Мультимедийное сопровождение лекционного занятия по дисциплине Высшая математика по теме: Локальные экстремумы функции двух переменных

Лекційне заняття з дисципліни Вища математикаДата проведення: 08.02.2012 р. Група: БО – 27Тема: Локальні екстремуми функції двох зміннихАвтор: викладач вищої категорії Амвросіївського індустріального технікуму Кожемя’к Т.О.


Мета заняттяМетодична:показати методику проведення лекції із застосуванням техніки зворотного зв’язку як за допомогою звичайних вербальних засобів, так і за допомогою технічних засобів навчання.Дидактична: систематизувати, розширити і поглибити знання про функцію двох змінних;засвоїти необхідну і достатні умови існування екстремуму функції двох змінних;формувати вміння використовувати алгоритм дослідження функції двох змінних на екстремум;провести аналогію між дослідженням на екстремум функції однієї змінної та функції двох змінних



Локальні екстремуми функції двох зміннихПлан лекції: Точки локального екстремуму Необхідна умова локального екстремуму Достатні умови локального екстремуму Алгоритм дослідження на екстремум функції двох змінних


Дайте відповідь на питанняЯк використовується похідна при дослідженні функцій? Як з допомогою похідної дослідити функцію на екстремум? Яка необхідна умова існування екстремуму функції?Які точки називають критичними? Сформулюйте достатню умову існування максимуму



Дайте відповідь на питанняСформулюйте достатню умову існування мінімумуЯк називають похідні першого порядку функції двох змінних? Дайте визначення частинної похідної функції двох змінних по одному з аргументівЯкі особливості відшукання частинних похідних функції двох змінних?


Знайдіть частинні похідні функції двох змінних𝑧=𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2𝑧=𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑦𝑧=𝑥3+2𝑥2𝑦+3𝑥𝑦2+𝑦3𝑧=𝑙𝑛𝑥2+𝑦3 


Точки локального екстремумуТочку 𝑴𝟎𝒙𝟎;𝒚𝟎 називають точкою локального максимуму функції 𝒛=𝒇(𝑴, якщо існує такий окіл точки 𝑴𝟎, для усіх точок 𝑴𝒙;𝒚 якого виконується нерівність 𝒇𝑴𝟎>𝒇(𝑴. 
style.rotation
style.rotation
Необхідна умова локального екстремумуЯкщо функція z=f(M) у точці 𝑀0𝑥0,𝑦0 має екстремум і частинні похідні, то кожна частинна похідна в цій точці дорівнює нулю, тобто 𝑓′𝑥𝑥0,𝑦0=0,    𝑓′𝑦𝑥0,𝑦0=0𝑀0𝑥0,𝑦0 — стаціонарна точка функції z=f(M)  

style.rotation
Практичне завдання 1Знайдіть стаціонарні точки функції𝑧=𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2+3𝑥−2𝑦+1 Відповідь: стаціонарною точкою буде точка 𝑴𝟎−𝟒𝟑;  𝟏𝟑 


Достатні умови локального екстремумуНехай в околі критичної точки 𝑀0𝑥0;𝑦0 функція 𝑧=𝑓𝑥;𝑦 має неперервні частинні похідні до другого порядку включно:𝐴=𝑧″𝑥2𝑀0;      𝐵=𝑧″𝑥𝑦𝑀0; 𝐶=𝑧″𝑦2𝑀0Тоді кожну критичну точку можна дослідити за знаком числа 𝛥=𝐴𝐶−𝐵2 


Достатні умови локального екстремумуЯкщо 𝛥<0, то в точці 𝑀0𝑥0;𝑦0 функція  𝑧=𝑓𝑥;𝑦 екстремуму не має.Якщо 𝛥>0, то в точці 𝑀0𝑥0;𝑦0 функція  𝑧=𝑓𝑥;𝑦 має екстремум (при 𝐴<0 — локальний максимум, при 𝐴>0 — локальний мінімум) 


Алгоритм дослідження функції двох змінних на екстремум1) обчислити частинні похідні першого порядку 𝒇′𝒙 та   𝒇′𝒚;2) розв’язати систему 𝑓′𝑥=0𝑓′𝑦=0 і знайти критичні точки функції; 

Алгоритм дослідження функції двох змінних на екстремум3) обчислити частинні похідні другого порядку 𝒇″𝒙𝒙,   𝒇″𝒙𝒚,   𝒇″𝒚𝒚;4) для кожної критичної точки 𝑴𝒊 обчислити значення𝑨=𝒇″𝒙𝒙𝑴𝒊,   𝑩=𝒇″𝒙𝒚𝑴𝒊,   𝑪=𝒇″𝒚𝒚𝑴𝒊, 𝜟=𝑨𝑪−𝑩𝟐 зробити висновки на підставі теореми про достатні умови локального екстремуму 



style.rotation Практичне завдання 2Дослідити на локальний екстремум функцію 𝑦=𝑥3+𝑦3−3𝑥𝑦Відповідь: стаціонарні точки 𝑀10;0 і 𝑀21;1локальний мінімум дорівнює    𝑧min=𝑧1;1=−1 


Навчальні результатиНа уроці я... – дізналась (дізнався) ... – зрозуміла (зрозумів) ... – навчилась (навчився) ... – найбільший мій успіх – це ... – найбільші труднощі я відчула (відчув) – я не вміла (не вмів), а тепер умію ... – на наступному уроці я хочу ...