Методический кейс Применение производной и интеграла
Городской методический центр
Методический кейс
Применение производной и интеграла
Из опыта работы
учителей математики-
членов городской
динамической группы
руководитель группы
Кирилюк Н.А.
учитель математики высшей категории,
“Старший учитель”,
УВК “ОШ І-ІІ ст. №1-лицей “Спектр”
Торез
2011
Применение производной и интеграла
Составители:
Кирилюк Н.А.- учитель математики высшей категории,
“Старший учитель”;
Беляева Л.С. – учитель математики высшей категории,
“Учитель-методист”;
Захарова З.Т.- учитель математики высшей категории;
Шамдам Н.А. – учитель математики высшей категории,
“Старший учитель”;
Беляева Н.А.- учитель математики І категории;
Руденко Е.Г.- учитель математики І категории.
Методический кейс является дидактическим материалом
для 11 профильных классов общеобразовательных учебных заведений. Материал пособия отвечает действующей программе по алгебре и началам анализа. Поможет учителям и учащимся повысить уровень учебных достижений до желаемого результата.
Пояснительная записка
Настоящий кейс является учебно-методическим пособием для профильного обеспечения учащихся 11 классов по развитию навыков применение производной и интеграла к решению, как физических задач, так и математических: исследование функции и построение графиков, вычислению площадей, решению уравнений.
Опираясь на материал школьных учебников, в пособии обсуждаются алгоритмы исследования функции на монотонность, нахождение точек экстремума, наибольшего и наименьшего значения функции, построение графиков функции, вычисление площадей фигур. Приведены образцы решения задач на применение производной и интеграла.
Система практической части по каждой теме представлена для трех уровней: профильного, академического, стандартного. С целью закрепления и контроля предлагается система тестовых заданий.
Содержание
1.Методические рекомендации
1.1.Приложение производной 5
1.2.Интеграл и его приложения 6
Практическая часть
2.1. Профильный уровень 11
2.2. Академический уровень 23
2.3. Стандартный уровень 35
3. Тест для самоконтроля 46
1.1. Приложение производной
При построении графиков функций очень важно уметь находить промежутки возрастания, убывания и постоянства функции (то есть промежутки монотонности), а также ее точки экстремума.
1.Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции рекомендуется:
Найти область определения функции, если она не указана.
Найти производную и критические точки функции , т.е. точки из области определения функции , к которых её производная равна нулю или не существует. Критическими точками область определения разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак.
Установить знак производной на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале производная функции положительна (отрицательна), то на этом интервале функция возрастает (убывает)
2. Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x) ,если для всех х из некоторой окрестности этой точки, кроме х = x0,если выполняется неравенство f(x)
f(x0)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Для нахождения точек экстремума функции надо:
Найти производную и критические точки функции.
Исследовать поведение знака производной в некоторой окрестности каждой критической точки. Если функция непрерывна в критической точка x0 , то x0 - точка экстремума функции. При этом, x0 - точка максимума, если знак меняется с плюса на минус, и минимума, если знак меняется с минуса на плюс. Если же знак производной сохраняется при переходе через рассматриваемую точку, то функция не имеет экстремума в этой точке.
3. Решение многих практических задач сводится к определению условий, при которых исследуемая величина принимает своё наибольшее или наименьшее значения. Подобные задачи решаются с помощью производной. Вспомним, прежде всего, понятие наибольшего и наименьшего значений функции.
Значение функции y=f(x) в некоторой точке x0 множества Х называется наибольшим (наименьшим) значением функции на этом множестве, если для каждого х их Х выполняется неравенство f(x)
· f(x0 ) (f(x)
· f(x0 )).
Обратите внимание на то, что даже ограниченная функция может не иметь на заданном промежутке наибольшего или на наименьшего значения. Так, функция
не имеет на отрезке [0;1] наибольшего значения.
Ее наименьшее значение на этом промежутке равно 0. (рис.1)
рис.1
Известно, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.
Что бы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции, имеющий на заданном отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Иногда при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции полезно использовать следующий факт.
Если на некотором промежутке непрерывная функция y=f(x) имеет единственную критическую точку x0 и x0 – точка максимума (минимума), то f(x0 ) будет наибольшим (наименьшим) значением функции на этом промежутке.
4. Производная помогает при решении уравнений, неравенств, доказательстве тожеств. При этом мы будем опираться на следующие свойства функций.
Если непрерывная функция f возрастает или убывает на некотором промежутку, то на этом промежутке уравнение f(x)=0 имеет не более одного корня.
Если f(x)=0 на некотором промежутке, то f(x)=const на этом промежутке.
1.2.Интеграл и его приложения
Часто приходится решать задачи, обратные тем, которые рассматривались при изучении производной: по известной скорости тела восстанавливать закон его движения, по ускорению - скорость, по угловому коэффициенту касательной к кривой- уравнение самой кривой и т.д. Решение каждой из сформулированных задач сводится к нахождению функций по заданной её производной. Восстановление функции по её производной называется интегрированием. Интегрирование – операция, обратная дифференцированию.
