Презентация по математике на тему Подготовка к ЕГЭ, задание В8

Подготовка к ЕГЭЗадания B – 8Подготовила: учитель математики МБОУ Баяндаевская СОШ Багдуева Д.Л. Немного полезной информации Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Функцию, имеющую производную(в некоторой точке), называют дифференцируемой (в этой точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Производная так же является функцией. Производной функции в точке называют число, равное пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при стремящемся к нулю приращении аргумента. Значение производной функции в точке x = x˳ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой x˳. Нужно помнить, что угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной. Геометрический смысл производной №1На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x˳. Найдите значение производной функции f(x) в т.x˳ точке x˳. Решение задач Решение:По графику функции видно, что функция – убывающая, поэтому знак производной в точке касания «минус». Выберем две точки касательной. Например, (-2; -9) и (-5; -3). Разность их абсцисс Δ x = 3, разность ординат Δ y = 6. Делим Δ y на Δ x, получаем 6 : 3= 2, ставим знак «-».Ответ: - 2. №2Прямая y = 3x – 5 параллельна касательной к графику функции y = x І +2x -7. Найдите абсциссу точки касания. Решение: Так как прямая y = 3x -5 параллельна касательной, то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой y = 3x – 5, то есть k = 3. Так как касательная проведена к графику функции y = x І + 2x – 7, то значение производной в точке касания равно значению углового коэффициента касательной, то есть yґ(x) = 3. Найдём производную функции y = x І + 2x – 7. yґ(x) = (x І + 2x – 7) ґ=2x +2. Из равенства yґ(x) = 3 можно найти абсциссу точку касания. 2x +2 = 32x = 1x = 0,5Ответ: x = 0,5 № 3Прямая y = - 4x +15 является касательной к графику функции y = xі + 3xІ - 4x + 11. Найдите абсциссу точки касания. Решение: Угловой коэффициент касательной y = - 4x +15 равен -4. Получим yґ(x) = -4, где yґ(x) = (xі + 3xІ - 4x + 11) ґ = 3xІ + 6x – 4.3xІ + 6x – 4 = - 43xІ + 6x = 03x( x + 2 ) = 0x = 0, или x = -2. Мы получили два возможных значения для абсциссы точки касания. Выбрать одно из них можно, подставив найденные значения x в формулы функции и касательной. В точке касания значения функции и прямой должны совпасть. При x = 0: y = xі + 3xІ - 4x + 11 = 0і + 3 · 0І - 4 · 0 + 11 = 11y кас = - 4x +15 = - 4 · 0 + 15 = 15y (0) = 11 y кас (0) = 15.Так как значения функции и касательной при x = 0 разные, абсцисса x = 0 нам не подходит. Проверим при x = -2: y = xі + 3xІ - 4x + 11 = (-2)і + 3 · (- 2)І - 4 · (- 2) + 11= 23 y кас = - 4x +15 = - 4 · (- 2) + 15 = 8 + 15=23.Значения функции и касательной при x = - 2 равны, значит, абсцисса точки касания x = - 2. Ответ: - 2 № 4На рисунке изображён график функции y = f (x), определённой на интервале (- 9; 8). Определите количество целых точек на этом интервале, в которых производная функции f(x) положительна. Решение: Целые точки – это точки с целочисленными значениями абсцисс (x). Производная функции f (x) положительна, если функция возрастает. На рисунке отмечены точки, принадлежащие промежуткам возрастания, в которых производная функции f (x) положительна. Это точки -8; -7; -5; -4; -3; 0; 2; 3; 4; 6. Количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна, равно 10. Ответ: 10 № 5На рисунке изображен график функции y= f(x), определенной на интервале (-9; 8). В какой точке отрезка [-8; -4] f(x) принимает наибольшее значение? Решение: Определяем на графике точку, у которой абсцисса x лежит на отрезке [- 8; -4], а ордината y наибольшая из возможных, то есть эта точка «самая высокая». Для данного графика это точка (-6; 5). Значит, f(x) принимает наибольшее значение в точке x = - 6. Ответ: - 6 №6На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-9; 8). Найдите количество точек на отрезке [-8; 3], в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 3 Решение: Проведем прямую y = 3. Посчитаем количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 3. По чертежу видно, что число таких точек равно 6.Ответ: 6 № 7На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-2; 10). Найдите сумму точек экстремума функции y = f (x). Решение: Говоря образно, точки экстремума – это те значения x, при которых на графике видны «горбики» и «впадинки». Точками экстремума данной функции являются точки x = -1, x = 0, x = 3, x = 4, x = 6, x = 7 и x = 9. Сумма точек экстремума функции y = f (x) равна -1+0+3+4+6+7+9=28Ответ: 28 № 8Дан график производной функции y = fґ (x), определённой на интервале (-7,5; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f (x) параллельна прямой y = x + 1 или совпадает с ней. Решение: Касательная к графику функции y = f (x) параллельна прямой y = x + 1 или совпадает с ней, если её угловой коэффициент k = 1. Но значение углового коэффициента касательной равно значению производной в точке касания, то есть нам нужно найти точки, в которых производная fґ (x) = 1. Построим прямую y = 1, параллельную оси Ох. Видим, что прямая и график функции имеют 4 общие точки. Это и значит, что fґ (x) = 1 в этих четырёх точках, и в них касательная к графику функции y = f (x) параллельна прямой y = x + 1 или совпадает с ней. Ответ: 4 № 9 Дан график производной функции y = fґ (x), определённой на интервале (-7,5; 7). Найдите промежутки возрастания функции. В ответе запишите количество целых точек, входящих в эти промежутки. Решение:Функция возрастает на промежутках, в которых её производная положительна. Найдем те целые точки на графике, в которых производная положительна (лежит выше оси абсцисс Ох). Эти точки лежат в интервале от – 7, 5 до 2, 5. Целых среди них 10.Ответ: 10 №10Дан график производной функции y = fґ (x), определённой на интервале (-7,5; 7). В какой точке отрезка [-5; -2] функция f(x) принимает наименьшее значение? Решение:На отрезке [-5; -2] производная функции y = fґ (x) положительна, следовательно, f (x) на этом отрезке возрастает и принимает наименьшее значение на левом конце отрезка. В данном случае это x = - 5. Ответ: - 5 № 11Изображён график производной функции y = fґ (x), определённой на интервале (- 5; 5). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-4; 3]. Решение: Точка является точкой экстремума непрерывной функции, если при прохождении через эту точку производная меняет знак, то есть график производной пересекает ось абсцисс Ох. Производная функции y = fґ (x) на отрезке [-4; 3] меняет знак три раза, поэтому количество точек экстремума функции y = f(x) на данном промежутке равно 3. Ответ: 3 № 12Дан график производной функции y = fґ (x), определённой на интервале (-5; 5). Найдите точку максимума функции y = f (x) на интервале (-3; 3). Решение:апмОтвет: -1. № 13Дан график функции y = f (x) и отмечены точки -1, 1, 2, 4, 6. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. Решение: Значение производной в точке x˳ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой x˳. fґ (x) наименьшее в точке, в которой касательная образует самый маленький тупой угол с осью Ох («горка» в этом месте на вид «самая крутая»). Проведём касательные в заданных точках. Тупые углы в точках x = -1 и x = 4. α< β, значит, наименьшая производная в точке 4