Презентация на тему Олимпиадные задачи — это увлекательно!

Олимпиадные задачи – это увлекательно!Олимпиадные задачи – это увлекательно! Гипотеза: Ученик 6 класса может решить 50 % заданий предлагаемых на районной олимпиаде учащимся 9 класса.Цель и задачи Изучить задачи, предлагаемые на районных олимпиадах. Установить связь этих заданий с темами материала 5-6 класса. Познакомиться с текстами олимпиадных заданий районной олимпиады разных лет. Опираясь на знания курса шестого класса решить задачи, если это возможно.Методы работы:Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы.Практический метод решения олимпиадных задач, на основе полученных знаний.Исследовательский метод при выяснении того, на какие темы надо обратить особое внимание для успешного решения олимпиадных заданий.Анализ полученных в ходе исследования данных. При сдаче ЕГЭ по математике учащиеся встречаются с заданием С6, где предложены олимпиадные задачи.Актуальность решения олимпиадных задач заключается в предоставлении учащимся ещё одной возможности поступить по результатам олимпиад, повысить уровень математической грамотности, даёт шанс стать победителем!Решение олимпиадных задач даёт уникальную возможность воспитывать смекалку, сообразительность, находчивость в поиске оригинального решения.Актуальность 1. Числа a, b, c таковы, что а2(в + с)=в2(а + с) и а не равно в. Найдите значение выражения с2(а +в). 2. Пусть а, в, с – стороны треугольника. Докажите неравенство а3 + в3 + 3авс>c3. 3. Существуют ли двузначные числа, равные удвоенному произведению своих цифр. 4. Дан треугольник АВС, в котором АВ>ВС. Касательная к его описанной окружности в точке В пересекает прямую АС в точке Р. Точка Д симметрична точке В относительно точки Р, а точка Е симметрична точке С относительно прямой ВР. Докажите, что четырёхугольник АВЕД – вписанный.5. В пакете 9 кг манной крупы. Попробуйте при помощи трёх взвешиваний разделить крупу по двум пакетам: в одном – 2 кг, а в другом – 7 кг, располагая одной гирей 250 г и одной гирей 50 г.6. В классе 35 учеников. Из них 12 занимаются в математическом кружке, 9 – в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?Олимпиадные задачи 2010 год 1. Числа a, b, c таковы, что а2(в + с)=в2(а + с) и а не равно в. Найдите значение выражения с2(а +в). 2. Пусть а, в, с – стороны треугольника. Докажите неравенство а3 + в3 + 3авс>c3. 3. Существуют ли двузначные числа, равные удвоенному произведению своих цифр. 4. Дан треугольник АВС, в котором АВ>ВС. Касательная к его описанной окружности в точке В пересекает прямую АС в точке Р. Точка Д симметрична точке В относительно точки Р, а точка Е симметрична точке С относительно прямой ВР. Докажите, что четырёхугольник АВЕД – вписанный.5. В пакете 9 кг манной крупы. Попробуйте при помощи трёх взвешиваний разделить крупу по двум пакетам: в одном – 2 кг, а в другом – 7 кг, располагая одной гирей 250 г и одной гирей 50 г.6. В классе 35 учеников. Из них 12 занимаются в математическом кружке, 9 – в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?Олимпиадные задачи 2010 год В классе 35 учеников. Из них 12 занимаются в математическом кружке, 9 – в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой? Решение:35-16=19(математиков и биологов) 19-12=7 (биологов) 9-7=2(увлекаются и математикой и биологией) 1 задача. 2010 год В пакете 9 кг манной крупы. Попробуйте при помощи трёх взвешиваний разделить крупу по двум пакетам: в одном 2 кг, а в другом – 7 кг, располагая одной гирей 250 г и одной гирей 50 г. Решение:Первое взвешивание: 9000г:2=4500гВторое взвешивание: 4500г:2=2250гТретье взвешивание: 2250г-250г=2000г=2кгОстаток 7кг2 задача. 2010 год
Существуют ли двузначные числа, равные удвоенному произведению своих цифр?аb=10а+b а=1, b=10, неверно10а+b=2аb а=2, b= 20/3 неверно10а=2аb-b а=3, b=6 верно10а=b(2а-1) а=4, b=40/7 неверноb=(10а):(2а-1) а=5, b=50/9 неверноА=1,2,.....,9 а=6, b=60/11 неверноB=0,1,......,9 а=7, b=70/13 неверно а=8, b=80/15 неверно а=9, b=90/17 неверно Ответ: существует, «36» 3 задача 2010 год