1. Допустим, нужно найти функцию F(x) по её производной f(x), т.е. найти такую функцию F(x), что F'(x)=f(x). В этом случае функцию F(x)называют первообразной функции f(x). Таким образом, операция интегрирования состоит в отыскании первообразной данной функции.
В отличие от дифференцирования, операция интегрирования приводит не к одной конкретной функции ,а к целому семейству функций.
Если y=F(x) – первообразная функции y=f(x) на некотором промежутке то функция y=f(x) имеет на этом промежутке бесконечно много первообразных и все они имеют вид y=F(x) + С , где С – произвольная постоянная.
Это свойство первообразных функций имеет простой геометрический смысл:
Графии любых двух первообразных функций можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ординат.
Чтобы из множества первообразных выделить одну, нужно задать дополнительные условия, например, значение первообразной в некоторой точке. Геометрически это означает что выделение кривой, проходящей через заданную точку.
2. С понятием первообразной тесно связано другое понятие математики – понятие интеграла. С помощью интеграла можно найти перемещение прямолинейно движущегося тела, площади фигур ,объемы тел, работу переменной силы и многие другие величины.
Интеграл 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 есть перемещение прямолинейно движущейся со скоростью V(t) материальной точки за промежуток времени 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 , то этот интеграл можно трактовать как путь, пройденный точкой за промежуток времени 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
В этом заключается физический смысл интеграла.
Рассмотрим теперь фигуру, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции , прямыми и осью х (рис.2). Эта фигура называется криволинейной трапецией и её площадь равна
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
В этом заключается геометрический смысл интеграла.
Для вычисления интеграла обычно используют формулу Ньютона-Лейбница: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 – одна из первообразных функции13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 на отрезке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
рис.2
Таким образом, интеграл равен приращению первообразной подынтегральной функции на рассматриваемом отрезке.
3. С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и более сложных фигур. В этих случаях обычно используют следующие свойства площадей:
Если фигуру разбить на конечное число непересекающихся частей, то её площадь равна сумме площадей этих частей.
Площадь фигуры сохраняется при движении, в частности, при параллельном переносе и при преобразовании симметрии.
Так, площадь фигуры AabB, легко найти, если заметить, что эта фигура получена симметричным отображением криволинейной трапеции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 относительно оси х. Таким образом, имеем
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Профильный уровень
Применение производной и интеграла
Задача 1
Из прямоугольного листа жести размером 5 на 8 надо изготовить открытую коробку наибольшего объема, вырезая уголки, как показано на рисунке.
Решение
Обозначим через х длину стороны вырезаемого квадрата. Тогда длины сторон прямоугольника уменьшатся на 2х и объем коробки будет равен:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
При этом х может меняться в следующих пределах: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Заметим сразу, что в крайних точках 0 и 2,5 объем равен 0. Находим критические точки функции:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Отметим, что х2 не принадлежит области определения. При х=1 объем максимален: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 18.
Задача 2
В данный шар вписать цилиндр наибольшего объема.
Решение
Обозначим через R радиус шара, а через r и h соответственно радиус основания и высоту вписанного цилиндра.
Используя теорему Пифагора, получим равенство : 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Будем считать h переменной. Тогда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Заметим, что h изменяется в пределах от 0 до 2 R, причем, на концах отрезка цилиндр вырождается, объем его равен 0.
Находим критические точки:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
При этом значении h объем будет максимальным:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задача 3
Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?
Решение
Из физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона луча света к освещаемой маленькой площадке.
Иными словами, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Где Е – освещенность на краю стола, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 h – расстояние от лампы до стола.
Вместо функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 можно рассмотреть функцию 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 При этом вместо h можно взять переменную z = h2 и найти критические точки Т как функцию от z:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Итак, освещенность максимальна, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задача 4
Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном и объемом 32м3, чтобы на облицовку его стен и дна было израсходовано наименьшее количество материала.
Решение
Обозначим длину стороны основания бассейна через х, а высоту – через у.
Тогда V(x,y) = x2y= 32.
Площадь боковой поверхности бассейна вместе с площадью его дна равна: S=x2+4xy. Найдем у из равенства x2y= 32, и подставив его значение в последнее равенство, получим такую функцию от х: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Найдем производную этой функции: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 Решим уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 находим критическую точку х=4.
Так как существует только одна критическая точка, то она и является точкой минимума функции S(x). Следовательно, наименьшие размеры бассейна с данным объемом V=32м2 таковы: х=4м, у=2м.
Ответ: х=4м; у=2м.
Задача 5
Сосуд с вертикальной стенкой и высотой h стоит на горизонтальной плоскости. На какой глубине нужно разместить отверстие, чтобы дальность струи из отверстия была наибольшей (скорость вытекающей жидкости, по закону Торричелли, равна 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415где х – глубина отверстия, g – ускорение свободного падения)
Решение.
