Презентация по математике по решению олимпиадных задач (6-7 классы)

Для 6 – 7 класса. МБОУ Лицей №1 им. Г.С.Титова г. Краснознаменска Московской области. Из опыта работыучителя математикиРудневой Натальи Викторовны. Олимпиадные задачи. Олимпиадная задача, как правило, это задача повышенной трудности, нестандартная по формулировке, так и по методам решения.Среди них встречаются как нетривиальные, для решения которых требуются необычные идеи и специальные методы, так и задачи более стандартные,которые могут быть решены оригинальным методом. Олимпиадные задачи. Электронные часы. Отмерь гвозди. Фальшивые монеты. Игра с монетами. Семь монет. Числа. Полный квадрат. Таблица чисел. Два туриста. Сколько лет? Сколько гостей? Кусты малины. Дети и орехи. Конфеты в коробках. Родились в один день. Восемь квадратов. Малыш, Карлсон и торт. Торт с изюминкой. Разрезать квадрат. Сложите квадрат. Лжецы и рыцари. Дата в Европе и Америке. Последняя цифра. Делимость. Разделите круг. Дежурные по классу. Олимпиадные задачи. Электронные часы показывают время от 00.00.00 до 23.59.59. Сколько времени в течение суток на табло часов горят ровно четыре цифры 3? Решение:Рассмотрим возможные случаи показания часов: Ответ: 105 секунд. а) ав.33.33(вне=3)-таких наборов 21(от 00 до 23, кроме 03,13,23); б) а3.с3.33(сне=3)-а=0,1,2, с=0,1,2,3,4,5;Таких наборов 3*5=15 штук; в) а3.3х.33(хне=3)-а=0,1,2, х=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;Всего 9*3=27 наборов; г) а3.33.м3(мне=3)-3*5=15 наборов; д) а3.33.3н(нне=3)-9*3=27 наборов. Всего 21+(15+27)*2=105 наборов, каждый из которых горит 1 сек. ав.сх.мн Задача. Электронные часы. Найдите десять натуральных чисел, сумма и произведение которых равно 20. Ответ: 1,1,1,1,1,1,1,1 (восемь единиц), 2,10. Решение:1+1+1+1+1+1+1+1+2+10=20, 1*1*1*1*1*1*1*1*2*10=20. Задача. Числа. По дороге идут два туриста. Один из них делает шаги на 10% короче, и в то же время на 10% чаще, чем другой. Кто из туристов идёт быстрее, и почему. Ответ: Медленнее идет тот из туристов, кто делает шаги короче и чаще. Решение: Действительно, когда второй турист делает 10 шагов длины а, первый делает 11 своих шагов длины 0,9а каждый. Таким образом, первый турист проходит расстояние 9,9а за то же время, за которое второй проходит большее расстояние 10а. Задача. Два туриста. К Васе пришли его одноклассники. Мать Васи спросила у него, сколько пришло гостей. Вася ответил: «Больше шести», а стоявшая рядом сестрёнка сказала: «Больше пяти». Сколько было гостей, если известно, что один ответ верный, а другой нет. Ответ: шесть. Решение: Допустим, что гостей больше 6. Тогда правы и Вася, и сестрёнка, что противоречит условию задачи. Значит, гостей не больше шести, и Вася неправ. Но тогда должна быть права сестра. Значит, гостей больше пяти. Но если гостей больше пяти и не больше шести, то их ровно шесть. Сколько Задача. гостей? В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1кг, за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей? Решение: При первом взвешивании в первую чашу весов кладём гирю 1кг и все гвозди раскладываем на весы так, чтобы установилось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а другую делим пополам, взвешивая без гири: 12=6+6. Получим искомое количество гвоздей 19=13 + 6. Отмерь вес Задача. гвоздей. Семья состоит из трёх человек: отца, матери и сына. В настоящее время сумма их возрастов составляет 74 года, а 10 лет назад эта сумма составляла 47 лет. Сколько лет сейчас отцу, если он старше сына на 28 лет? Ответ: 35 лет. Решение: Из того, что (74-47)-2*10=7 следует, что сейчас сыну 7 лет. Тогда отцу 28+7=35 лет, т.к. он старше сына на 28 лет. Задача. Сколько лет? Вдоль забора растут восемь кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на единицу. