Методичесое пособие по теме Элементы линейной алгебры

Содержание

13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc229392295" 14Пояснительная записка 13 PAGEREF _Toc229392295 \h 14- 2 -1515
13 LINK \l "_Toc229392296" 14Тема 1. Матрицы 13 PAGEREF _Toc229392296 \h 14- 3 -1515
13 LINK \l "_Toc229392297" 14Задачи для самостоятельного решения 13 PAGEREF _Toc229392297 \h 14- 6 -1515
13 LINK \l "_Toc229392298" 14Тема 2. Определители 13 PAGEREF _Toc229392298 \h 14- 7 -1515
13 LINK \l "_Toc229392299" 14Задачи для самостоятельного решения 13 PAGEREF _Toc229392299 \h 14- 13 -1515
13 LINK \l "_Toc229392300" 14Тема 3. Системы линейных уравнений 13 PAGEREF _Toc229392300 \h 14- 14 -1515
13 LINK \l "_Toc229392301" 14Задачи для самостоятельного решения 13 PAGEREF _Toc229392301 \h 14- 19 -1515
15
Пояснительная записка

Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика» (повышенный уровень) составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования для подготовки выпускников по специальности 080110 «Экономика и бухгалтерский учет» и 260202 «Технология хлеба, макаронных и кондитерских изделий».
Рекомендации предназначены для студентов дневной формы обучающихся по программам повышенного уровня.
Цель преподавания дисциплины состоит в развитии логического и алгоритмического мышления, подготовке математической базы для овладения специальными дисциплинами, выработке умения самостоятельно расширять математический кругозор и применять математические методы для решения прикладных задач.
В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено прежде всего быстрым ростом вычислительной техники, благодаря которой существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении практических задач.
Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание предусматривает:
развитие логического мышления;
овладение основными методами исследования и решения математических задач;
овладения основными численными методами математики и их простейшими приемами реализации на ЭВМ;
выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных задач.
На практических занятиях студент должен:
Овладеть определениями основных понятий математики.
Научиться точно и ясно выражать математическую мысль, использовать математическую символику и терминологию, применять вычислительные средства при решении задач.
Приобрести навыки решения математических задач с доведением решения до практически приемлемого результата (формулы, числа, графики, качественные выводы), первичного математического исследования прикладных вопросов.


Тема 1. Матрицы

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначается: А.
Числа 13 EMBED Equation.3 1415, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Индекс i– номер строки, индекс j – номер столбца ( i=1,2m, j=1,2n).
В общем виде матрицу можно записать: 13 EMBED Equation.3 1415
Число строк и число столбцов определяют размер матрицы.

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то такая матрица называется квадратной.
Элементы матрицы aij , у которых номер столбца совпадает с номером строки, называются диагональными.
Если в квадратной матрице все диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0, то она называется единичной.

Действия над матрицами

Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Если дана матрица 13 EMBED Equation.3 1415, которая умножается на число 13 EMBED Equation.3 1415, то результирующей матрицей будет 13 EMBED Equation.3 1415.
ПРИМЕР 1.1.
Найти матрицу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если матрица 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Сложение (вычитание) матриц. Складываются (вычитаются) матрицы одинаковой размерности. Получается матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц. Если даны матрицы 13 EMBED Equation.3 1415, то результатом их сложения (вычитания) будет матрица 13 EMBED Equation.3 1415.
ПРИМЕР 1.2а.
Найти сумму и разность матриц: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
Складывая и вычитая соответствующие элементы матриц, находим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
ПРИМЕР 1.2b.
Вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
Используя правило умножения матрицы на число и правило вычитания матриц, получаем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Умножение матриц. Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда каждый элемент полученной матрицы равен сумме произведений элементов i–ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй. Если даны матрицы 13 EMBED Equation.3 1415, то результатом их умножения получится матрица 13 EMBED Equation.3 1415, каждый элемент которой находится по правилу 13 EMBED Equation.3 1415.
ПРИМЕР 1.3
Найти произведение матриц: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
Найдем произведение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц существует и искомая матрица 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет иметь размерность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме произведений элементов соответствующей строки первой матрицы на элементы соответствующего столбца второй матрицы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Замечание 1: Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, то есть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Действительно, найдем произведение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Такое произведение матриц существует, так как число столбцов матрицы В равно числу строк матрицы А, но размерность искомой матрицы D будет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Замечание 2: Если АВ = ВА, то матрицы называются перестановочными.