Обозначим через Н расстояние в сосуде от горизонтальной плоскости, а через L -- расстояние точки А от стенки сосуда. Тогда L=vt, где t – время вытекания воды из отверстия на плоскость (в точку А).
Из курса физики известно, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Тогда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Найдем производную 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 Решим уравнение :13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 -- критическая точка. Так это единственная критическая точка, то она и есть искомой.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задача 6
Предположим, что в точку О помещен единичный электрически заряд. Он создает электрическое поле. Известно, что на другой единичный заряд, помещенный в точку х, действует сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, т.е. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 Найти работу электрического поля по перемещению единичного заряда из точки х1 в точку х2.
Решение
Применяя формулу для работы 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, получим 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Для функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, первообразная U(x)=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Получим:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415= 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415= 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задача 7
Пирамида Хеопса представляет собой правильную четырехугольную пирамиду высотой 147м, в основании которой квадрат со стороной 232м. Она построена из камня, плотность которого 2,5г/см3. Найти работу против силы тяжести, затраченную при постройке.
Решение.
Проведем вертикально вверх ось х с началом у основания пирамиды. По этой оси будем измерять высоту подъема камней. Пусть высота пирамиды равна Н, сторона основания а, а плотность камня 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Обозначим через А(х) работу, которую надо совершить для постройки пирамиды от основания до высоты х. Найдем сначала сторону у квадрата, получающегося в горизонтальном сечении пирамиды на высоте х. из подобия треугольников получаем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Рассмотрим тонкий слой пирамиды, расположенный на расстоянии х от основания. Пусть толщина слоя равна dx. Слой можно приблизительно считать параллелепипедом. Масса его dm равна: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
При подъеме этого слоя на высоту х была проделана работа dA, равная (gdm)x, где g- ускорение силы тяжести, т.е. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Отсюда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 =
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Подставляя числовые данные а=232м, Н=147м, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
получаем А=2,37*1012 Дж=2,4*105 тонно-километров.
Ответ: 2,4*105 тонно-километров
Задача 8
Квадратная пластинка со стороной а погружена в воду перпендикулярно ее поверхности, причем верхнее основание пластины находится на поверхности. Найти давление воды на пластину.
Решение
На маленькую площадку площадью dS, расположенную на глубине х от поверхности, давит столб воды в виде цилиндра с основанием dS и высотой х. Давление dp будет при этом равно 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415плотность воды,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415масса цилиндра. Возьмем полоску пластины шириной dx, находящуюся на глубине х. Её площадь dS равна adx. Отсюда dp=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Получаем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задача 9
Экспериментально установлено, что продуктивность труда работника приближенно выражается формулой: f(t)= -0,0033t2 -0,089t +20,96, где t -- рабочее время в часах. Вычислите объем выпуска продукции за квартал, считая рабочий день восьмичасовым, а количество рабочих дней в квартале – 62.
Решение.
Объем выпуска продукции в течение смены является первообразной для функции, выражающей продуктивность труда. Поэтому 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
В течение квартала объем выпуска продукции составит:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: 10185 ед.
Задача 10.
Экспериментально установлено, что зависимость расхода бензина автомобиля от скорости на 100км пути выражается по формуле: Q=18 – 0,3v+0,003v2, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 Определить средний расход бензина, если скорость движения 50-60км/час.
Решение
Средний расход бензина составляет :
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: 10,6л
Задание 11
Из трёх одинаковых досок шириной а нужно сделать жёлоб наибольшей пропускной способностью, поперечное сечение которого имело бы форму равнобокой трапеции.
Решение
Очевидно, что пропускная способность жёлоба будет наибольшей, если наибольшей будет площадь его поперечного сечения ,где AB > a).Обозначим угол при большем основании трапеции через х. Выразим площадь S трапеции как функцию от х.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Итак, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Найдем производную этой функции: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. На интервале 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 имеет единственное решение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Следовательно, на этом интервале функция имеет единственную критическую точку 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,то производная переходя через точку 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,меняет знак с плюса на минус, то есть 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415-точка максимума функции, и, следовательно, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415-наибольшее значение функции на промежутке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.Итак, доски надо соединить друг с другом под углом 120°.
Задание 12
Доказать неравенство 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение
Перепишем данное неравенство в виде 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 или 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 на промежутке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Так как эта функция нечётная и f(x) >0 при x >0,то достаточно найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Найдем производную функции: f(x)=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. На интервале 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Содержится единственная критическая точка х=1 функции f(x), которая является точкой максимума этой функции. На основании правил нахождения наибольшего и наименьшего значений f(1)=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415является наибольшим значением функции f(x)=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Тогда f(-1)= 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 являются её наименьшим значением на интервале 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.Отсюда заключаем, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, что и требовалось доказать.
Задание 13
Доказать неравенство 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Рассмотрим функцию f(x)=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Она определена на всей числовой оси.
Исследуем её на монотонность. Найдем производную функции:
f(x)=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 . Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 при x=0, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 при x>0, то функция f(x) возрастает на промежутке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и убывает на промежутке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Следовательно, f(0)=2 – наибольшее значение функции на интервале 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Поэтому 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то последнее неравенство имеет вид 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 или 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, что и требовалось доказать.