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод? Ответ: не может. Решение: Число ягод на двух соседних кустах отличается на 1, поэтому на двух соседних кустах вместе нечётное число ягод. Тогда количество ягод на восьми кустах равно сумме четырёх нечётных чисел, т.е. чётное число. Значит, на кустах вместе 225 ягод быть не может. Кусты Задача. малины. Десятичная запись числа А состоит из 30 единиц и нескольких нулей. Может ли число А быть полным квадратом? Ответ: не может. Решение: Сумма цифр числа А равна 30. Поэтому оно делится на 3, но не делится на 9. Т.е. оно не может быть полным квадратом. Задача. Полный квадрат. Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причём у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех ребят вместе 1000 орехов? Ответ: не могло. Решение: Заметим, что число орехов у каждой пары детей должно делиться на 3. Это означает, что суммарное число орехов должно делиться на 3. Однако, 1000 на 3 не делится. Дети и Задача. орехи. В классе учится 22 ученика. Докажите, что из них можно выбрать четырёх, которые родились в один день недели. Решение: Предположим, что в каждый день недели родилось не более трёх человек. Тогда в классе учится не более 3*7=21 ученика. Противоречие. Родились Задача. в один день. Имеется 10 мешков с монетами, по 100 монет в каждом мешке. Известно, что в девяти из них настоящие монеты весом 10 грамм каждая, а в одном – фальшивые монеты весом 9г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. За какое наименьшее число взвешиваний можно определить, в каком мешке фальшивые монеты? Ответ: за одно взвешивание. Решение: Положим на весы одну монету из 1-го мешка, две- из 2-го и т.д. 10 монет из десятого. Весы покажут вес (550- m) г, где m- число фальшивых монет на весах. Значит, в мешке с номером m лежат фальшивые монеты. Фальшивые Задача. монеты. Нарисуйте восемь одинаковых квадратов так, чтобы ровно 15 точек были вершинами нарисованных квадратов. Решение: Восемь Задача. квадратов. Можно ли таблицу 5 * 5 заполнить числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была положительной, а сумма чисел в каждом столбце – отрицательной? Ответ: нельзя. Решение: Если бы это было возможно, то сумма всех чисел таблицы, подсчитанная по строкам, была бы положительной, а по столбцам - отрицательной, что невозможно. Задача. Таблица чисел. На столе лежат 20 монет. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола 1, 2 или 3 монеты. Выигрывает тот, кто заберёт со стола последнюю монету. Кто выигрывает при правильной игре? Ответ: второй. Если первый взял Х монет, то второй должен взять (4-Х) монет. Т.е. после каждого второго хода число оставшихся монет будет кратно 4. Это означает, что первый не сможет забрать со стола последнюю монету. Т.о. это сделает второй. Задача. Игра с монетами. В шести коробках лежат конфеты. В первой - одна, во второй - две, в третьей - три и т.д., в шестой - шесть. За один ход разрешается в любые две коробки добавить по одной конфете. Можно ли за несколько ходов уравнять количество конфет в коробках? Ответ: нельзя. Заметим, что после каждого хода суммарное число конфет в коробках увеличивается на 2. Сначала в коробках была 21 конфета. Это означает, что после каждого хода суммарное число конфет в коробках будет нечётным. А если бы мы могли уравнять количество конфет в коробках, то суммарное число конфет равнялось бы 6К (чётному числу). Конфеты в Задача. коробках. Докажите, что любой квадрат можно разрезать на любое число квадратов, большее 5. Доказательство: Пусть мы умеем разрезать на п = к квадратов. Тогда, разрезав один из квадратов разрезания на 4 квадрата, мы получим, что исходный квадрат будет разрезан на п = к+3 квадратов. Т.