1 Решить в множестве действительных чисел уравнение Х4-10х3-2(а-11)х2+2(5а+6)х+2а+а2=0. 2. Пусть сумма а+в+с кратна 6. Доказать, что а3+в3+с3 кратна 6. Доказать, что если в треугольнике стороны а,в,с удовлетворяют соотношению 1/(а+в)+ 1/(в+с)=3/(а+в+с), то один из его углов равен 600.3 Из четырёх монет одна отличается по весу от остальных, имеющих одинаковый вес. Как выделить её двумя взвешиваниями на весах с двумя чашками без гирь? Можно ли при этом выяснить, легче ли она остальных, или тяжелее?4 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько надо взять лома каждого из этих сортов, чтобы получить 140 кг стали с содержанием никеля в 30%.5 Общее число участников олимпиады и задач, которые им предложили для решения, равно 42. Первый участник решил 7 задач, второй – 8 задач и т. д., а последний решил все задачи. Сколько участников и сколько задач было на олимпиадеОлимпиадные задачи 1992 год 1 Решить в множестве действительных чисел уравнение Х4-10х3-2(а-11)х2+2(5а+6)х+2а+а2=0. 2. Пусть сумма а+в+с кратна 6. Доказать, что а3+в3+с3 кратна 6. Доказать, что если в треугольнике стороны а,в,с удовлетворяют соотношению 1/(а+в)+ 1/(в+с)=3/(а+в+с), то один из его углов равен 600.3 Из четырёх монет одна отличается по весу от остальных, имеющих одинаковый вес. Как выделить её двумя взвешиваниями на весах с двумя чашками без гирь? Можно ли при этом выяснить, легче ли она остальных, или тяжелее?4 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько надо взять лома каждого из этих сортов, чтобы получить 140 кг стали с содержанием никеля в 30%.5 Общее число участников олимпиады и задач, которые им предложили для решения, равно 42. Первый участник решил 7 задач, второй – 8 задач и т. д., а последний решил все задачи. Сколько участников и сколько задач было на олимпиадеОлимпиадные задачи 1992 год Найти наибольшее и наименьшее натуральные числа, в десятичной записи которых нет нулей и единиц, а сумма цифр равна 68.Запись 2001-значного натурального числа оканчивается цифрой «1», а любые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, делящееся либо на 17, либо на 23. Какова первая цифра записи этого числа?Найдите множество решений уравненияХ2+5у2+4ху+2у+1=0.Трапецию, длины сторон которой «а», «а», «а», «2а», разбили на четыре равных прямоугольных трапеций. Найдите длины оснований полученных трапеций.Замок состоит из 64 одинаковых квадратных комнат, имеющих по двери в каждой стене и расположенных в виде квадрата 8 на 8. Полы во всех комнатах покрашены в белый цвет. Каждое утро маляр совершает прогулку по замку, причём, проходя через комнату, он перекрашивает пол в ней из белого в чёрный, а из чёрного - в белый. Возможно ли, что когда-нибудь полы в замке окажутся окрашенными в шахматном порядке в чёрный и белый цвета? Вход в замок единственный.Олимпиадные задачи 2001 год Найти наибольшее и наименьшее натуральные числа, в десятичной записи которых нет нулей и единиц, а сумма цифр равна 68.Запись 2001-значного натурального числа оканчивается цифрой «1», а любые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, делящееся либо на 17, либо на 23. Какова первая цифра записи этого числа?Найдите множество решений уравненияХ2+5у2+4ху+2у+1=0.Трапецию, длины сторон которой «а», «а», «а», «2а», разбили на четыре равных прямоугольных трапеций. Найдите длины оснований полученных трапеций.Замок состоит из 64 одинаковых квадратных комнат, имеющих по двери в каждой стене и расположенных в виде квадрата 8 на 8. Полы во всех комнатах покрашены в белый цвет. Каждое утро маляр совершает прогулку по замку, причём, проходя через комнату, он перекрашивает пол в ней из белого в чёрный, а из чёрного - в белый. Возможно ли, что когда-нибудь полы в замке окажутся окрашенными в шахматном порядке в чёрный и белый цвета? Вход в замок единственный.Олимпиадные задачи 2001 год Как налить в бочку 12 литров воды, пользуясь вёдрами ёмкостью 5 и 8 литров?Автомобиль едет из Новосибирска в Бердск со скоростью 90 км/час, а из Бердска в Новосибирск со скоростью 60 км/час. Найти среднюю скорость.Колхозница продавала яблоки на рынке. Первый покупатель взял половину всех яблок и ещё пол яблока. Каждый следующий брал половину оставшихся яблоки ещё пол яблока. В итоге 6 человек раскупили все яблоки. Сколько яблок было продано?Как произвольный треугольник разрезать на три части, так, чтобы из этих частей можно было сложить прямоугольник?Как с помощью циркуля и линейки в данный угол вписать окружность данного радиуса?