Транспонирование матриц. Матрица АТ называется транспонированной к матрице А, если в ней поменяли местами строки и столбцы.
ПРИМЕР 1.4.
Транспонировать матрицу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
По определению операции транспонирования, меняем в исходной матрице строки и столбцы местами:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти произведение матриц 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
д) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; е) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Транспонировать матрицу:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Тема 2. Определители

Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу. Обозначается: 13 EMBED Equation.3 1415A, det A.
Определителем первого порядка матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 называется число 13 EMBED Equation.3 1415.
ПРИМЕР 2.1а.
Вычислить определитель матрицы А размерностью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
Так как определитель 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 первого порядка – есть число, характеризующее матрицу А, численно равное элементу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Определителем второго порядка матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, которое находится по правилу: 13 EMBED Equation.3 1415.
ПРИМЕР 2.1b.
Вычислить определитель матрицы А размерностью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагонали:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Определителем третьего порядка матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, которое определяется следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415 Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников:







ПРИМЕР 2.1с.
Вычислить определитель матрицы А размерности 3(3, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
Воспользуемся правилом треугольников для нахождения определителя третьего порядка:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Минор элемента 13 EMBED Equation.3 1415 обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)S , где S – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Обозначается: 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
ПРИМЕР 2.2.
Для данной матрицы третьего порядка найти минор и алгебраическое дополнение элемента 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
Для нахождения минора вычеркнем из данной матрицы А третью строку и второй столбец:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
Минор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можно найти как определитель второго порядка:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для нахождения алгебраического дополнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, определим знак, стоящий перед минором 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Определитель высшего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения: 13 EMBED Equation.3 1415
ПРИМЕР 2.3.
Вычислить определитель матрицы А размерности 4(4, используя разложение определителя по строке или столбцу, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
Для вычисления определителя 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можно использовать разложение по любой строке или столбцу. Удобнее проводить разложение по той строке (столбцу) в которой содержатся нули.
В данном примере удобными для разложения являются либо первая строка, либо второй столбец. Сделаем разложение по первой строке, тогда определитель 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет вычисляться по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415,
· где А1j – алгебраические дополнения элементов первой строки а1j.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найдем алгебраические дополнения А11, А12, А13 и А14:.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Алгебраическое дополнение А13 в данном примере можно не находить, так как при умножении любого полученного числа на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в результате всегда получится ноль.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Подставляем полученные значения в разложение определителя по первой строке:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Свойства определителей

Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами с теми же номерами.
При перестановке двух рядов (строк или столбцов) определитель меняет знак.
Общий множитель всех элементов какого-либо ряда можно вынести за знак определителя.
Если некоторый ряд определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Если элементы одного ряда определителя пропорциональны элементам другого ряда определителя , определитель равен нулю.
Если каждый элемент какого-либо ряда определителя есть сума двух слагаемых, определитель равен сумме двух определителей, которые состоят из слагаемых элементов.
Определитель не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, умноженные на любой общий множитель.

Обратная матрица

Матрица A-1 называется обратной к матрице А, если АВ=ВА=Е (13 EMBED Equation.DSMT4 1415), где Е – единичная матрица.
Для нахождения обратной матрицы используется следующий алгоритм:
Определить, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
Находим определитель исходной матрицы. Если он равен нулю, то обратной матрицы для нее не существует.
Заменяем каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
Полученную матрицу транспонируем.
Каждый элемент транспонированной матрицы делим на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
Делаем проверку: перемножить исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.
ПРИМЕР 2.4.
Для матрицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 найти обратную матрицу:
Решение:
Матрица квадратная (число строк равно числу столбцов), следовательно, обратная к ней матрица существует.
Вычисляем определитель исходной матрицы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, для этого вычисляем все алгебраические дополнения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Составляем матрицу из алгебраических дополнений:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Полученную матрицу транспонируем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Последнюю матрицу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415делим на определитель исходной матрицы А и получаем обратную матрицу:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Делаем проверку полученного результата. Для этого находим произведение полученной матрицы на исходную:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задачи для самостоятельного решения

Вычислить определитель матрицы, если:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
ж) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
д) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
з) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

е) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

и) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Для данной матрицы найти обратную матрицу:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;



в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
д) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Тема 3. Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными в общем случае имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
где числа 13 EMBED Equation.3 1415 называются коэффициентами при переменных, 13 EMBED Equation.3 1415 - свободные члены, 13 EMBED Equation.3 1415 - неизвестные величины.
Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел k1, k2,kn, при подстановке которых, каждое уравнение обращается в верное равенство.
В матричной форме система уравнений записывается следующим образом: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 – матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных:, 13 EMBED Equation.3 1415 - матрица – столбец неизвестных, 13 EMBED Equation.3 1415 - матрица-столбец свободных членов.

