: «Идущая вверх по реке моторная лодка встре тила сплавляемый по течению реки плот. Через час (
·=1ч) после встречи лодка повернула назад и поплыла вниз по тече нию с прежней относительно воды скоростью. Через сколько времени после поворота лодка догонит плот?»
Почти всегда учащиеся начинают решать ее в системе координат, связанной с берегом (Землей). Получается довольно громоздкое решение. Между тем задача решается даже устно, если рассмотреть движения тел в системе координат, связан ной с водой или с плотом (что одно и то же). В этой системе координат вода и плот неподвижны, а скорость лодки одна и та же во всех направлениях. Следовательно, если лодка удалялась от плота в течение
·=1ч, то и догонит она его за такое же время.
Следует обратить внимание учеников на то, что результат не зависит ни от скорости течения реки, ни от скорости лодки, ни от направления ее первоначального движения. Решение будет иметь такой же вид и в том случае, если лодка встретила плот, двигаясь по течению, а затем через определенное время повер нула назад и поплыла против течения до встречи с плотом.
Вот еще показательный при мер того, как важен для решения задачи рациональный выбор систе мы отсчета. Решается задача: «Два тела начали движение одновременно из точек А и В с одинаковыми по модулю скоростями
·1 и
·2, как показано на рисунке. Каково наи меньшее расстояние между ними, если известно: АD=a, BD=b, угол ADB=а?»
Решить данную задачу в си стеме координат, связанной с Зем лей, настолько сложно, что у уча щихся общеобразовательной школы не хватит математической подготовки. Для этого необходимо было бы предста вить расстояние между телами в виде функции от времени и иссле довать ее на минимум. Если же рассмотреть движения тел в системе координат, связанной с телом В, то задача решается легко. В этой системе координат тело В покоится, а тело А движется со скоростью
· =
·1 -
·2 по направлению АС. Тогда ближайшим расстоянием между телами будет расстояние BE
(BE [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] AC), определение которого не представляет большой трудности.
Треугольник скоростей равнобедренный, так как
·1 =
·2. Следовательно, равнобедренным будет и
·АDС.
Тогда угол СВЕ =
·/2.
ВС = ВD – CD = b – a, и
из
·СВЕ имеем ВЕ = ВС cos
·/2,
или ВЕ = (b - a) cos
·/2.
4. Далее рассматриваем задачи, решения которых как бы распадаются на два этапа. Причем на разных этапах исполь зуем разные системы отсчета. Для примера воспользуемся при веденной в п.1 задачей в несколько ином варианте: «Моторная лодка, идущая вверх по реке, встречает под мостом плот. Повернув назад через t = 0,5 ч после встречи, лодка догоняет плот на расстоянии s = 1,8 км от моста. Определить скорость течения реки, если скорость лодки относительно воды была постоянной».
Рассмотрев движение тел в системе координат, связанной с поверхностью реки, выясняем, что время t, в течение которого лодка двигалась вверх по реке, одинаково со временем движе ния лодки по течению (когда она догоняла плот). Следователь но, время движения плота относительно моста равняется 2t.
Теперь рассмотрим движение плота в системе координат, связанной с берегом. Плот, двигаясь равномерно со скоростью реки u, за время 2t проходит расстояние s. Следовательно, u = s/(2t), u = 0,5 м/с.
Перпендикуляр, ортогональное дополнение, взаимно простые числа, независимые случайные события, наименьший нижний элемент решетки, нижайший тип, универсальный подтип, сравнимость элементов, математичекий символ