Задание 14
Доказать, что при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 имеют место неравенства: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ;13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение
При 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 имеем очевидное неравенство 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.Применим свойство монотонности интеграла, положив 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Функции f и g удовлетворяют всем условиям используемого утверждения на промежутке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Поэтому для произвольного x
·0 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, т. е. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Применяя тот же метод к полученному неравенству можно записать: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ,или 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ещё раз использую то же утверждение к полученному неравенству, будем иметь 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 или 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Задание 15
Два корабля плывут с постоянными скоростями 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141520 км/ч и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141530 км/ч по прямым, угол между которыми 60°, в направлении точки пересечения этих прямых. Найдите наименьшее расстояние между кораблями, если в начальный момент времени расстояние кораблей от точки пересечения прямых были соответственно 10 км и 20 км.
Пусть через t часов от начального момента первый корабль окажется в точке А,
второй – в точке В, R(t) км- расстояние АВ.
По условию ВС=20 – 30t, AC=10-20t. Тогда по теореме косинусов имеем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415или
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Следовательно, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Требуется найти наименьшее значение этой функции на промежутке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Функция R(t) определена и дифференцируема на всей числовой оси, причем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 . Следовательно, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415- единственная на 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415критическая точка, которая является точкой минимума, так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, а 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Значит, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415- минимальное расстояние между кораблями, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415км.
Академический уровень
Задание 1
Найти промежутки убывания и возрастания функции
Решение:
Ответ: при х є(0;1) функція убывает, при х є(1;
· ) функція возрастает
Задание 2
Исследовать функцію f(x)=х3-3х2+4 с помощью производной и построить ее график.
Решение:
4) х=0точка максимума, х=2точка минимума.
5) f(0)=4, f(2)=4
Используя результаты исследования, строим график функции: f(x)=х3-3х2+4
Задание 3
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Решение:
Ответ:
Задание 4
Найти длины сторон прямоугольника с периметром 20 см.,имеющего наименьшую диагональ.
Решение:
Пусть а и в длины сторон прямоугольника, d – его диагональ. Тогда а+в=10. По теореме Пифагора d2=а2+в2. По условию задачи а > 0, в > 0,значит 0 < а < 10.d2=а2+(10-а)2=2а2-20а+100, 0 < а < 10.
Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения а, при котором функция d(а)=2а2-20а+100 принимает наименьшее значение на интервале(0;10).
Найдем призводную d’(а)=4а-20.
Критическая точка а=5 є(0;10).
а=5 – точка минимумСледовательно, наименьшее значение функція d(а) на интервале (0;10).принимает в точке а=5.При этом в=5.
Ответ:5см.,5см.
Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.
По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по одному из достаточных условий экстремума:
1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0
. Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -, то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0)
· 0, то в точке x0 функция f(x0) имеет максимум, если f ''(x0 ) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0.
Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).
Задание 5
Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:
·(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10
Решение:
·'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 qextr = 4
При q < qextr = 4
·'(q) < 0 и прибыль убывает
При q > qextr = 4
·'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.
Пример: Извлечь квадратный корень из 3654
Решение: , x0=3654. Легко вычисляются значения f(x) и
при x = 3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:
Ответ:
·3654
·60,45
Ответ: 35Дж.
Задача 6
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0.
Решение:
Тогда площадь фигуры равна 9+4,5=13,5
Ответ: 13,5
Пример 2. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
Решение:
Согласно условию, . Следовательно,
Ответ: 83м.
Задание 7
Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?
Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:
Ответ: 200м.
Задание 8
Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью v = (39,29,8t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,29,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим
Ответ: 78,4 м.
Задание 9
Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 0,2 = 0,02 (м), b=0,32 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим
Ответ: 35Дж.
Задание 10
Доказать, что из всех прямоугольников, имеющих данный периметр 2р, наибольшую площадь имеет квадрат.
Решение 1. Обозначим длину одной стороны прямоугольника через х. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 максимум, то он будет и наибольшим значением функции в этом интервале. Другая сторона 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 т.е. прямоугольник-квадрат.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение 2. Имеет: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.На основание теоремы о средних 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 при х=р-х; 2х=р; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415и т.д. как решении 1.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задание 11
Основание треугольника равно а, его периметр 2р. Определить его две других стороны так, чтобы его площадь была наибольшей.
Решение 1. Пусть вторая сторона b=x ,третья c=2p-a-x.По формуле Герона имеем: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,тогда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Функция S достигает наибольшего значения, когда ее подкоренное выражение будет наибольшим. В нем первые два множителя постоянны, поэтому их можно не учитывать и определить наибольшее значение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,тогда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.Решая уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,находим 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.Поскольку b=с, то рассматриваемый треугольник - равнобедренный. Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,то при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 функции S максимальна, а так как в интервале 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415этот максимум единственный, то он совпадает с наибольшим значением.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение 2. Имеем:13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,откуда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415и т.д. как в решении 1.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задание 12
Найти хотя бы одну из первообразных для функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение 1.