е. мы показали, что любой квадрат можно разрезать на любое число квадратов, большее пяти. Разрезать Задача. квадрат. Из фигурок следующего вида сложите квадрат. а из десяти таких прямоугольников – квадрат размером 10 * 10. Решение: Из двух фигурок можно сложить прямоугольник 2 * 5, Задача. Сложите квадрат. На острове О живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил двух туземцев - А и Б. Туземец А произнёс фразу: «По крайней мере один из нас (А или Б) – лжец. Ответ: А – рыцарь, Б – лжец. Если А – лжец, то его утверждение неверно, т.е. оба должны быть рыцарями. Противоречие. Значит, А – рыцарь. Тогда утверждение верно и Б – лжец. Можно ли сказать, кем является А и кем является Б (рыцарем или лжецом)? Задача. Лжецы и рыцари. Имеется семь внешне одинаковых монет, среди которых пять настоящих (все – одинаковые по весу) и две фальшивых (равных по весу, но легче настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить 3 настоящие монеты? Пронумеруем монеты1,2,3,4,5,6 и 7. Первое взвешивание: 1,2,3 или 4,5,6. В случае их равенства среди 1,2,3 и 4,5,6 имеется по одной фальшивой монете, и 7-ая настоящая. Тогда необходимо второе взвешивание:1 или 2, при их равенстве вывод:1,2,7-настоящие, если 1 больше 2 - то 1,3,7-настоящие.В случае их неравенства (например, 1,2,3 тяжелее 4,5,6), то 1,2,3-настоящие, и наоборот, если 4,5,6 тяжелее- то 4,5,6 –настоящие. Задача. Семь монет. У Пети есть торт, в трёх углах и в самом центре которого – по изюминке. Петя хочет двумя прямолинейными разрезами разделить торт на четыре части- каждую с изюминкой, -так, чтобы ему достался кусок с изюминкой А, и он должен составлять торта. Как Петя может разрезать торт? * * * А Решение:Разрежем вдоль красных линий. Очевидно, что кусок, содержащий А – это фигура по площади равной пяти клеткам, т.е. составляет пятую часть торта. * * А * Разобьём торт на 25 равных квадратов. Торт с Задача. изюминкой. В США дату принято записывать так: номер месяца, номер дня и год. В Европе же сначала идет число, потом месяц и год. Сколько дней в году, дату которых нельзя прочитать однозначно, не зная, каким способом она записана? Ответ: 132. Решение: Очевидно, что это те дни, у которых дата может быть номером месяца, т.е. от 1 до 12. Таких дней 12*12=144. Но те дни, у которых число совпадает с номером месяца, понимаются однозначно. Таких дней 12. Поэтому искомых дней 144-12=132. Дата в Европе и Задача. Америке. Малыш и Карлсон разделили круглый торт двумя перпендикулярными разрезами на четыре части. Карлсон взял себе одну наименьшую часть и одну наибольшую часть, остальное отдал Малышу. Докажите, что Карлсону досталось не меньше половины торта. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Проведём ещё два разреза, центрально - симметричные уже сделанным. Куски 1,2,6 и 9 достались Малышу, а симметричные им 7,8,4 и 3- Карлсону, которому отошла ещё и серединка 5. Задача. Малыш, Карлсон и торт. На какую цифру оканчивается число ? Решение: Исследуем последние цифры степеней числа 7. на 7; на 7; на 9; на 9; на 3; и т.д. на 1;777:4=194 (ост 1). Ответ: на цифру 0. Значит, оканчивается на 7, а сумма- на 0. Задача. Последняя цифра. Доказать, что среди тринадцати натуральных чисел найдутся два числа, разность которых делится на 12. Решение:Существует двенадцать различных остатков при делении на 12.Среди тринадцати чисел существуют два с одинаковыми остатками.Их разность и делится на 12. Задача. Делимость. Как разделить круг тремя прямымина 4, 5, 6, 7 частей? Решение: На4 части На 5 частей На 6 частей На 7 частей Задача. Разделите круг. Ответ: не могло. Решение:Предположим, что такое возможно. Рассмотрим любого ученика. В первом дежурстве он отдежурил с двумя одноклассниками. Во втором –с двумя другимии так далее. После девятого его дежурства останется ровно один одноклассник,с которым он не дежурил. Противоречие. Задача. Дежурные по классу. В шестом классе обучается 20 человек. В первом триместре они по трое дежурили по классу. Может ли так получиться, что в некоторый момент каждый из учеников отдежурил с каждым ровно по одному разу?