Занятие факультативного курса по математике в 9 классе по теме Решение квадратных уравнений с параметрами

ЗанятиЕ факультативного курса по математике в 9 классе
Тема: Решение квадратных уравнений с параметрами
Цель: – Отработать алгоритм решения квадратных уравнений с параметрами с применением теоремы Вита;
Продолжить развитие логического мышления учащихся;
Привить интерес учащихся к решению уравнений с параметрами.
Ход урока:
I. Актуализация:
1) Какое квадратное уравнение называется приведенным?
х2 + рх + q = 0
2) Сформулировать теорему Виета.
13EMBED Equation.31415
3) Не выполняя вычислений корней уравнений, определить знаки корней уравнений:
1. х2 – 6х – 7 = 0 2. х2 – 2х + 3 = 0
3. х2 + 2х – 21 = 0 4. х2 + 4х + 2 = 0
5. х2 – 5х + 1 = 0 6. 2х2 – 23х + 6 = 0
7. х2 + ах – 7 = 0 8. 3х2 – 6х + 32 = 0
1) D = 36 + 28 = 64 > 0 – уравнение имеет два действительных корня.
13 EMBED Equation.3 1415– по теореме Виета. т.к. произведение корней отрицательно, то корни разных знаков (произведение двух чисел отрицательно, если множители разных знаков). Ответ: Корни разных знаков.
2) D = 4 –12 < 0 – квадратное уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет.
5) D = 25 – 4 = 21 > 0 – уравнение имеет два действительных корня.
13 EMBED Equation.3 1415– по теореме Виета. Произведение корней положительно ( корни одного знака, их сумма – число отрицательное ( х1 < 0; x2 < 0. Ответ: корни отрицательны.
7) D = а2 + 28 > 0. При любых значениях а, т.к. а2 ( 0 ( а2 + 28 > 0.
13 EMBED Equation.3 1415– Произведение корней отрицательно ( корни разных знаков. Ответ: корни разных знаков при любых значениях а.
II. Решение уравнений с параметрами:
1) Найдите значение а, при которых корни уравнения х2 – 2х(а + 1) + (а2 + 2а – 3) = 0 положительны.
Решение:
х2 – 2х(а + 1) + (а2 + 2а – 3) = 0 – приведенное квадратное уравнение по теореме Вита
13EMBED Equation.31415
Чтобы корни уравнения были положительны, необходимо, чтобы сумма корней была числом положительным при условии существования этих корней.
13EMBED Equation.31415
а2 + 2а + 1 – а2 – 2а + 3 = 4 > 0 ( корни уравнения существуют при любом значении а.
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
· 13EMBED Equation.31415 а > 1
При а > 1 корни уравнения положительны.
2) Найдите значения m, при которых корни уравнения х2 + 3mx – (m –1,25) = 0 отрицательны.
Решение:
х2 + 3mx – (m –1,25) = 0 – приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:
13EMBED Equation.31415
Чтобы корни были отрицательны, необходимо, чтобы их сумма была отрицательным числом, а произведение положительным числом при условии, что эти корни существуют.
а) Дискриминант:
D = 9m2 + 4m – 5 > 0 при m < -1; m > 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 0 < m < 1,25
в) Сопоставим полученные решения.


13EMBED Equation.31415 < m < 1,25
Ответ: при 13EMBED Equation.31415 < m < 1,25 корни уравнения отрицательны.
3) При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х2 – (2 + а)х + а = 0 будет наименьшей.
а) Определим значения а, при которых уравнение имеет корни: D = (2 + а)2 – 4а = 4 + 4а + а2 – 4а = а2 + 4 > 0 при любом значении а, т.к. а2 ( 0 ( а2 + 4 > 0.
б) Это уравнение приведенное квадратное ( по теореме Виета 13EMBED Equation.31415. Отсюда найдем сумму квадратов корней данного уравнения.
в) (х1 + х2)2 = (2 + а)2
х12 + 2х1х2 + х22 = 4 + 4а + а2
х12 + х22 = 4 + 4а + а2 - 2х1х2 = 4 + 4а + а2 – 2а = а2 – 2а + 4.
г) Функция у = а2 + 2а + 4 квадратичная, первый коэффициент равен 1 > 0 ( свое наименьшее значение функция принимает в вершине параболы: 13EMBED Equation.31415.
Ответ: при а = 1 сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей.
III. Упражнения для самостоятельной работы:
а) При каких значениях р корни уравнения х2 + 6х + р + 3 = 0 будут отрицательны?
б) При каких значениях параметра р корни уравнения х2 – 2рх + 2р2 – 9 = 0 будут положительны?
в) При каких значениях k корни уравнения х2 + (k2 – 4k – 5)x + k = 0 равны по модулю?





Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native