Если F есть первообразная для f, а G- первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. Поэтому, так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415есть первообразная для 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,а 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 - первообразная для 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 есть первообразная для 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение 2. Если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kF.Поэтому, так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, есть первообразная для 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то функция 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,- первообразная для 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение 3. Если F есть первообразная для f, а k и b- постоянные 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,то 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415есть первообразная для 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,поэтому, так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 есть первообразная для 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,то и функция 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,кроме функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,найденной в решении 1 и 2,также является первообразной для 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Задача 13
Мощность Р, отдаваемая электрическим элементом, определяется по формуле 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
где Е – постоянная электродвижущая сила элемента;
r – постоянное внутреннее сопротивление;
R – внешнее сопротивление.
Каким должно быть внешнее сопротивление R,чтобы мощность Р была наибольшей?
Решение 1. Приравняем нулю производную : 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,откуда, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, но 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, значит, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 откуда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение 2.
Преобразуем формулу мощности следующим образом 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Поскольку 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ,то P(R) достигает максимума, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 достигает минимума. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, значит 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, откуда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Задача 14
Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 3213 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
Решение 1. Пусть сторона основание х, а высота у, у >0. Объем бассейна 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,(1). Облицовываемая поверхность, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,(2). Из (1) имеем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,(3). Поставим (3) в (2). 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Приравняем нулю производную 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.Имеем: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 2 м; 4 м.
Решение 2.Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,то 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,тогда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Часто соображение физического или геометрического характера от исследования функции на экстремум.
Ответ: 2 м; 4 м.
Задание 15
Вращая четверть круга, радиуса R вокруг оси х, получим половину шара.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Поэтому, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Откуда, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение 2. Вращая четверть круга, радиус R вокруг оси у, получим половину шара. Поэтому, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Откуда, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение 3. Применим формулу 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, тогда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и т.д. как в решении 1.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Стандартный уровень
Завдання 1
Для функції у=(2х+3)4 знайти первісну, графік якої проходить через точку А(-1; 1).
Розв’язування:
Загальний вигляд первісних F(х)=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Графік первісної проходить через точку А(-1; 1), тому F(-1)=1. Знайдемо значення С за вказаної умови. F(-1)=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=1, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Отже, F(х)= 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Відповідь: F(х)= 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Завдання 2
Швидкість прямолінейно рухаючейся точки задана формулою v(t)=t2+2t-1. Записати формулу залежності її координати х від моменту часу t, якщо відомо, що у початковий момент (t=0) точка знаходилася у початку відліку.
Розв’язування:
х(t) – це первісна швидкості v(t), тому х(t)=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415t3+213 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415- t + C=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415t3 + t2- t + C. За умовою завдання х(0)=0, тому х(0)=0+С=0, маємо С=0.
Отже, х(t) =13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415t3 + t2- t.
Відповідь: х(t) =13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415t3 + t2- t.
Завдання 3
Матеріальна точка масою 3кг рухається вздовж вісі Ох під дією сили, яка направлена вздовж цієї вісі. В момент часу t сила дорівнює F(t). Знайти формулу залежності х(t) від часу t, якщо х(1)=-5, v(1)=4, F(t) =6 - 9t
Розв’язування:
Згідно другому закону Ньютона F=ma, де a – прискорення. Маємо
a(t) = 13 EMBED Equation.3 1415. v(t) – первісна прискорення a(t). Тому v(t)=2t-13 EMBED Equation.3 1415+C1. За умовою v(1)=4, маємо v(1)=2-13 EMBED Equation.3 1415+С1=0,5+ С1, тому С1=3,5, отже
v(t)=2t-13 EMBED Equation.3 1415+3,5.
Аналогічно х(t)=t2 - 13 EMBED Equation.3 1415+3,5t+C2= - 13 EMBED Equation.3 1415+ t2+3,5t+C2. За умовою х(1)=-5, тому х(1)=- 13 EMBED Equation.3 1415+1+3,5+С2=4+С2=-5, тому С2=-9.
Отже, залежність між координатою та часом задається формулою
х( t)= - 13 EMBED Equation.3 1415+ t2+3,5t-9.
Відповідь: х( t)= - 13 EMBED Equation.3 1415+ t2+3,5t-9.
Завдання 4
Знайти об’єм тіла, що буде отримано при обертанні навколо віссі абсцис криволінійної трапеції, яка обмежена лініями у=1-х2, у=0.
Розв’язування:
Об’єм тіла обчислюється за формулою V=13 EMBED Equation.3 1415(x)dx. Знайдемо проміжок інтегрування 1-х2=0, маємо х1=1 та х2=-1. Тому V=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 куб.од.
Відповідь: V=13 EMBED Equation.3 1415куб.од.
Завдання 5
Знайти площу фігури, що обмежена лініями :
а) у=х2-4х+5, у=0, х=0, х=4,
б) у=х2-4х+4, у=4-х2.