Рассмотрим три способа решения системы линейных уравнений.

Метод Гаусса

Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из системы уравнений. Рассмотрим его на конкретном примере.
ПРИМЕР 3.1.
Решить систему уравнений методом Гаусса: 13 EMBED Equation.3 1415

Решение:
Запишем матрицу системы: 13 EMBED Equation.3 1415. Добавим в эту матрицу столбец свободных членов. Получится расширенная матрица системы: 13 EMBED Equation.3 1415.
Чтобы исключить переменную 13 EMBED Equation.3 1415 из второго и третьего уравнений, умножим первую строку на (-2) и (-3) и полученные строки прибавим ко второй и третьей строке соответственно:
13 EMBED Equation.3 1415
Чтобы исключить переменную 13 EMBED Equation.3 1415 из второго уравнения, умножим третью строку на (3) и полученную строку прибавим ко второй строке:
13 EMBED Equation.3 1415
Получили систему уравнений, равносильную исходной системе, в которой первое уравнение содержит три переменных, второе – одну, а третье – две переменных:
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда последовательно находим:
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, решение системы: 13 EMBED Equation.3 1415.
Проверяем полученное решение, подставляя найденные значения в исходную систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Каждое уравнение стало верным равенством, следовательно, решение системы найдено верно.
Метод Крамера

Пусть дана система уравнений (1) (зачем?). Рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений (m = n). Найдем определитель матрицы системы:
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть
·j – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j–го столбца столбцом свободных членов:
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 , и так далее.
Тогда, если определитель матрицы системы не равен 0, то система уравнений (1) имеет единственное решение, которое определяется по формулам: 13 EMBED Equation.3 1415, которые называются - формулы Крамера.

ПРИМЕР. 3.2.
Решить систему уравнений (1) методом Крамера: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Составляем матрицу А, состоящую из коэффициентов при переменных и матрицу-столбец, состоящую из свободных членов системы уравнений:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вычисляем определитель ( матрицы А:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Находим определители (1, (2, (3, получающиеся из исходного определителя ( заменой соответственно первого, второго, а затем третьего столбцов столбцом свободных членов:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Используя формулы Крамера: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, находим корни системы уравнений: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Метод обратной матрицы

Пусть дана система (1). Снова рассмотрим случай, когда число неизвестных равно числу уравнений.
В матричной форме система имеет вид: АХ=В. Пусть существует обратная матрица 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к матрице системы А. Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец Х, который находится по правилу: 13 EMBED Equation.3 1415
ПРИМЕР 3.3.
Решить систему уравнений (1) методом обратной матрицы:. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Запишем матрицу системы А и матрицу-столбец свободных членов В:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Определитель матрицы А был найден ранее:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найдем матрицу, обратную к матрице А.
Для этого составляем матрицу из алгебраических дополнений элементов определителя матрицы А и транспонируем ее:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Полученную матрицу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 делим на определитель исходной матрицы и записываем обратную матрицу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решением исходной системы уравнений будет матрица-столбец 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, найденная как произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Таким образом, решением системы уравнений являются: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415






Задачи для самостоятельного решения

1. Решить системы линейных уравнений тремя методами:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
ж) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
д) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
з) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
е) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
и) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


2. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:
а) x1+2x2+x3-x4=10
3x1-2x2+6x3+3x4=4
4x1+x2+3x3+4x4=20
-2x1-2x2+x3+2x4= -16
б) x1+3x2+5x3-3x4=14
2x1+3x2-x3+3x4=10
3x1+5x2-2x3+7x4=14
-x1+2x2+5x3+2x4=2
в) x1-x2+4x3+x4=9
3x1-5x2-x3+3x4= -12
2x1-3x2-2x3+5x4= -18
-4x1+2x2+x3+2x4=3











Элементы линейной алгебры

13PAGE 15


13PAGE 14- 2 -15


Элементы линейной алгебры

13 PAGE 14- 1 -15





 *,.2d
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·