Как упорядочить 4 пакета с крупой по возрастанию веса за 5 сравнений на чашечных весах без гирь?Олимпиадные задачи 1998 год Как налить в бочку 12 литров воды, пользуясь вёдрами ёмкостью 5 и 8 литров?Автомобиль едет из Новосибирска в Бердск со скоростью 90 км/час, а из Бердска в Новосибирск со скоростью 60 км/час. Найти среднюю скорость.Колхозница продавала яблоки на рынке. Первый покупатель взял половину всех яблок и ещё пол яблока. Каждый следующий брал половину оставшихся яблоки ещё пол яблока. В итоге 6 человек раскупили все яблоки. Сколько яблок было продано?Как произвольный треугольник разрезать на три части, так, чтобы из этих частей можно было сложить прямоугольник?Как с помощью циркуля и линейки в данный угол вписать окружность данного радиуса?Как упорядочить 4 пакета с крупой по возрастанию веса за 5 сравнений на чашечных весах без гирь?Олимпиадные задачи 1998 год Таблица результатов{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}годПозволяют решать знанияНе решаются% решаемых задач% нерешаемых задач20103,5,61,2,450%50%20011,2,53,460%40%19981,2,3,64,567%33%19924,5,61,2,350%50%19991,3,5,62,467%33%20061,3,52,460%40% Я понял, что неважных тем в математике не бывает. Чтобы качественно подготовиться к участию в олимпиадах надо на всех уроках активно работать, тщательно готовиться к каждому уроку. Тогда 50 и более % заданий олимпиадного уровня старших классов будут решаться уже в конце 6 класса.Вывод: 1. Назовём слонопотамом такую шахматную фигуру, которая может ходить и как слон и как конь, причём, если слонопотам сделал ход как конь, то следующим ходом он должен пойти как слон, если он сделал ход как слон, то следующим ходом он должен пойти как конь. Может ли слонопотам обойти клетки доски 5 на 5, побывав на каждой клетке ровно по одному разу, и при этом закончить обход на клетке, соседней по стороне с клеткой начала обхода?2. Обозначим через П(х) произведение цифр числа х. В ряд написаны числа П(2003), П(2004), П(2005), … Какое наибольшее количество чисел, записанных подряд, может оказаться последовательными натуральными числами?3. В таблицу 4 на 4 записали натуральные числа, могло ли оказаться так, что сумма чисел в каждой следующей строке на 2 больше, чем в предыдущей, а сумма чисел в каждом следующем столбце на 3 больше, чем в предыдущем?4. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АД и СЕ. Точки М и N – основания перпендикуляров, опущенных на прямую ДЕ из точек А и С соответственно .Докажите, что МЕ =ДN.5. В некоторой компании 100 акционеров, и любые 66 из них вместе владеют не менее, чем 50% акций компании. Каким наибольшим процентом всех акций может владеть один акционер?Олимпиадные задачи 2006 год 1. На складе стеклотары могут храниться банки ёмкостью по 0,5 л, 0,7 л и 1 л. Сейчас на складе имеется 2500 банок общей вместимостью 2000 л. Докажите что на складе есть хотя бы одна полулитровая банка.2. На медиане ВМ треугольника АВС взята произвольная точка D. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ, а через вершину С- прямая, параллельная медиане ВМ. Две полученные прямые пересекаются в точке Е. Докажите, что ВЕ=АD.3. Гриб называется плохим, если в нём живёт больше 11 червяков. Червяк-тощий, если он съел не более 1/5 части гриба, в котором живёт. Четверть всех грибов в лесу плохие. Докажите, что не менее трети всех червяков-тощие.4. Хода удалена от центра окружности на расстояние b. В каждом из двух сегментов круга, стягиваемых этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности. Найдите разность длин сторон квадратов.5. На шахматной доске расставлены ладьи так, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали находится ровно одна ладья. Доску разбили на четыре равных квадрата размера 4 на 4 клетки. Докажите, что число ладей в правом верхнем квадрате равно числу ладей в левом нижнем квадрате6. Квадрат разбит на несколько прямоугольников так, что любая горизонтальная прямая пересекает ровно m прямоугольников, а любая вертикальная прямая – ровно n прямоугольников (рассматриваются только прямые, не содержащие сторон прямоугольников). Определить минимально возможное число прямоугольников разбиения. Привести пример разбиения с этим числом прямоугольников.Олимпиадные задачи 1999 год