Розв’язування:
а) Виконаємо малюнок. у=х2-4х+5 – квадратична функція, тому її графіком є квадратна парабола. Знадемо координати вершини параболи:
х0=13 EMBED Equation.3 1415, у0=4-8+5=1, Тому (2; 1)- координати вершини параболи. Точок перетину графіку даної квадратичної функції із віссю Ох немає, тому що дискримінант є від’ємним числом. Знайдемо декілька додаткових точок:
у(0)=4, у(1)=2, у(3)=2, у(4)=4.
S=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 кв.од.
б) Знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій.
х2-4х+4=4-х2,
2х2-4х=0,
2х13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415(х-2)=0, отже, х1=0, х2=2.
S= 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415-(13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415-413 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=
=(13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=8-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415кв.од.
Відповідь: а)S =913 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415кв.од., б) S=213 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415кв.од.
Завдання 6
Знайти критичні точки функції у=2х3-9х2-24х-18.
Розв’язування:
Функція визначена та диференційована на всій числовій прямій.
у'=6х2-18х-24, розв’яжемо рівняння у'=0. 6х2-18х-24=0, х2-3х-4=0, х1=-1, х2=4. Корені рівняння у'=0 і є критичними точками функції.
Відповідь: критичні точки функції х1=-1, х2=4.
Завдання 7
Знайти проміжки зростання та спадання функції:
а) у=х2-4; б)у=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Розв’язування:
а) Функція визначена та диференційована на всій числовій прямій.
у'=2х, розв’яжемо рівняння у'=0, тобто 2х=0, х=0 – критична точка функції, яка розбиває область визначення функції на два інтервали (-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;0) та (0; +13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415), на кожному з яких похідна зберігає свій знак. у'(-1)=-2<0, у'(1)= 2>0.
Отже, на інтервалі (-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;0) похідна приймає від’ємні значення, на (0; +13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415) – додатні значення. Тому на інтервалі (-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;0) функція спадає, а на (0; +13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415) – зростає.
Відповідь: на інтервалі (-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;0) функція спадає, а на (0; +13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415) – зростає.
б) Область визначення даної функції – всі числа, крім х=3.
у'=-213 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, рівняння у'=0 немає коренів. Тому критичною точкою функції є лише точка х=3, яка розбиває область визначення функції на два інтервали (-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;3) та (3; +13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415), на кожному з яких похідна зберігає свій знак. у'(2)=-2<0, у'(4)=-2<0.
Отже, на інтервалах (-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;3) та (3; +13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415) похідна приймає від’ємні значення. Тому на інтервалах (-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;3) та (3; +13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415) функція спадає.
Відповідь: на інтервалах (-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;3) та (3; +13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415) функція спадає.
Завдання 8
Який кут (гострий чи тупий) утворює із додатнім напрямом осі Ох та дотичної до графіку функції у=х4-2 у точках -1, 1, 2.
Розв’язування:
Згідно геометричному змісту похідної k=у'(х0), де k – кутовий коефіцієнт дотичної до графіку функції. у'=4х3.Отже, k1=у'(-1)=-4<0, k2=у'(1)=4>0, k3=у'(2)=32>0.
З іншого боку, k=tg
·, де
· – кут між дотичною та додатнім напрямом віссі Ох. Отже,
·1- тупий кут,
·2 та
·3 – гострі кути.
Відповідь:
·1- тупий кут,
·2 та
·3 – гострі кути.
Завдання 9
Скласти рівняння дотичної до графіку функції f(х)= 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415-8 у точці х0=4.
Розв’язування:
Загальний вигляд рівняння дотичної має вигляд у= f(х0)+ f'(х0)(х-х0).
f(х0)= f(4)=-6, f'(х)=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, f'(х0)= f'(4)=0,25.
Тому загальний вигляд дотичної має вигляд у=-6+0,2513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415(х-4)=-6+0,25х-1= =0,25х - 7.
Відповідь: у=0,25х - 7.
Завдання 10
Знайти найбільше та найменше значення функції у=4х2-48х на проміжку [1;4].
Розв’язування:
Функція визначена та диференційована на всій числовій прямій.
Похідна у'=8х-48, знайдемо нулі похідної : 8х-48=0, х=6 – критична точка функції, але вона не належить даному проміжку. Тому знайдемо значення функції у кінцях даного проміжка, тобто у(1)=-44, у(4)= -128.
Отже, max у(х)= у(1)=-44, min у(х)= у(4)= -128.
[1;4] [1;4]
Відповідь: max у(х)= у(1)=-44, min у(х)= у(4)= -128.
Задание 11
Найти производную функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение 1. 13 EMBED Equation.3 1415.Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415-постоянная величина, то 13 EMBED Equation.3 1415 ,поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. Применим формулу 13 EMBED Equation.3 1415 пологая что в ней 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Решение 2. Вычислите 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415по определению 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 здесь громоздко, поэтому представим что у(х) как произведение: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ:13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение 3. Учтем, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 , 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Применим логарифмическое дифференцирование для определения производной функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Имеем: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ:13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение 4. Имеем: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ:13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задание 12
Найти производную функции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение 1. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, найдем производную степенной функции: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение 2. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,используем логарифмическое дифференцирование:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задание 13
Точка движется по закону 13 EMBED Equation.3 1415, где х – время, у - путь точки. Найти скорость ускорения точки, экстремумы данной функции.
Решение 1. Областью существования функции является интервал 13 EMBED Equation.3 1415.Находим 13 EMBED Equation.3 1415скорость, точка: 13 EMBED Equation.3 1415.Решаем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Разлагаем левую часть на множители: 13 EMBED Equation.3 1415откуда 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.Производная непрерывна при любом ч. Поэтому только эти точки будут критическими. Располагаем критические точка в порядке возрастания их абсцисс:-1;0;3. Рассмотрим интервалы 13 EMBED Equation.3 1415. Выберем внутри каждого их этих интервалов произвольную точку и определим этой точке знак первой производной. В интервале 13 EMBED Equation.3 1415 возьмем, например точку х=-2 и найдем 13 EMBED Equation.3 1415. В интервале 13 EMBED Equation.3 1415 возьмем точку 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415; в интервале 13 EMBED Equation.3 1415 возьмем точку х=1,тогда 13 EMBED Equation.3 1415.В интервале 13 EMBED Equation.3 1415 возьмем точку х=4 и получим 13 EMBED Equation.3 1415.Строим таблицу поведения функции, находим max и min.
x
13 EMBED Equation.3 1415
-1
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415
y'
-
0
+
0
-
0
+
y
min
max
min
Найдем экстремальные значения функции 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415. Ускорение точки:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415;2; 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение 2. Исследуем функцию на экстремум по второй производной 13 EMBED Equation.3 1415.Определяем знак второй производной в каждой критической точке. 13 EMBED Equation.3 1415,при х=-1 функция имеет минимум 13 EMBED Equation.3 1415,при х=0 функция имеет максимум; 13 EMBED Equation.3 1415,при х=3 функция имеет минимум и т.д. как в решении1.Исследования по второму решению проще, однако, от исследования функции на экстремум по первому решению отказываться не следует, т.к. может оказаться, что в критической точке вторая производная окажется равной нулю, а в этом случае нельзя сделать никакого заключения о наличии экстремума.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415;2; 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание 14
Определить экстремумы функции 13 EMBED Equation.3 1415.Найти ее наименьшее и наибольшее значение на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение 1
Областью существования функции является интервал 13 EMBED Equation.3 1415. Находим первую производную функции ее критические точка 13 EMBED Equation.3 1415. Решим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415.Производная конечна при любом значении ч, поэтому ч=1 является единственной критической точкой. Рассмотрим интервалы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.Внутри каждого из этих интервалом выберем произвольную точку и определим в ней знак первой производной ,например, в первом интервале возьмем точку х=0, во втором, х=2. 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415,т.е. при переходе через критическую точку первая производная знака не поменяла, поэтому в точке х=1 экстремума нет. По второй производной такое исследование провести нельзя. Действительно, 13 EMBED Equation.3 1415,и в критической точке х=1 имеем 13 EMBED Equation.3 1415.Поскольку отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 не содержит критической точки, то для определения наименьшего и наибольшего значения функции на этом отрезке следует определить только значения ее на концах отрезка: 13 EMBED Equation.3 1415. Наименьшего значения на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 функция достигает на левом конце при х=2 и это наименьшее значение 13 EMBED Equation.3 1415. Наибольшего значения функция достигает при х=5-на правом конце отрезка; это значение 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 4;67.
Решение 2
Первую производную 13 EMBED Equation.3 1415 можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415,поэтому можно сказу заключить, что в поле действительных чисел она положительна при любом значении 13 EMBED Equation.3 1415,поэтому рассматриваемая функция возрастает на всем интервале 13 EMBED Equation.3 1415,и т.д. как в решении 1. Ответ: 4;67
Задание 15
Найти одну из первообразных для функции 13 EMBED Equation.3 1415 на R.
Решение 1. имеем: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: х
Решение 2.Имеем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: х
Задание 16
Найти интеграл 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Решение 1. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,где с – произвольная постоянная.
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Решение 2.
Первообразными для функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415является, например, функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому функции 13 EMBED Equation.3 1415 является первообразной для функции 13 EMBED Equation.3 1415.Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415,где с – произвольная постоянная.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Тест для самоконтроля
1. В какой из точек A. 1; B. 10; C. 20; D. 100; E. наиболее быстро растёт функция ?
2. Мяч брошен вертикально вверх. Если ось х направлена вверх, то закон движения мяча A. Опускается или поднимается мяч в момент времени с?
3. Материальная точка движется по закону . Какова наибольшая скорость движения?
A. 1; B. 2; C. 3; D. 4; E. 6.
4. Неравномерно, в зависимости от переменной t изменяется величина:
A. ; B. ; C. ; D. ; E. .
5. Для какой из следующих функций ось х является касательной в начале координат?
A. ; B. ; C. ; D. .
6. Касается ли прямая гиперболы в точке ?
A. Да; B. Нет.
7. Укажите функцию, критическая точка которой не является точкой экстремума:
A. ; B. ; C. ; D. .
8. Производная функции равна . Сколько точек экстремумов имеет функция?
A. Одну; B. Две; C. Три; D. Ни одной.
9. На всей числовой оси возрастает функция ...
А. ; B. ; C. ; D. .
10. Какое наибольшее число точек экстремумов может иметь функция ?
A. 0; B. 1; C. 2; D. 3; Е. 4.
11. Укажите неверное утверждение:
A. Не все критические точки являются точками экстремума функции
B. Значение функции в точке минимума может быть больше значения функции в точке максимума
C. Если функция возрастает, то она не имеет точек экстремума
D. Если , то является точкой экстремума функции
E. Касательная к графику функции может пересекать его в нескольких точках .
12. На рис. 7 изображён график производной функции . Укажите промежутки убывания функции .
A. , ; B. ; C. ; D. Верного ответа нет.
13. Какая из прямых на рис.16 является графиком производной квадратичной функции, изображённой на рис. 17?
14. Производная функции положительна на отрезке . Каково наименьшее значение на этом промежутке?
А. ; B. ; C. Наименьшего значения нет;
D. Правильный ответ отличен от приведённых.
15. Какое из следующих утверждений неверно:
А. Наименьшее значение функции может и не быть минимумом.
В. Наибольшее и наименьшее значения функция может принимать только в своих точках экстремума.
С. Если функция не имеет критических точек на , то наибольшее и наименьшее значения она примет только на концах этого отрезка.
D. Существует функция, у которой совпадают её набольшее и наименьшее значения.
16. Пусть и – первообразные одной функции. Какой вид (см. рис. 8) может иметь график функции
17. Могут ли графики первообразных одной функции пересекаться?
А. Да; В. Нет; С. Ответ зависит от вида функции.
18. Тело совершает гармонические колебания с ускорением . Амплитуда колебания точки равна ...
А. -2; В. 6; С. -6; D. 2;
19. Точка движется прямолинейно со скоростью , график которой изображён на рис. 9. За промежуток времени она прошла путь, равный ...
А. 2; В. 0,5; С. 1; D. 4; Е. 3 . Е. 54.
20. Какая из фигур, изображённных на рис. 20-24, является криволинейной трапецией?
21. Какой из формул Вы воспользуетесь при вычислении площади фигуры, изображённой на рис. 23?
А. ; В. ; С. ; D. .
22. Колесо вращается с угдовой скоростью . Сколько оборотов оно сделает за промежуток времени ?
А. ; В. ; С. ; D. .
Ответы и указания к тестам
1. Е. Скорость изменения функции характеризуется её производной.
2. А. Если тело движется в направлении оси, то его скорость положительна.
3. Е.
4. В. Любой равномерно протекающий процесс описывается линейной функцией.
5. С. Для того, чтобы ось х была касательной для функции в точке , необходимо и достаточно выполнение следующих условий: и .
6. А. Проверьте, проходит ли заданная прямая и гипербола через точку и совпадают ли в этой точке их производные.
7. С. Обращение в нуль производной функции в некоторой точке является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума.
8. А. Проверьте, меняет ли производная знак в критической точке.
9. D.
10. С. Обратите внимание на то, что производная заданной функции является квадратным трёхчленом.
11. D. См. вопрос № 7.
12. В. Вспомните условие убывания функции.
13. В. Подумайте, как отразится на знаке производной поведение функции на интервалах и .
14. А.
15. В. См. вопрос № 14.
16. С. Вспомните, что первообразные одной функции отличаются друг от друга только некоторым постоянным слагаемым.
17. В.
18. D. Восстановите по ускорению закон движения тела.
19. С. Используйте геометрический и физический смысл интеграла.
20. С.
21. D.
22. В. Обратите внимание, что угол поворота колеса за промежуток времени равен .
Литература
С.И. Шварцбург; О.С. Ивашев-Мусатов Алгебра и начала анализа Москва “Высшая школа” 1977г.
М. Титаренко; А.А. Роганин Задачник по математики (для учащихся и абитуриентов)
Сборник всех конкурсных задач по математики под редакцией М.И. Сканави Киев “Українська енциклопедія” 1996г.
Н.И. Шкиль; З.И. Слепкань; Е.С. Дубинчук Алгебра и начала анализа Киев “Вежа” 1996г.
М.И. Басимов Алгебра и начала анализа Москва “Просвещение”1992г.
Афанасьева О.Н.; Бродский Л.С. Применение производной и нитеграла, - Донецк: ДонНУ,2007 – 24с.
Т.П. Савенко, В.Г. Паньков, Ю.Н. Попов Задачи по алгебре и началам анализа.
13PAGE 15
13PAGE 14815
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 149Рисунок 150Equation NativeEquation NativeРисунок 156Рисунок 157